Элементы теории множеств - презентация, доклад, проект скачать

Нажмите для полного просмотра!

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Элементы теории множеств. Доклад-сообщение содержит 38 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

2. Элементы теории множеств Понятие множества

Слайд 2

Описание слайда:

Основу теории математики составляют понятия и отношения между этими понятиями, которые устанавливаются при помощи соответствующих аксиом и определений. Основу теории математики составляют понятия и отношения между этими понятиями, которые устанавливаются при помощи соответствующих аксиом и определений. Дальнейшее построение математической теории осуществляется последовательной системой теорем и новых определений, устанавливающей свойства изучаемых математических объектов.

Слайд 3

Описание слайда:

Определение Одним из фундаментальных, неопределяемых математических понятий является понятие множества. Множество можно представить себе как соединение, совокупность, собрание некоторых предметов, объединенных по какому-либо признаку: множество учащихся класса, множество букв алфавита, множество натуральных чисел, множество точек на прямой, множество книг на полке и т.д..

Слайд 4

Описание слайда:

Определение Предметы, из которых состоит множество, называются его элементами например, буква К – элемент множества букв русского алфавита. Для названия множества иногда используют какое-либо одно слово, выступающее в роли синонима слова «множество» (зрители, стая, семья, фрукты).

Слайд 5

Описание слайда:

Обозначают множества заглавными буквами латинского алфавита или символически с помощью фигурных скобок, в которых указываются его элементы. Обозначают множества заглавными буквами латинского алфавита или символически с помощью фигурных скобок, в которых указываются его элементы. Сами элементы некоторого множества будем обозначать малыми латинскими буквами, если они не имеют специальных обозначений: А; {а, b, c}; {∗,s,h,g}; N={1,2,3,4,5,6,7,8, …}.

Слайд 6

Описание слайда:

Принадлежность предмета некоторому множеству обозначают с помощью символа  (в противном случае используется символ ∉). Принадлежность предмета некоторому множеству обозначают с помощью символа  (в противном случае используется символ ∉). Запись а А означает, что а есть элемент множества А. Аналогично имеем: Δ{Δ,ο}. Запись 4∉{1,2,3} означает, что 4 не принадлежит множеству {1,2,3}.

Слайд 7

Описание слайда:

Основными способами задания множества являются: Основными способами задания множества являются: 1) перечисление всех его элементов: А={а1, а2, …, аn}; 2) описание (указание характеристического свойства его элементов). Этот способ требует указания такого признака, который имеется у всех элементов данного множества и не свойственен элементам, не входящим в данное множество.

Слайд 8

Описание слайда:

Например, характеристическим свойством натуральных чисел является возможность их использования при счете каких-либо предметов. Например, характеристическим свойством натуральных чисел является возможность их использования при счете каких-либо предметов. Говоря о множестве четных чисел, мы указываем характеристическое свойство его элементов: М={х∈ N | х׃2}, т.е. каждое число, принадлежащее этому множеству, делится на два.

Слайд 9

Описание слайда:

Определение 3 Определение 3 Множества, состоящие из одних и тех же элементов (одинаковыми). Пишут А=В. Определение 4 Множество, которое не содержит ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом ∅.

Слайд 10

Описание слайда:

Слово «много» и математический термин «множество» имеют различный смысл. Слово «много» и математический термин «множество» имеют различный смысл. Множество может состоять из небольшого количества элементов. Будем обозначать количество элементов в некотором множестве А через m(А). Например, если А={а, b, c}, то m(А)=3. Если N – множество всех натуральных чисел, то m(N) = ∞.

Слайд 11

Описание слайда:

Подмножество. Основные числовые множества Определение 1. Множество В, состоящее из некоторых элементов данного множества А (и только из них), называется подмножеством (частью) этого множества. Иначе, если любой элемент множества В принадлежит также множеству А, то множество В называется подмножеством множества А. Это записывается так: В⊂ А или А⊃В. Говорят, что «В – подмножество А» или «В содержится в А» или «А содержит В». Заметим, что m(В) ≤m(А).

Слайд 12

Описание слайда:

Если в множестве В найдется хотя бы один элемент, не принадлежащий множеству А, то В не является подмножеством множества А: В⊄А. Если в множестве В найдется хотя бы один элемент, не принадлежащий множеству А, то В не является подмножеством множества А: В⊄А. Например, отрезок [а, b] не является подмножеством полуинтервала (а, b], т.к. а[а, b], но а∉(а, b].

Слайд 13

Описание слайда:

Из опр. 1 следует, что любое множество является подмножеством самого себя, т.е. справедливо утверждение АА. Из опр. 1 следует, что любое множество является подмножеством самого себя, т.е. справедливо утверждение АА. Полагают также, что пустое множество является подмножеством любого множества. Пустое множество не содержит ни одного элемента, а значит в нем нет элемента, не принадлежащего любому другому множеству.

Слайд 14

Описание слайда:

Знак  называется знаком включения. Знак  называется знаком включения. Отметим основные свойства отношения включения между множествами: 1) ∅⊂А для любого множества А; 2) АА для любого множества А (рефлексивность); 3) из того, что ВА не следует АВ (не симметричность); 4) если АВ и ВА, то А=В (антисимметричность); 5) если А⊂В и В⊂С, то А⊂С (транзитивность).

Слайд 15

Описание слайда:

Основные числовые множества: N={1,2,3,4,…} – множество натуральных чисел; Z={…,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…} – множество целых чисел (содержит все натуральные числа и числа, им противоположные), N⊂Z; Q={x ׀х = p/q , где p∈Z, q∈N} – множество рациональных чисел (состоит из чисел, допускающих представление в виде дроби), N⊂Z⊂Q; R=(-∞;+∞) – множество действительных чисел, Q⊂R (кроме всех рациональных чисел, содержит иррациональные числа.

Слайд 16

Описание слайда:

Действительные числа изображаются точками координатной прямой (числовой оси). Действительные числа изображаются точками координатной прямой (числовой оси). Координатная прямая – это всякая прямая (обычно горизонтальная), на которой указаны положительное направление, начало отсчета и единичный отрезок.

Слайд 17

Описание слайда:

Слайд 18

Описание слайда:

Операции над множествами Два множества могут иметь одинаковые элементы, из всех элементов двух множеств можно составить одно новое множество, также можно рассмотреть отдельно элементы одного множества, которых во втором множестве нет.

Слайд 19

Описание слайда:

Например, А – множество наклеек (марок), которые есть у Пети, В – множество наклеек, которые собрал Вася. Например, А – множество наклеек (марок), которые есть у Пети, В – множество наклеек, которые собрал Вася. Можно выделить множество наклеек, которые есть у обоих ребят; коллекцию различных наклеек, собранных ими вместе; множество наклеек Пети, которых нет у Васи. Таким образом, мы проделали операции пересечения, объединения и разности двух множеств.

Слайд 20

Описание слайда:

Определение Пересечением множеств А и В называется множество С, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат каждому из данных множеств: С={х ׀ хА и хВ}. Обозначается А∩В.

Слайд 21

Описание слайда:

Определение Объединением множеств А и В называется множество С, которое состоит из всех элементов данных множеств А и В и только из них: С={х׀ хА или хВ}. Обозначается, АВ.

Слайд 22

Описание слайда:

Если множества А и В не содержат одинаковых элементов, т.е. не пересекаются (А∩В=∅), то m(АВ) = m(A) + m(B) (1). Если множества А и В не содержат одинаковых элементов, т.е. не пересекаются (А∩В=∅), то m(АВ) = m(A) + m(B) (1). В противном случае, когда множества имеют m(А∩В) одинаковых элементов, следует пользоваться более общей формулой: m(АВ) = m(A) + m(B) - m(А∩В) (2).

Слайд 23

$Определение Разностью множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В: С={х ׀ хА и х∉В}. Обозначается, А\В. В случае, когда В является подмножеством А, т.е. В⊂А, разность А\В называется дополнением множества В до множества А (или относительно множества А).$

Описание слайда:

Определение Разностью множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В: С={х ׀ хА и х∉В}. Обозначается, А\В. В случае, когда В является подмножеством А, т.е. В⊂А, разность А\В называется дополнением множества В до множества А (или относительно множества А).

Слайд 24

Описание слайда:

Определение Универсальным множеством называется множество, подмножества которого (и только они) в данный момент рассматриваются. Обозначают U. При работе с числовыми множествами в качестве основного (универсального) множества будем считать множество R действительных чисел.

Слайд 25

$Определение Дополнением множества А называется разность U\А.. Обозначается, А’ или А и читается «не А» . Иначе, дополнением множества А называется множество А’, состоящее из всех элементов, не принадлежащих множеству А.$

Описание слайда:

Определение Дополнением множества А называется разность U\А.. Обозначается, А’ или А и читается «не А» . Иначе, дополнением множества А называется множество А’, состоящее из всех элементов, не принадлежащих множеству А.

Слайд 26

Описание слайда:

Слайд 27

Описание слайда:

Диаграммы Эйлера-Венна Для наглядного представления множеств и результатов операций над ними удобно пользоваться диаграммами Эйлера-Венна (кругами Эйлера). При этом множества изображаются на плоскости в виде замкнутых кругов, а универсальное множество в виде прямоугольника. Элементы множества – точки внутри соответствующего круга.

Слайд 28

Описание слайда:

Слайд 29

Описание слайда:

Слайд 30

Описание слайда:

Слайд 31

Описание слайда:

Формула для подсчета числа элементов в объединении трех множеств: Формула для подсчета числа элементов в объединении трех множеств: m (АВС) = m (А) + m (В) + m (С) - m (А∩В) – m (А∩С) – m (В∩С) + m (А∩В∩С)

Слайд 32

Описание слайда:

Примеры Пример 1. Записать множество всех натуральных делителей числа 15 и найти число его элементов. Решение: А={1, 3, 5}, m (А)=3.

Слайд 33

$Пример 2 Даны множества А={2, 3, 5, 8, 13, 15}, В={1, 3, 4, 8,16}, С={12, 13, 15, 16}, D={0, 1, 20}. Найти А∪В, С∪D, В∩С, А∩D,А\С, D\В, А∪В∪С, А∩В∩С, В∪D∩С, А∩С\D. Решение: Учтем, что сначала должна выполняться операция пересечения множеств, а затем объединение или разность. Получим АВ={1, 2, 3, 4, 5, 8, 13, 15, 16}, С∪D={0, 1, 12, 13, 15, 16, 20}, В∩С={16}, А∩D=∅, А\С={2, 3, 5, 8}, D\В={0, 20}, А∪В∪С={1, 2, 3,4, 5, 8, 12, 13, 15, 16}, А∩В∩С=∅, В∪D∩С={1, 3, 4, 8, 16}, А∩С\D={13, 15}$

Описание слайда:

Пример 2 Даны множества А={2, 3, 5, 8, 13, 15}, В={1, 3, 4, 8,16}, С={12, 13, 15, 16}, D={0, 1, 20}. Найти А∪В, С∪D, В∩С, А∩D,А\С, D\В, А∪В∪С, А∩В∩С, В∪D∩С, А∩С\D. Решение: Учтем, что сначала должна выполняться операция пересечения множеств, а затем объединение или разность. Получим АВ={1, 2, 3, 4, 5, 8, 13, 15, 16}, С∪D={0, 1, 12, 13, 15, 16, 20}, В∩С={16}, А∩D=∅, А\С={2, 3, 5, 8}, D\В={0, 20}, А∪В∪С={1, 2, 3,4, 5, 8, 12, 13, 15, 16}, А∩В∩С=∅, В∪D∩С={1, 3, 4, 8, 16}, А∩С\D={13, 15}

Слайд 34

Описание слайда:

Пример 3. Экзамен по математике сдавали 250 абитуриентов, оценку ниже пяти получили 180 человек, а выдержали этот экзамен 210 абитуриентов. Сколько человек получили оценки 3 и 4? Решение: Пусть А – множество абитуриентов, выдержавших экзамен, В – множество абитуриентов, получивших оценку ниже 5, по условию m (A)=210, m (В)=180, m (A∪B)=250. Абитуриенты, получившие оценки 3 и 4, образуют множество А∩В. Из формулы (2) находим m (A∩B) = m (A) + m (В) - m (A∪B) = 210 + 180 – 250 = 140.

Слайд 35

Описание слайда:

Пример 4. В школе 1400 учеников. Из них 1250 умеют кататься на лыжах, 952 – на коньках. Не умеют кататься 60 учащихся. Сколько учащихся умеют кататься и на коньках и на лыжах? Решение: Множество учеников школы будем считать основным множеством U, А и В – соответственно множества учеников, умеющих кататься на лыжах и на коньках .

Слайд 36

Описание слайда:

Слайд 37

Описание слайда:

Учащиеся, не умеющие кататься ни на лыжах, ни на коньках, составляют множество А’∩В’= (А∪B)’ Учащиеся, не умеющие кататься ни на лыжах, ни на коньках, составляют множество А’∩В’= (А∪B)’ m (А∪B) = m(U) - m (А∪B)’=1340. m (А∩B) = m (А) + m (В) - m (А∪B) = 862