Элементы линейной алгебры - презентация, доклад, проект скачать

Нажмите для полного просмотра!

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Элементы линейной алгебры. Доклад-сообщение содержит 34 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

РАЗДЕЛ 1 Элементы линейной алгебры

Слайд 2

Описание слайда:

Линейная алгебра. Основные сведения о матрицах. Виды и свойства матриц. Операции над матрицами.

Слайд 3

Описание слайда:

1. Понятие матрицы Определение. Прямоугольная таблица чисел, содержащая т строк и п столбцов, называется матрицей размера тхп. Числа, составляющие матрицу – элементы матрицы. Элементы, стоящие на диагонали, идущей из верхнего угла, образуют главную диагональ. Матрицы обозначаются заглавными буквами латинского алфавита (А, В, С, …), а элементы матрицы – строчными буквами с двойной индексацией ( , где i – номер строки, j – номер столбца). Матрицы записываются ( ), или [ ], или || ||.

Слайд 4

Описание слайда:

Слайд 5

Описание слайда:

Определение. Две матрицы А и В одного размера называются равными, если они совпадают поэлементно, т.е. А = В, если для любых Определение. Две матрицы А и В одного размера называются равными, если они совпадают поэлементно, т.е. А = В, если для любых

Слайд 6

Описание слайда:

С помощью матриц удобно записывать некоторые экономические зависимости. С помощью матриц удобно записывать некоторые экономические зависимости. Например, таблица распределения ресурсов по отдельным отраслям экономики (усл. ед.): может быть записана в виде матрицы Например, элемент показывает, сколько электроэнергии потребляет промышленность, а элемент – сколько трудовых ресурсов потребляет сельское хозяйство.

Слайд 7

Описание слайда:

2. Виды матриц Определение. Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором)-строкой, а из одного столбца – матрицей-столбцом:

Слайд 8

Описание слайда:

Определение. Если число столбцов матрицы п равно числу ее строк, то матрицу называют квадратной п-го порядка. Определение. Если число столбцов матрицы п равно числу ее строк, то матрицу называют квадратной п-го порядка. Ее элементы образуют главную диагональ матрицы. Например, – квадратные матрицы 3-го порядка.

Слайд 9

Описание слайда:

Определение. Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю:

Слайд 10

Описание слайда:

Если у диагональной матрицы п-го порядка все диагональные элементы равны единице, то матрица называется единичной п-го порядка и обозначается буквой Е: Если у диагональной матрицы п-го порядка все диагональные элементы равны единице, то матрица называется единичной п-го порядка и обозначается буквой Е:

Слайд 11

Описание слайда:

Определение. Определение. Матрица любого размера называется нулевой или нуль – матрицей, если все ее элементы равны нулю:

Слайд 12

Описание слайда:

Определение. Квадратная матрица называется треугольной, если все ее элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю. Например,

Слайд 13

Описание слайда:

3. Операции над матрицами 1) Умножение матрицы на число. Определение. Произведением матрицы А на число λ называется матрица В=λА, элементы которой для Правило. Чтобы умножить матрицу на число, надо каждый элемент матрицы умножить на это число:

Слайд 14

Описание слайда:

Например, Например, Если , то . Следствие. Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы. Например, . Частный случай: произведение матрицы на число 0 есть нулевая матрица, т.е.

Слайд 15

Описание слайда:

2) Сложение матриц Определение. Суммой матриц А и В одинакового размера называется матрица С = А + В, элементы которой равны суммам элементов матриц А и В, расположенных на соответствующих местах, т.е. матрицы складываются поэлементно: для

Слайд 16

Описание слайда:

Например, Например, Частный случай: А + О = А.

Слайд 17

Описание слайда:

3) Вычитание матриц Определение. Разность двух матриц одинакового размера определяется через предыдущие операции: А – В = А + (−1) ∙ В. Например,

Слайд 18

Описание слайда:

4) Умножение матриц. Матрицу А можно умножить на матрицу В только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. В результате умножения получится матрица С, у которой столько же строк, сколько их в матрице А, и столько же столбцов, сколько их в матрице В, т.е.

Слайд 19

Описание слайда:

т.е. т.е.

Слайд 20

Описание слайда:

Элементы матрицы С вычисляются по формуле: Элементы матрицы С вычисляются по формуле: , т.е. каждый элемент равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В. Правило. Для получения элемента , надо элементы i-й строки матрицы А умножить на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В и полученные произведения сложить .

Слайд 21

Описание слайда:

Пример. Вычислить произведение матриц А ∙ В, где Найдем размер матрицы-произведения

Слайд 22

Описание слайда:

5) Возведение в степень Определение. Целой положительной степенью Ат (т>1) только квадратной матрицы А называется произведение т матриц, равных А, т.е. По определению:

Слайд 23

Описание слайда:

Пример. Возвести матрицу A в квадрат и в куб, Решение.

Слайд 24

Описание слайда:

6) Транспонирование матрицы - переход от матрицы А к матрице , в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Матрица называется транспонированной относительно матрицы А:

Слайд 25

Описание слайда:

Например, Например, если , то . Свойства операции транспонирования:

Слайд 26

Описание слайда:

4. Свойства операций над матрицами Многие свойства, присущие операциям над числами, справедливы и для операций над матрицами: А + В = В + А (А + В) + С = А + (В + С) А (В + С) = АВ +АС (А + В) С = АС + ВС А (В ∙ С) = (АВ) ∙ С А + О = А А – А = О

Слайд 27

Описание слайда:

Однако имеются и специфические свойства матриц. Однако имеются и специфические свойства матриц. Если произведение матриц А·В существует, то после перестановки сомножителей местами произведение матриц В·А может и не существовать. Например, существует, а не существует.

Слайд 28

Описание слайда:

2) Если даже произведения А·В и В·А существуют, то они могут быть матрицами разных размеров. 2) Если даже произведения А·В и В·А существуют, то они могут быть матрицами разных размеров. Пример. Найти произведение матриц А·В и В·А :

Слайд 29

Описание слайда:

3) Когда оба произведения А·В и В·А существуют и оба – матрицы одинакового размера, коммутативный (переместительный) закон умножения, вообще, не выполняется, т.е. . 3) Когда оба произведения А·В и В·А существуют и оба – матрицы одинакового размера, коммутативный (переместительный) закон умножения, вообще, не выполняется, т.е. . Пример. Найти произведение матриц А·В и В·А , где Решение.

Слайд 30

Описание слайда:

Частный случай. Коммутативным законом обладает произведение любой квадратной матрицы А п-го порядка на единичную матрицу того же порядка, причем это произведение равно А: Частный случай. Коммутативным законом обладает произведение любой квадратной матрицы А п-го порядка на единичную матрицу того же порядка, причем это произведение равно А: Т.о., единичная матрица при умножении играет ту же роль, что и число 1 при умножении чисел.

Слайд 31

Описание слайда:

4) Произведение двух ненулевых матриц может равняться нулевой матрице, т.е. из того, что А·В = О, не следует, что А=О или В=О. 4) Произведение двух ненулевых матриц может равняться нулевой матрице, т.е. из того, что А·В = О, не следует, что А=О или В=О. Например,