🗊Презентация Построение сечений многогранников

Построение сечений многогранников Методические разработки Коротковой Елены Анатольевны, школа №15, ЮЗАО.

Цели элективного курса формирование основ научного мировоззрения, базирующегося на инвариантных и фундаментальных знаниях стереометрии; формирование основ грамотного построения моделей многогранников; развитие пространственных представлений и воображения учащихся; выявление и развитие математических способностей учащихся.

Правило для самоконтроля. Если многогранник выпуклый, то сечение выпуклый многоугольник. Вершины многоугольника всегда лежат на ребрах многогранника. Если точки сечения лежат на ребрах многогранника, то они являются вершинами многоугольника, который получится в сечении. Если точки сечения лежат на гранях многогранника, то они лежат на сторонах многоугольника, который получится в сечении. Две стороны многоугольника, который получится в сечении, не могут принадлежать одной грани многогранника. Если сечение пересекает две параллельные грани, то и отрезки (стороны многоугольника, который получится в сечении) будут параллельны.

Алгоритм построения сечения методом следов Выяснить имеются ли в одной грани две точки сечения (если да, то через них можно провести сторону сечения). Построить след сечения на плоскости основания многогранника. Найти дополнительную точку сечения на ребре многогранника (продолжить сторону основания той грани, в которой есть точка сечения, до пересечения со следом). Через полученную дополнительную точку на следе и точку сечения в выбранной грани провести прямую, отметить точки пересечения её с рёбрами грани. Выполнить п.1.

Построение сечения методом внутреннего проектирования. Этот метод является в достаточной мере универсальным. В тех случаях, когда нужный след (или следы) секущей плоскости оказывается за пределами чертежа, этот метод имеет даже определенные преимущества. Вместе с тем следует иметь в виду, что построения, выполняемые при использовании этого метода, зачастую получаются «скученными». Тем не менее в некоторых случаях метод внутреннего проектирования оказывается наиболее рациональным.

Построить вспомогательные сечения и найти линию их пересечения. Построить вспомогательные сечения и найти линию их пересечения. Построить след сечения на ребре многогранника. Если точек сечения не хватает для построения самого сечения повторить пп.1-2.

Метод дополнения n-угольной призмы(пирамиды) до треугольной призмы(пирамиды). Данная призма(пирамида) достраивается до треугольной призмы(пирамиды) из тех граней на боковых ребрах или гранях которой лежат точки, определяющие искомое сечение. Строится сечение полученной треугольной призмы(пирамиды). Искомое сечение получается как часть сечения треугольной призмы(пирамиды).

Метод деления n-угольной призмы(пирамиды) на треугольные призмы(пирамиды). Строим проекции точек на плоскость основания. Из данной призмы(пирамиды) выделяется та треугольная призма(пирамида) на боковых ребрах или гранях которой лежат точки, определяющие искомое сечение. В выделенной призме(пирамиде) точки, определяющие искомое сечение должны лежать на ребрах. Строится сечение этой треугольной призмы(пирамиды).

Метод параллельных прямых.

Алгоритм построения сечения методом параллельных прямых. Строим проекции точек, определяющих сечение. Через две данные точки (например P и Q) и их проекции проводим плоскость. Через третью точку (например R) строим параллельную ей плоскость α. Находим линии пересечения (например m и n) плоскости α с гранями многогранника содержащими точки P и Q. Через точку R проводим прямую а параллельную PQ. Находим точки пересечения прямой а с прямыми m и n. Находим точки пересечения с ребрами соответствующей грани.

Метод параллельного переноса секущей плоскости. Строим вспомогательное сечение данного многогранника, которое удовлетворяет следующим требованиям: а) оно параллельно секущей плоскости; б) в пересечении с поверхностью данного многогранника образует треугольник. Соединяем проекцию вершины треугольника с вершинами той грани многогранника, которую пересекает вспомогательное сечение, и находим точки пересечения со стороной треугольника, лежащей в этой грани. Соединяем вершину треугольника с этими точками. Через точку искомого сечения проводим прямые параллельные построенным отрезкам в предыдущем пункте и находим точки пересечения с ребрами многогранника.

Комбинированный метод. Через вторую прямую q и какую-нибудь точку W первой прямой р провести плоскость β. В плоскости β через точку W провести прямую q‘ параллельную q. Пересекающимися прямыми p и q‘ определяется плоскость α. Непосредственное построение сечения многогранника плоскостью α

2. Построение сечения многогранника плоскостью α, проходящей через заданную точку К параллельно двум заданным скрещивающимся прямым m и n. Выбрать некоторую точку W. Эта точка может лежать на одной из заданных скрещивающихся прямых, может совпадать с точкой К. Через точку W провести прямые n‘ и m‘. Если точка W лежит на одной из прямых, например на прямой n, то прямая n‘ совпадает с прямой n. Пересекающимися прямыми n‘ и m‘ определяется плоскость β – плоскость вспомогательного сечения многогранника. Строим сечение многогранника плоскостью β. Строим сечение многогранника плоскостью α, проходящей через точку К, параллельно плоскости β.