🗊Презентация Описательная статистика

Лекция 2 Тема: «Описательная статистика»

План лекции: Показатели центральной тенденции. Среднее арифметическое, его свойства. Мода, медиана. Квартили. Соотношение между показателями центральной тенденции. Показатели изменчивости: размах, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Свойства дисперсии. Показатели ассиметрии и эксцесса.  

Показатели центральной тенденции. Среднее арифметическое, его свойства.

Средняя арифметическая ( х ) – одна из основных характеристик вариационного ряда, являющаяся центром распределения, вокруг которого группируются все варианты статистической совокупности.

Для негруппированных данных эта величина определяется как сумма всех членов совокупности деленная на их общее число n.

Для данных, группируемых с учетом повторяемости или веса (pi) отдельных вариант средняя арифметическая, называемая взвешенной определяется по формуле:

Свойства среднего арифметического: 1. Если каждую варианту совокупности уменьшить или увеличить на какое-то произвольное положительное число А, то и средняя уменьшиться увеличиться на столько же.

2. Если каждую варианту совокупности разделить или умножить на одно и то же число А, то и средняя арифметическая изменится во столько же раз. 2. Если каждую варианту совокупности разделить или умножить на одно и то же число А, то и средняя арифметическая изменится во столько же раз.

3. Сумма произведений отклонений вариант от их средней арифметической на соответствующие им частоты равна нулю. 3. Сумма произведений отклонений вариант от их средней арифметической на соответствующие им частоты равна нулю.

4. Сумма квадратов отклонений вариант от их средней арифметической меньше суммы квадратов отклонений тех же вариант от любой другой величины А не равной х:

Мода, медиана. Квартили. Соотношение между показателями центральной тенденции.

Медиана эмпирического распределения (Me) (от лат. Mediana – средняя) – средняя, относительно которой ряд распределения делится на две половины: в обе стороны от медианы располагается одинаковое число членов ряда (вариант). Медиана эмпирического распределения (Me) (от лат. Mediana – средняя) – средняя, относительно которой ряд распределения делится на две половины: в обе стороны от медианы располагается одинаковое число членов ряда (вариант). Если число членов ранжированного ряда нечетное, то центральная варианта и будет Me. При четном числе членов ряда медиана определяется по полусумме двух соседних вариант, расположенных в центре ряда.

Если выборка распределена в вариационный ряд, медиана определяется как:

Мода (Mo) – величина, которая встречается в данной совокупности наиболее часто. Класс с наибольшей частотой называется модальным. где: - нижняя граница модального класса, т.е. класса с наибольшей частотой ( ) - частота класса, предшествующего модальному, - частота класса, следующего за модальным, - ширина классового промежутка.

Квантили - структурные средние характеристики вариационного ряда, отсекающие в пределах вариационного ряда определенную часть его членов, вариант. Квантили - структурные средние характеристики вариационного ряда, отсекающие в пределах вариационного ряда определенную часть его членов, вариант.

Квартиль – величина, отсекающая 1/4 членов ряда. Квартиль – величина, отсекающая 1/4 членов ряда. (3 квартиля делят весь вариационный ряд на четыре равночисленные части (кварты)). Дециль – величина, отделяющая 1/10 часть всех членов вариационного ряда. (9 децилей делят весь вариационный ряд на десять равных частей). Перцентиль (процентиль) отсекает сотые доли вариант. (99 децилей делят совокупность на 100 равных частей).

Показатели изменчивости

Лимиты (от лат limes - предел) – значения максимальной и минимальной вариант, между которыми распределяются все члены данной совокупности. Лимиты (от лат limes - предел) – значения максимальной и минимальной вариант, между которыми распределяются все члены данной совокупности.

Размах вариации – показатель, характеризующий варьирование признаков.

Дисперсия (от лат. Dispersion - рассеяние) или варианса (англ. Variance - изменение, вариация) – важнейшая характеристика вариационного ряда. Дисперсия (от лат. Dispersion - рассеяние) или варианса (англ. Variance - изменение, вариация) – важнейшая характеристика вариационного ряда. Дисперсия генеральной совокупности - σ², дисперсия выборки - S² .

Знак суммирования произведений отклонений вариант xi от их средней

Свойства дисперсии: 1. Если каждую варианту совокупности увеличить или уменьшить на одно и то же постоянное число А, то дисперсия не изменится. Т.о. дисперсию можно вычислить не только по значениям признака, но и по их отклонениям от какой-нибудь постоянной величины А.

2. Если каждую варианту разделить или умножить на одно и то же постоянное число А, то дисперсия уменьшится или увеличится в А2 раз. 2. Если каждую варианту разделить или умножить на одно и то же постоянное число А, то дисперсия уменьшится или увеличится в А2 раз.

Среднее квадратическое отклонение (Sx) Среднее квадратическое отклонение (Sx) Характеризует величину и специфику варьирования признака. Среднее квадратическое отклонение = Cтандартное отклонение (standard deviation – англ.) Чем сильнее варьирует признак, тем больше среднее квадратическое отклонение. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение выражаются в тех же единицах, что и характеризуемый признак.

Показатель, предложенный К. Пирсеном –обозначаемый буквой V (или CV) называется коэффициентом вариации. Показатель, предложенный К. Пирсеном –обозначаемый буквой V (или CV) называется коэффициентом вариации.

В качестве констант, характеризующих случайную величину, можно использовать математические ожидания целых степеней случайной величины. В качестве констант, характеризующих случайную величину, можно использовать математические ожидания целых степеней случайной величины.

Проверка нормальности распределения с помощью показателей асимметрии и эксцесса Выборочные характеристики — средняя величина и показатели вариации — не содержат информации о законе распределения генеральной совокупности, из которой выборка взята. Трудно судить о законе распределения и по эмпирической вариационной кривой, поскольку на ней сказывается влияние многочисленных случайных причин. Между тем знание закона распределения важно: оно гарантирует от возможных ошибок в оценке генеральных параметров на основании выборочных показателей. Многие биологические признаки распределяются нормально. Нередко, однако, эмпирические ряды распределения отклоняются более или менее заметно от нормальной кривой. Эти отклонения могут быть различными, обнаруживая в одних случаях асимметрию, в других — эксцесс, а иногда и то и другое одновременно.

Асимметрия или коэффициент асимметрии (термин был впервые введен Пирсоном, 1895) является мерой несимметричности распределения. Где: μ3  -   равно   ∑(xi- среднееx)3 σ3  -  стандартное отклонение (сигма), возведенное в третью степень; n   - число наблюдений.

Асимметрия или коэффициент асимметрии (термин был впервые введен Пирсоном, 1895) является мерой несимметричности распределения. Где: μ3  -   равно   ∑(xi- среднееx)3 σ3  -  стандартное отклонение (сигма), возведенное в третью степень; n   - число наблюдений.

Асимметрия ряда выражается графически в виде скошенной вариационной кривой, вершина которой может быть сдвинута от центра распределения либо влево, либо вправо.

Коэффициент ассиметрии – величина безразмерная, может принимать значения от -∞ до +∞. Коэффициент ассиметрии – величина безразмерная, может принимать значения от -∞ до +∞. При симметричном распределении μ(3)=0 и α=0.

Асимметрию называют правосторонней или положительной, если вершина кривой сдвинута влево от центра распределения; она более пологая, сильно растянутая по оси абсцисс. Асимметрию называют правосторонней или положительной, если вершина кривой сдвинута влево от центра распределения; она более пологая, сильно растянутая по оси абсцисс. При левосторонней, или отрицательной, асимметрии, наоборот, вершина кривой сдвинута вправо от центра распределения, а ее пологая часть находится на левой стороне.

Эксцесс Термин был впервые введен Пирсоном, 1905. Коэффициент эксцесса измеряет "пикообразность" распределения. Оценка эксцесса (выборочный эксцесс) вычисляется по формуле:   Где Mj    равен (xi-Meanx)j  n      - число наблюдений      - стандартное отклонение (сигма), возведенное в четвертую степень.

Эксцесс Термин был впервые введен Пирсоном, 1905. Коэффициент эксцесса измеряет "пикообразность" распределения. Если эксцесс значимо отличен от 0, то функция плотности либо имеет более закругленный, либо более острый пик, чем пик плотности нормального распределения. Функция плотности нормального распределения имеет эксцесс равный 0. Оценка эксцесса (выборочный эксцесс) вычисляется по формуле:   Где Mj    равен (xi-Meanx)j  n      - число наблюдений      - стандартное отклонение (сигма), возведенное в четвертую степень.

Если эксцесс значимо отличен от 0, то функция плотности либо имеет более закругленный, либо более острый пик, чем пик плотности нормального распределения. Если эксцесс значимо отличен от 0, то функция плотности либо имеет более закругленный, либо более острый пик, чем пик плотности нормального распределения. Функция плотности нормального распределения имеет эксцесс равный 0.

Благодарю за внимание!