🗊Презентация Методы решения тригонометрических уравнений

Категория: Математика
Нажмите для полного просмотра!
Методы решения тригонометрических уравнений, слайд №1Методы решения тригонометрических уравнений, слайд №2Методы решения тригонометрических уравнений, слайд №3Методы решения тригонометрических уравнений, слайд №4Методы решения тригонометрических уравнений, слайд №5Методы решения тригонометрических уравнений, слайд №6Методы решения тригонометрических уравнений, слайд №7Методы решения тригонометрических уравнений, слайд №8Методы решения тригонометрических уравнений, слайд №9Методы решения тригонометрических уравнений, слайд №10Методы решения тригонометрических уравнений, слайд №11Методы решения тригонометрических уравнений, слайд №12Методы решения тригонометрических уравнений, слайд №13Методы решения тригонометрических уравнений, слайд №14Методы решения тригонометрических уравнений, слайд №15Методы решения тригонометрических уравнений, слайд №16Методы решения тригонометрических уравнений, слайд №17Методы решения тригонометрических уравнений, слайд №18Методы решения тригонометрических уравнений, слайд №19Методы решения тригонометрических уравнений, слайд №20Методы решения тригонометрических уравнений, слайд №21Методы решения тригонометрических уравнений, слайд №22Методы решения тригонометрических уравнений, слайд №23Методы решения тригонометрических уравнений, слайд №24Методы решения тригонометрических уравнений, слайд №25Методы решения тригонометрических уравнений, слайд №26Методы решения тригонометрических уравнений, слайд №27Методы решения тригонометрических уравнений, слайд №28Методы решения тригонометрических уравнений, слайд №29Методы решения тригонометрических уравнений, слайд №30Методы решения тригонометрических уравнений, слайд №31Методы решения тригонометрических уравнений, слайд №32
Скачать

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Методы решения тригонометрических уравнений. Доклад-сообщение содержит 32 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1


Методы решения тригонометрических уравнений, слайд №1
Описание слайда:

Слайд 2


Содержание Простейшие тригонометрические уравнения Метод введения новой переменной Метод решения однородных уравнений (первой и второй степеней) Функциональный метод Методы использования различных тригонометрических формул Урок одной задачи
Описание слайда:
Содержание Простейшие тригонометрические уравнения Метод введения новой переменной Метод решения однородных уравнений (первой и второй степеней) Функциональный метод Методы использования различных тригонометрических формул Урок одной задачи

Слайд 3


Простейшие тригонометрические уравнения
Описание слайда:
Простейшие тригонометрические уравнения

Слайд 4


Простейшие тригонометрические уравнения
Описание слайда:
Простейшие тригонометрические уравнения

Слайд 5


Простейшие тригонометрические уравнения
Описание слайда:
Простейшие тригонометрические уравнения

Слайд 6


Метод введения новой переменной Схема решения Шаг 1. Привести уравнение к алгебраическому виду относительно одной из тригонометрических функций. Шаг 2. Обозначить полученную функцию переменной t (если необходимо, ввести ограничения на t). Шаг 3. Записать и решить полученное алгебраическое уравнение. Шаг 4. Сделать обратную замену. Шаг 5. Решить простейшее тригонометрическое уравнение.
Описание слайда:
Метод введения новой переменной Схема решения Шаг 1. Привести уравнение к алгебраическому виду относительно одной из тригонометрических функций. Шаг 2. Обозначить полученную функцию переменной t (если необходимо, ввести ограничения на t). Шаг 3. Записать и решить полученное алгебраическое уравнение. Шаг 4. Сделать обратную замену. Шаг 5. Решить простейшее тригонометрическое уравнение.

Слайд 7


Метод введения новой переменной Пример 1: Решим уравнение 2 sin2 x + sin x – 1 = 0 Решение. Вводим новую переменную sin x = y. Тогда мы получаем квадратное уравнение: 2y2 + y – 1 = 0, из которого у1=1\2 и у2 = -1
Описание слайда:
Метод введения новой переменной Пример 1: Решим уравнение 2 sin2 x + sin x – 1 = 0 Решение. Вводим новую переменную sin x = y. Тогда мы получаем квадратное уравнение: 2y2 + y – 1 = 0, из которого у1=1\2 и у2 = -1

Слайд 8


Метод введения новой переменной
Описание слайда:
Метод введения новой переменной

Слайд 9


Метод введения новой переменной Пример 2: Решим уравнение 6 sin2 x + 5 cos x – 2 = 0. Решение: Мы знаем, что sin2 x + cos2 x = 1. Отсюда выводим значение sin2 x: sin2 x = 1 – cos2 x. Вводим это значение sin2 x в наш пример: 6 (1 – cos2 x) + 5 cos x – 2 = 0. Раскрываем скобки:
Описание слайда:
Метод введения новой переменной Пример 2: Решим уравнение 6 sin2 x + 5 cos x – 2 = 0. Решение: Мы знаем, что sin2 x + cos2 x = 1. Отсюда выводим значение sin2 x: sin2 x = 1 – cos2 x. Вводим это значение sin2 x в наш пример: 6 (1 – cos2 x) + 5 cos x – 2 = 0. Раскрываем скобки:

Слайд 10


Метод введения новой переменной 6 – 6 cos2 x + 5 cos x – 2 = 0. Сводим подобные члены: 4 – 6 cos2 x + 5 cos x  = 0. Поменяем местами слагаемые от большей степени к меньшей (как того требует правило): – 6 cos2 x + 5 cos x + 4 = 0.
Описание слайда:
Метод введения новой переменной 6 – 6 cos2 x + 5 cos x – 2 = 0. Сводим подобные члены: 4 – 6 cos2 x + 5 cos x  = 0. Поменяем местами слагаемые от большей степени к меньшей (как того требует правило): – 6 cos2 x + 5 cos x + 4 = 0.

Слайд 11


Метод введения новой переменной Введем опять новую переменную y =  cos x и в результате получим квадратное уравнение:  – 6у2 + 5у + 4 = 0. Решив его, находим корни:   у = – 1/2 или у =4/3 Обратная замена: Рассмотрим вариант cosx= 4\3
Описание слайда:
Метод введения новой переменной Введем опять новую переменную y =  cos x и в результате получим квадратное уравнение:  – 6у2 + 5у + 4 = 0. Решив его, находим корни:   у = – 1/2 или у =4/3 Обратная замена: Рассмотрим вариант cosx= 4\3

Слайд 12


Метод введения новой переменной Мы видим, что в этом случае cos x > 1. Т.Е. решений нет. В другом уравнении cos x меньше 1 (cos x < 1). Значит, решаем его. Сначала находим значение арккосинуса:                 1       2π arccos( – —) = ——                 2        3 Осталось найти x:                                        2π x = ± —  +  2πk,  k ∈ Z 3
Описание слайда:
Метод введения новой переменной Мы видим, что в этом случае cos x > 1. Т.Е. решений нет. В другом уравнении cos x меньше 1 (cos x < 1). Значит, решаем его. Сначала находим значение арккосинуса:                 1       2π arccos( – —) = ——                 2        3 Осталось найти x:                                        2π x = ± —  +  2πk,  k ∈ Z 3

Слайд 13


Метод решения однородных уравнений (первой и второй степеней) Схема решения Шаг 1. Привести данное уравнение к виду a) a sin x + b cos x = 0 (однородное уравнение первой степени) или к виду б) a sin2 x + b sin x · cos x + c cos2 x = 0 (однородное уравнение второй степени).
Описание слайда:
Метод решения однородных уравнений (первой и второй степеней) Схема решения Шаг 1. Привести данное уравнение к виду a) a sin x + b cos x = 0 (однородное уравнение первой степени) или к виду б) a sin2 x + b sin x · cos x + c cos2 x = 0 (однородное уравнение второй степени).

Слайд 14


Метод решения однородных уравнений (первой и второй степеней) Шаг 2. Разделить обе части уравнения на а) cos x ≠ 0; б) cos2 x ≠ 0; и получить уравнение относительно tg x: а) a tg x + b = 0; б) a tg2 x + b arctg x + c = 0. Пример 1: Решите уравнение 3 cosx - 2 sinx = 0. Решение:
Описание слайда:
Метод решения однородных уравнений (первой и второй степеней) Шаг 2. Разделить обе части уравнения на а) cos x ≠ 0; б) cos2 x ≠ 0; и получить уравнение относительно tg x: а) a tg x + b = 0; б) a tg2 x + b arctg x + c = 0. Пример 1: Решите уравнение 3 cosx - 2 sinx = 0. Решение:

Слайд 15


Метод решения однородных уравнений (первой и второй степеней) 3 cosx - 2 sinx = 0/: cosx, 3 – 2 tgx= 0, tgx= 1,5, x = arctg1,5 +πn, nϵZ Ответ: x = arctg1,5 +πn, nϵZ
Описание слайда:
Метод решения однородных уравнений (первой и второй степеней) 3 cosx - 2 sinx = 0/: cosx, 3 – 2 tgx= 0, tgx= 1,5, x = arctg1,5 +πn, nϵZ Ответ: x = arctg1,5 +πn, nϵZ

Слайд 16


Метод решения однородных уравнений (первой и второй степеней) Пример 2: 5sin2 x + 3sin x · cos x – 4 = 0. Решение. 1) 5sin2 x + 3sin x · cos x – 4(sin2 x + cos2 x) = 0; 5sin2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos2 x = 0; sin2 x + 3sin x · cos x – 4cos2 x = 0 /cos2 x ≠ 0.
Описание слайда:
Метод решения однородных уравнений (первой и второй степеней) Пример 2: 5sin2 x + 3sin x · cos x – 4 = 0. Решение. 1) 5sin2 x + 3sin x · cos x – 4(sin2 x + cos2 x) = 0; 5sin2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos2 x = 0; sin2 x + 3sin x · cos x – 4cos2 x = 0 /cos2 x ≠ 0.

Слайд 17


Метод решения однородных уравнений (первой и второй степеней) 2) tg2 x + 3tg x – 4 = 0. 3) Пусть tg x = t, тогда t2 + 3t – 4 = 0; t = 1 или t = -4, значит tg x = 1 или tg x = -4. Из первого уравнения x = π/4 + πn, n Є Z; из второго уравнения x = -arctg 4 + πk, k Є Z. Ответ:  x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
Описание слайда:
Метод решения однородных уравнений (первой и второй степеней) 2) tg2 x + 3tg x – 4 = 0. 3) Пусть tg x = t, тогда t2 + 3t – 4 = 0; t = 1 или t = -4, значит tg x = 1 или tg x = -4. Из первого уравнения x = π/4 + πn, n Є Z; из второго уравнения x = -arctg 4 + πk, k Є Z. Ответ:  x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Слайд 18


Функциональный метод Использование свойств: 1.Выделение полного квадрата из квадратичного трехчлена. 2.Свойство ограниченности функции косинус: −1≤ cosх≤ 1  3.Свойство ограниченности квадратичной функции:   (x+ m)2+ k≥ k
Описание слайда:
Функциональный метод Использование свойств: 1.Выделение полного квадрата из квадратичного трехчлена. 2.Свойство ограниченности функции косинус: −1≤ cosх≤ 1  3.Свойство ограниченности квадратичной функции:   (x+ m)2+ k≥ k

Слайд 19


Функциональный метод Пример 1. Решите уравнение  cos2π x=x2−8x+17  Решение: cos2πx=x2−8x+17 cos2πx= (x−4)2+1 . Оценим левую и правую части уравнения:  −1 ≤cos2πx≤ 1  и  (x−4)2+1≥1  . Следовательно, равенство достигается, если  cos2πx=1 и  (x−4)2+1 =1.
Описание слайда:
Функциональный метод Пример 1. Решите уравнение  cos2π x=x2−8x+17  Решение: cos2πx=x2−8x+17 cos2πx= (x−4)2+1 . Оценим левую и правую части уравнения:  −1 ≤cos2πx≤ 1  и  (x−4)2+1≥1  . Следовательно, равенство достигается, если  cos2πx=1 и  (x−4)2+1 =1.

Слайд 20


Функциональный метод Решая второе уравнение системы, получаем x = 4. Подставляем это значение в первое уравнение и убеждаемся в верности равенства. Следовательно, x = 4 корень исходного уравнения. Ответ: x = 4
Описание слайда:
Функциональный метод Решая второе уравнение системы, получаем x = 4. Подставляем это значение в первое уравнение и убеждаемся в верности равенства. Следовательно, x = 4 корень исходного уравнения. Ответ: x = 4

Слайд 21


Методы использования различных тригонометрических формул Схема решения Шаг 1. Используя всевозможные тригонометрические формулы, привести данное уравнение к уравнению, решаемому методами I, II, III. Шаг 2. Решить полученное уравнение известными методами.
Описание слайда:
Методы использования различных тригонометрических формул Схема решения Шаг 1. Используя всевозможные тригонометрические формулы, привести данное уравнение к уравнению, решаемому методами I, II, III. Шаг 2. Решить полученное уравнение известными методами.

Слайд 22


Методы использования различных тригонометрических формул Пример. sin x + sin 2x + sin 3x = 0. Решение: 1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0; 2sin 2x · cos x + sin 2x = 0. 2) sin 2x · (2cos x + 1) = 0; sin 2x = 0 или 2cos x + 1 = 0;
Описание слайда:
Методы использования различных тригонометрических формул Пример. sin x + sin 2x + sin 3x = 0. Решение: 1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0; 2sin 2x · cos x + sin 2x = 0. 2) sin 2x · (2cos x + 1) = 0; sin 2x = 0 или 2cos x + 1 = 0;

Слайд 23


Методы использования различных тригонометрических формул Из первого уравнения 2x = π/2 + πn, n ϵZ; из второго уравнения: cos x = -1/2. Имеем х = π/4 + πn/2, n ϵ Z; получим x = ±(π – π/3) + 2πk, k ϵ Z. В итоге х = π/4 + πn/2, n ϵ Z; x = ±2π/3 + 2πk, k ϵ Z. Ответ:  х = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k ϵ Z.
Описание слайда:
Методы использования различных тригонометрических формул Из первого уравнения 2x = π/2 + πn, n ϵZ; из второго уравнения: cos x = -1/2. Имеем х = π/4 + πn/2, n ϵ Z; получим x = ±(π – π/3) + 2πk, k ϵ Z. В итоге х = π/4 + πn/2, n ϵ Z; x = ±2π/3 + 2πk, k ϵ Z. Ответ:  х = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k ϵ Z.

Слайд 24


Урок одной задачи Решим уравнение: sinx + cosx = 1 . Это уравнение можно решить несколькими способами, предложим 5 способов.
Описание слайда:
Урок одной задачи Решим уравнение: sinx + cosx = 1 . Это уравнение можно решить несколькими способами, предложим 5 способов.

Слайд 25


1 способ: С помощью формул приведения . Представим sinx = cos(π/2 +x). Воспользуемся формулой суммы косинусов: 2cos((π/2 +2x)\2)cos π/4=1, тогда √2 cos (π/4 +x)=1, π/4 +x=±arccos(1/√2) +2πn, nϵZ x1=2πn, nϵZ; x2= - π/2 +2πn, nϵZ
Описание слайда:
1 способ: С помощью формул приведения . Представим sinx = cos(π/2 +x). Воспользуемся формулой суммы косинусов: 2cos((π/2 +2x)\2)cos π/4=1, тогда √2 cos (π/4 +x)=1, π/4 +x=±arccos(1/√2) +2πn, nϵZ x1=2πn, nϵZ; x2= - π/2 +2πn, nϵZ

Слайд 26


2 способ: (с помощью вспомогательного аргумента) Разделим обе части уравнения на √2 , получим: (1/√2) sinx + (1/√2) cosx = (1/√2), тогда sinx cosπ/4 +sinπ/4 cosx= (1/√2), sin(π/4 +x)= (1/√2), sin(π/4 +x)= (1/√2), π/4 +x1= π/4 + 2πn, nϵZ, π/4 +x2= 3π/4 + 2πn, nϵZ, x1=2πn, nϵZ, x2= π/2 + 2πn, nϵZ.
Описание слайда:
2 способ: (с помощью вспомогательного аргумента) Разделим обе части уравнения на √2 , получим: (1/√2) sinx + (1/√2) cosx = (1/√2), тогда sinx cosπ/4 +sinπ/4 cosx= (1/√2), sin(π/4 +x)= (1/√2), sin(π/4 +x)= (1/√2), π/4 +x1= π/4 + 2πn, nϵZ, π/4 +x2= 3π/4 + 2πn, nϵZ, x1=2πn, nϵZ, x2= π/2 + 2πn, nϵZ.

Слайд 27


3 способ: приведение уравнения к однородному sin x+cos x =1 Разложим левую часть по формулам двойного аргумента, а правую часть заменим тригонометрической единицей: 2sin x/2 * cos x/2 + cos² x/2 -sin² x/2 = sin² x/2 + cos² x/2 2sin x/2 * cos x/2 – 2sin² x/2 = 0 sin x/2 * (cos x/2 - sin x/2) =0 Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные при этом не теряют смысла, поэтому sin x/2 * (cos x/2 - sin x/2) =0 => sin x/2 = 0 или cos x/2 - sin x/2 = 0 sin x/2 = 0; x/2 = πk; x = 2πk; k Є Z;
Описание слайда:
3 способ: приведение уравнения к однородному sin x+cos x =1 Разложим левую часть по формулам двойного аргумента, а правую часть заменим тригонометрической единицей: 2sin x/2 * cos x/2 + cos² x/2 -sin² x/2 = sin² x/2 + cos² x/2 2sin x/2 * cos x/2 – 2sin² x/2 = 0 sin x/2 * (cos x/2 - sin x/2) =0 Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные при этом не теряют смысла, поэтому sin x/2 * (cos x/2 - sin x/2) =0 => sin x/2 = 0 или cos x/2 - sin x/2 = 0 sin x/2 = 0; x/2 = πk; x = 2πk; k Є Z;

Слайд 28


3 способ: приведение уравнения к однородному sin x/2 – cos x/2 = 0 – однородное уравнение первой степени. Делим обе его части на cos x/2 (cos x/2 ≠ 0, так как, если cos x/2 = 0, sin x/2 – 0 = 0 => sin x/2 = 0, что противоречит тождеству sin² x/2 + cos² x/2 = 1). Получим tg x/2 – 1 = 0; tg x/2 = 1; x/2 = π/4 = πn; x = π/2 + 2πn; n Є Z. Ответ: x = 2πk; k Є Z или x = π/2 + 2πn, n Є Z.
Описание слайда:
3 способ: приведение уравнения к однородному sin x/2 – cos x/2 = 0 – однородное уравнение первой степени. Делим обе его части на cos x/2 (cos x/2 ≠ 0, так как, если cos x/2 = 0, sin x/2 – 0 = 0 => sin x/2 = 0, что противоречит тождеству sin² x/2 + cos² x/2 = 1). Получим tg x/2 – 1 = 0; tg x/2 = 1; x/2 = π/4 = πn; x = π/2 + 2πn; n Є Z. Ответ: x = 2πk; k Є Z или x = π/2 + 2πn, n Є Z.

Слайд 29


4 cпособ: Возведение обеих частей уравнения в квадрат sin x + cos x = 1 sin² x+2sin x cos x + cos² x = 1; 1 + sin 2x = 1; sin 2x = 0; 2x = πk; x = πk/2, k Є Z. Полученное решение эквивалентно объединению четырех решений: x = 2πk, k Є Z, x = π/2 + 2πn, n Є Z, x = π + 2πm, m Є Z, x = - π/2 + 2πl, l Є Z. Проверка показывает, что второе и третье решения – посторонние. Ответ: x = 2πn, n Є Z, или x = - π/2 + 2πl, l Є Z.
Описание слайда:
4 cпособ: Возведение обеих частей уравнения в квадрат sin x + cos x = 1 sin² x+2sin x cos x + cos² x = 1; 1 + sin 2x = 1; sin 2x = 0; 2x = πk; x = πk/2, k Є Z. Полученное решение эквивалентно объединению четырех решений: x = 2πk, k Є Z, x = π/2 + 2πn, n Є Z, x = π + 2πm, m Є Z, x = - π/2 + 2πl, l Є Z. Проверка показывает, что второе и третье решения – посторонние. Ответ: x = 2πn, n Є Z, или x = - π/2 + 2πl, l Є Z.

Слайд 30


5 способ: универсальная подстановка Используемые формулы: sin x = 2tg x/2 / (1 + tg² x/2); cos x = (1 – tg² x/2) / (1 + tg² x/2); tg x = 2tg x/2 / (1 – tg² x/2).
Описание слайда:
5 способ: универсальная подстановка Используемые формулы: sin x = 2tg x/2 / (1 + tg² x/2); cos x = (1 – tg² x/2) / (1 + tg² x/2); tg x = 2tg x/2 / (1 – tg² x/2).

Слайд 31


5 способ: универсальная подстановка С учетом приведенных формул уравнение sin x + cos x = 1 запишем в виде 2tg x/2 / (1 + tg² x/2) + (1 – tg² x/2 )/( 1 + tg² x/2) = 1. Умножим обе части уравнения на (1 + tg² x/2): 2tg x/2 + 1 - tg² x/2 = 1 + tg² x/2; 2tg2 x/2 - 2tg x/2 = 0; tg x/2 = 0; tg x/2 =1 x/2 = πn, n Є Z., x = 2πn, n Є Z. x/2 = π/4 + πn; x = π/2 + 2πn, n Є Z.
Описание слайда:
5 способ: универсальная подстановка С учетом приведенных формул уравнение sin x + cos x = 1 запишем в виде 2tg x/2 / (1 + tg² x/2) + (1 – tg² x/2 )/( 1 + tg² x/2) = 1. Умножим обе части уравнения на (1 + tg² x/2): 2tg x/2 + 1 - tg² x/2 = 1 + tg² x/2; 2tg2 x/2 - 2tg x/2 = 0; tg x/2 = 0; tg x/2 =1 x/2 = πn, n Є Z., x = 2πn, n Є Z. x/2 = π/4 + πn; x = π/2 + 2πn, n Є Z.

Слайд 32


Методы решения тригонометрических уравнений, слайд №32
Описание слайда:

Скачать

Похожие презентации
Mypresentation.ru
Загрузить презентацию