🗊Презентация Дифференциальные уравнения

Лекция 8 Постановка задачи Метод Эйлера Метод Рунге–Кутты 2–го порядка Метод Рунге–Кутты 4–го порядка Автоматический выбор шага методом двойного просчета Решение систем уравнений 1–го порядка и уравнений высших порядков

Дифференциальные уравнения Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функции и производные этих функций. Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую переменную, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ), если же независимых переменных две или более, то такое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения. В общем виде ОДУ можно представить следующим образом:  F(x, y, y', y'', … y(n)) = 0 где x – независимая переменная; y – функция этой переменной; y(i) – производная i–го порядка функции y(x); n – порядок уравнения.

ОДУ первого порядка Будем рассматривать пока только ОДУ первого порядка, которые могут быть в общем виде записаны следующим образом:  F(x, y, y') = 0 y' = f(x, y) Вторая форма записи называется ОДУ, разрешенным относительно первой производной. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется такая дифференцируемая функция y=(x,C), которая при подстановке в исходное уравнение вместо неизвестной функции обращает уравнение в тождество. Здесь C – произвольная постоянная величина, и поэтому ОДУ первого порядка имеет бесконечное множество решений – множество функций, удовлетворяющих уравнению y' = f(x, y).

Общее решение ОДУ первого порядка

Пример общего решения ОДУ

Пример частного решения ОДУ

Численные методы решения ОДУ 1–го порядка

Метод Эйлера

Локальная погрешность метода Эйлера Остаточный член ряда Тейлора характеризует локальную (шаговую) погрешность метода Эйлера e1 = C∙h2, где C– некоторая постоянная. Локальная погрешность метода Эйлера пропорциональна квадрату шага интегрирования: при уменьшении шага в 2 раза локальная погрешность уменьшится в 4 раза.

Геометрическая иллюстрация метода Эйлера

Глобальная погрешность и порядок метода Эйлера На предыдущем слайде показаны локальные погрешности, образовавшиеся на каждом шаге, и глобальная (накопленная) погрешность, образовавшаяся за два шага. Известно, что порядок глобальной погрешности относительно шага интегрирования на единицу ниже, чем порядок локальной погрешности. Таким образом, глобальная погрешность метода Эйлера имеет порядок p=1: g1 = C∙h, где C – некоторая постоянная. Порядок численного метода для решения ОДУ определяется порядком его глобальной погрешности. Он может быть также определен, как количество вычислений значения производной f(x,y) искомой функции на каждом шаге. В соответствии с этим метод Эйлера является методом первого порядка.

Пример решения ОДУ методом Эйлера

Метод Рунге–Кутты 2–го порядка

Локальная погрешность метода Рунге–Кутты 2–го порядка Локальная погрешность метода Рунге–Кутты 2–го порядка e2 = C∙h3, где C – некоторая постоянная, и пропорциональна кубу шага интегрирования: при уменьшении шага в 2 раза локальная погрешность уменьшится в 8 раз.

Геометрическая иллюстрация метода Рунге–Кутты 2–го порядка

Пример решения ОДУ методом Рунге–Кутты 2–го порядка

Метод Рунге–Кутты 4–го порядка

Пример решения ОДУ методом Рунге–Кутты 4–го порядка

Метод двойного просчета. Правило Рунге.

Схема алгоритма метода Эйлера

Схема алгоритма метода Рунге–Кутты 2 порядка

Схема алгоритма метода Рунге–Кутты 4 порядка

Схема алгоритма решения ОДУ с автоматическим выбором шага, обеспечивающего заданную точность

Задача Коши для системы ОДУ 1–го порядка

Метод Эйлера для системы двух ОДУ

Приведение ОДУ 2–го порядка к системе ОДУ 1–го порядка