🗊Презентация Показательные уравнения и неравенства

Показательные уравнения и неравенства.

Содержание Показательные уравнения и их функция Показательные неравенства Способы решения показательных уравнений и неравенств Логарифмических уравнений их функция Логарифмические неравенства Способы решения логарифмических уравнений и неравенств Примеры для самостоятельного решения

Что такое показательная функция? Функцию вида y = ax, где a > 0 и a ≠ 1, называют показательной функцией.

Показательное уравнение Показательными называются уравнения, в которых неизвестная переменная находится только в показателях каких-либо степеней. Для решения показательных уравнений требуется знать и уметь использовать следующую несложную теорему: Показательное уравнение af(x) = ag(x) (где a > 0, a ≠ 1) равносильно уравнению f(x) = g(x).

Способы решения показательных уравнений

Основные формулы действий со степенями:

Пример 1. Решите уравнение:

Показательное неравенство

Способы решения показательных неравенств При решении показательных неравенств используются те же приемы, что при решении показательных уравнений. Будьте внимательны: показательная функция в зависимости от основания может быть возрастающей (а>1) или убывающей (а>1) Пример: Неравенства, сводящиеся к простейшим. Решаются приведением обеих частей неравенства к степени с одинаковым основанием. а)2x2> 2 x+2. Решение: 2x2> 2 x+2; х2 > х+2, т.к. функция y =2t возрастает, х2 – х–2 > 0; x < – 1; x > 2. Ответ:

Пример 2. Решите неравенство:

5.Итак, решением неравенства является промежуток, переходя к обратной подстановке 5.Итак, решением неравенства является промежуток, переходя к обратной подстановке 6.Левое неравенства в силу положительности показательной функции выполняется автоматически. Воспользовавшись известным свойством логарифма, переходим к эквивалентному неравенству 7.Поскольку в основании степени стоит число, большее единицы, эквивалентным (по теореме 2) будет переход к следующему неравенству Итак, окончательно получаем ответ: X

Логарифмическая функция Функцию вида y= называют логарифмической функцией.

Способы решения логарифмических уравнений. 1.По определению логарифма. 2.Потенцирование. 3.Введение новой переменной. 4. Логарифмирование обеих частей уравнения. 5. Приведение к одному основанию. 6. Функционально-графический метод.

Свойства логарифмов: Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел: =, a b>0, c a≠1 Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов этих чисел: , , a>0, b>0, c>0, a≠1 Если a и b — положительные числа, причем a ≠ 1, то для любого числа r справедливо равенство: =r, a b>0, a≠1 Равенство =, где a > 0, a ≠ 1, t > 0, s > 0, справедливо тогда и только тогда, когда t = s. Если a, b, c — положительные числа, причем a и c отличны от единицы, то имеет место равенство (формула перехода к новому основанию логарифма): = , a b>0, c a≠1, c≠1 Теорема: Если f(x) > 0 и g(x) > 0, то логарифмическое уравнение ) = ) (где a > 0, a ≠ 1) равносильно уравнению f(x) = g(x).

Способы решения логарифмических неравенств

Решение логарифмических уравнений и неравенств Решите уравнение: -6)=(8=5x) Решение: 1.В область допустимых значений входят только те x, при которых выражение, находящееся под знаком логарифма, больше нуля. Эти значения определяются следующей системой неравенств: 2.получаем промежуток, определяющий область допустимых значений данного логарифмического уравнения: 3.На основании теоремы , все условия которой здесь выполнены, переходим квадратичному уравнению В область допустимых значений входит только первый корень. Ответ: x = 7.

Решение логарифмических уравнений и неравенств Пример 2. Решите уравнение: +4+5)= Решение: Область допустимых значений уравнения определяется системой неравенств. Очевидно, что эти два условия противоречат друг другу. То есть нет ни одного такого значения x, при котором одновременно выполнялись бы оба неравенства. Область допустимых значений уравнения является пустым множеством, а значит решений у данного логарифмического уравнения нет. Ответ: корней нет.

Логарифмические неравенства Теорема 2. Если f(x) > 0 и g(x) > 0, то: при a > 1 логарифмическое неравенство log a f(x) > log a g(x) равносильно неравенству того же смысла: f(x) > g(x); при 0 < a < 1 логарифмическое неравенство log a f(x) > log a g(x) равносильно неравенству противоположного смысла: f(x) < g(x).

Логарифмические неравенства Пример 3. Решите неравенство: Решение: Начнем с определения области допустимых значений неравенства. Выражение, стоящее под знаком логарифмической функции, должно принимать только положительные значения. Это значит, что искомая область допустимых значений определяется системой неравенств. Так как в основании логарифма стоит число, меньшее единицы, соответствующая логарифмическая функция будет убывающей, а потому равносильным по теореме 2 будет переход к следующему квадратичному неравенству: Окончательно, с учетом области допустимых значений получаем ответ:

Примеры для самостоятельного решения.

Примеры для самостоятельного решения.

Используемая литература. http://festival.1september.ru/articles/600586/ http://www.yaklass.ru/materiali?mode=lsntheme&themeid=8 http://www.math.md/school/praktikum/logr/logr.html http://pptcloud.ru/matematika/pokazatelnye-uravneniya-i-neravenstva http://ru.solverbook.com/primery-reshenij/primery-resheniya-logarifmicheskix-neravenstv/ http://free.megacampus.ru/xbookM0001/index.html?go=part-025*page.htm https://yandex.ru/search/?text=%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D1%85%20%D0%BD%D0%B5%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2&lr=47&clid=1985544-205&win=168 http://festival.1september.ru/articles/576163/ http://www.egesdam.ru/page270.php http://www.math.md/school/praktikum/expr/expir.html

Спасибо за внимание!