🗊Презентация Начертательная геометрия

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Для студентов ФБФО

Чертеж – международный язык общения техников. Чертеж – международный язык общения техников. Начертательная геометрия – грамматика этого языка (чертежа). Начертательная геометрия изучает методы построения изображений пространственных объектов на плоскости, а также способы преобразования полученных изображений для упрощения решения различных инженерных задач.

Базовые геометрические элементы начертательной геометрии

Точка – абстрактное математическое понятие. Нульмерный объект (не имеет измерений). Точка – абстрактное математическое понятие. Нульмерный объект (не имеет измерений). Линия – непрерывное одномерное множество точек ( цепочка точек). Непрерывная последо-вательность положений точки, перемещаю-щейся в пространстве по определенному закону (траектории). Измерение : только длина. Толщины нет. Поверхность – непрерывное двумерное мно-жество точек. Непрерывная последователь-ность положений линии, перемещающейся в пространстве по определенному закону. Измерения : длина, ширина, площадь. Толщины и объема нет.

Проективное пространство

Для устранения неоднородности Евклидова пространства Для устранения неоднородности Евклидова пространства условно принято -

Метод проецирования

Метод проецирования А – объект (точка) SA – проецирующая прямая

Для любой точки пространства Для любой точки пространства SA ∩ Пк = Aк SВ ∩ Пк = Bк SС ∩ Пк = Cк SA ∩ SВ ∩ SС ∩ …= S

Варианты метода проецирования

Центральное проецирование (коническое) S (центр проецирования) -– реальная точка.

Параллельное проецирование (цилиндрическое) S (центр проецирования) – несобственная точка. S  S SA ∩ SB ∩ SC …= S

Виды параллельного проецирования (s^Пк)= φ φ=90º  (s Пк)  проецирование прямоугольное (ортогональное) φ=90º  (s Пк)  проецирование косоугольное

Ортогональные проекции точки на две взаимно перпендикулярные плоскости однозначно определяют положение точки в пространстве и делают изображения обратимыми. Ортогональные проекции точки на две взаимно перпендикулярные плоскости однозначно определяют положение точки в пространстве и делают изображения обратимыми.

Метод Монжа

Ортогональная система двух плоскостей проекций

П1  П2 П1  П2 П1 ∩ П2= (1,2)

Плоскости проекций П1 и П2 совмещены в одну общую плоскость. Плоскости проекций П1 и П2 совмещены в одну общую плоскость.

Проецирование точки

Проецирование прямой линии

Способы задания прямой на эпюре

Положение прямой относительно плоскости проекций

Характерная особенность эпюра прямой общего положения – горизонтальная и фронтальная проекции прямой не параллельны и не перпендикулярны координатной оси х12

Прямые уровня Это прямые параллельные какой-либо одной плоскости проекций

Горизонталь – h Это прямая параллельная горизонтальной плоскости проекций

Фронталь – f Это прямая параллельная фронтальной плоскости проекций

Характерная особенность эпюра горизонтали и фронтали – одна из проекций параллельна координатной оси х1,2

Профильная прямая - p Это прямая параллельная профильной плоскости проекций П3

Проецирующие прямые Это прямые перпендикулярные какой-либо одной плоскости проекций

Горизонтально-проецирующая прямая Это прямая перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций

Фронтально-проецирующая прямая Это прямая перпендикулярная фронтальной плоскости проекций

Характерная особенность эпюра проецирующей прямой – одна из проекций прямой точка

Взаимное положение двух прямых

Пересекающиеся прямые

Параллельные прямые

Скрещивающиеся прямые

Плоскость

Плоскость - это один из видов поверхности (плоская поверхность). Плоскость - это один из видов поверхности (плоская поверхность).

Способы задания плоскости Три точки α(А,В,С)

Положение плоскости относительно плоскостей проекций

Плоскость общего положения

Плоскости частного положения

Это плоскости перпендикулярные одной из плоскостей проекций

Это плоскости параллельные одной из плоскостей проекций

У плоскости частного положения одна из проекций обязательно имеет форму прямой линии. У плоскости частного положения одна из проекций обязательно имеет форму прямой линии.

Прямая линия в плоскости

Прямая принадлежит плоскости, если две точки прямой принадле-жат этой плоскости. Прямая принадлежит плоскости, если две точки прямой принадле-жат этой плоскости. l (1,2); (1Т )  (2Т)  l Т Дано: плоскость αАВС. Построить: l  α. Первый вариант Задаем: точка 1 принадлежит стороне АВ, точка 2 принадлежит стороне ВС. (1АВ)  (2ВС) Строим l (1,2)

Второй вариант Задаем: точка 1 принадлежит стороне АВ, а точка 2 принадлежит стороне АС, но является ее несобственной точкой. (1АВ) ; (2АС; 2≡2∞) Следовательно, прямая l параллельна стороне АС. (l ||АС) Данный вариант построения прямой следует рассматривать как задание прямой одной точкой и направлением l (1,s) 1 l  l ||s В качестве направления может быть выбрана любая прямая, принадлежащая плоскости. В нашем примере sАС, т.е. l ||АС

Прямые уровня плоскости

Горизонталь плоскости Дано: Плоскость αАВС Построить: h  α Задаем h (А,1); 1ВС h  1  h2  x1,2

Фронталь плоскости Дано: Плоскость αАВС Построить: f  α Задаем f (А,1); 1ВС f  2  f1  x1,2

ТОЧКА В ПЛОСКОСТИ

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, принадлежащей этой плоскости Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, принадлежащей этой плоскости

Взаимное положение двух плоскостей

Параллельные плоскости

Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Пересечение двух плоскостей

Линией пересечения плоскостей является прямая, которая должна быть задана двумя точками. Линией пересечения плоскостей является прямая, которая должна быть задана двумя точками. Любая из этих двух точек может быть получена: пересечением двух прямых (в каждой из двух заданных плоскостей выбирается по одной прямой и находится точка их пересечения); пересечением прямой с плоскостью (в одной из двух заданных плоскостей выбирается прямая и определяется точка ее пересечения с другой плоскостью); пересечением трех плоскостей (вводится дополнительная третья плоскость, и строится точка пересечения двух заданных плоскостей и дополнительной).

В первом варианте для выполнения пересечения двух прямых должно быть обеспечено условие: обе прямые должны лежать в одной плоскости. Т.е. должна быть введена третья дополнительная плоскость, которая при пересечении с исходными плоскостями и создает эти прямые. Тем самым мы переходим к третьему варианту. В первом варианте для выполнения пересечения двух прямых должно быть обеспечено условие: обе прямые должны лежать в одной плоскости. Т.е. должна быть введена третья дополнительная плоскость, которая при пересечении с исходными плоскостями и создает эти прямые. Тем самым мы переходим к третьему варианту. При определении точки пересечения прямой линии с плоскостью также должна быть введена дополнительная секущая плоскость. Следовательно, реально используются третий вариант.

Способ вспомогательных секущих плоскостей

Следовательно, при построении линии пересечения двух плоскостей, для упрощения построений вспомогательные секущие плоскости должны быть только плоскостями частного положения – проецирующими или уровня. Следовательно, при построении линии пересечения двух плоскостей, для упрощения построений вспомогательные секущие плоскости должны быть только плоскостями частного положения – проецирующими или уровня.

Исходное условие

Построение точки, принадлежащей линии пересечения двух плоскостей, введением дополнительной секущей плоскости

Построение точки, принадлежащей линии пересечения двух плоскостей, как точки пересечения прямой, принадлежащей одной из заданных плоскостей, с другой заданной плоскостью

Окончательный вид решения поставленной задачи на построение линии пересечения двух плоскостей

Взаимное положение прямой линии и плоскости

Прямая по отношению к плоскости может занимать следующие положения: Прямая по отношению к плоскости может занимать следующие положения: Принадлежать; Быть параллельной; Пересекать; Быть перпендикулярной.

Общий алгоритм определения взаимного положения прямой линии и плоскости Дано: прямая l и плоскость α(АВС). Определить: взаимное положение прямой l и плоскости α

Решение рассмотренной задачи на эпюре Решение рассмотренной задачи на эпюре

Пример 2 1.Выбрано l1≡ m1 2. m(1,2); 1=m∩АВ; 2=m ∩ВС; 3. Строим m2. 4. Определяем взаимное положение прямых m2 и l2 m2 ≡ l2 5. Следовательно, l α

Пример 3 1.Выбрано l2≡ m2 2. m(1,2); 1=m∩АВ; 2=m ∩ВС; 3. Строим m1. 4. Определяем взаимное положение прямых m1 и l1 m1 ‖ l1 5. Следовательно, l ‖ α

Точка на поверхности

Точка принадлежит поверхности, если она принадлежит линии, принадлежащей этой поверхности Точка принадлежит поверхности, если она принадлежит линии, принадлежащей этой поверхности

Точка на гранной поверхности Каждая грань – это отсек плоскости. Следовательно, построение точки на гранной поверхности сводится к построению точки на плоскости.

Точка на линейчатой поверхности Так как образующей линейчатой поверхности является прямая линия, то условие принадлежности точки поверхности можно сформулировать как принадлежность точки образующей этой поверхности. Для любой точки  (), если  и {g( )( )}, то g

Точка на поверхности вращения Линия l, которой должна принад-лежать точка, может иметь форму, как прямой линии (образующая), так и окружности (параллель).

Линия на поверхности

Линия принадлежит поверхности, если все множество ее точек принадлежит этой поверхности. Линия принадлежит поверхности, если все множество ее точек принадлежит этой поверхности. Следовательно, чтобы построить линию на поверхности, необходимо представить эту линию, как множество точек, и построить каждую из точек этого множества, используя условие принадлежности точки поверхности.

Построение произвольной линии на поверхности В качестве примера взята цилиндрическая поверхность общего вида

Пересечение поверхности плоскостью

Σ ∩ Ф = a Σ ∩ Ф = a Ф{m1, m2,....,mn} a{1,2,....,N} 1=m1 ∩ Σ 2=m2 ∩ Σ ............. N=mn ∩ Σ

Линию пересечения поверхности плоскостью следует рассматривать как множество точек пересечения секущей плоскости с линиями, принадлежащими поверхности. Линию пересечения поверхности плоскостью следует рассматривать как множество точек пересечения секущей плоскости с линиями, принадлежащими поверхности. Форма линии пересечения поверхности плоскостью определяется формой заданной поверхности и положением плоскости относительно этой поверхности. Для кривой поверхности, в общем случае, линия пересечения - это плоская кривая линия.

Из всего множества точек линии пересечения должны быть обязательно построены следующие точки: Из всего множества точек линии пересечения должны быть обязательно построены следующие точки: точки, определяющие габариты формы фигуру сечения; точки, определяющие габариты фигуры сечения по высоте, глубине и длине; точки, определяющие видимость фигуры сечения на проекциях.

Пересечение гранной поверхности плоскостью

При пересечении гранной поверхности плоскостью линия пересечения – это ломаная линия, каждый участок которой – отрезок прямой, представляющий собой линию пересечения грани поверхности (отсека плоскости) с секущей плоскостью, а точки излома – точки пересечения ребер гранной поверхности (отрезков прямых) с той же секущей плоскостью. При пересечении гранной поверхности плоскостью линия пересечения – это ломаная линия, каждый участок которой – отрезок прямой, представляющий собой линию пересечения грани поверхности (отсека плоскости) с секущей плоскостью, а точки излома – точки пересечения ребер гранной поверхности (отрезков прямых) с той же секущей плоскостью.

Следовательно, решение задачи на построение линии пересечения гранной поверхности плоскостью сводится к определению точек пересечения ребер гранной поверхности с принятой секущей плоскостью (пересечение прямой с плоскостью). Следовательно, решение задачи на построение линии пересечения гранной поверхности плоскостью сводится к определению точек пересечения ребер гранной поверхности с принятой секущей плоскостью (пересечение прямой с плоскостью).

m=Ф∩Р; m=Ф∩Р; mP и mФ Р⊥П2 Р2 m2 m{1,2,3}; 1=AF∩P; 2=CF∩ P; 3=BF∩ P

Пересечение конической поверхности плоскостью

Данная коническая поверхность относится к классу линейчатых и подклассу поверхностей вращения. Следовательно, для построения точки на поверхности можно использовать, как прямую линия (образующую), так и окружность (параллель). Данная коническая поверхность относится к классу линейчатых и подклассу поверхностей вращения. Следовательно, для построения точки на поверхности можно использовать, как прямую линия (образующую), так и окружность (параллель).

Пересечение прямой линии с поверхностью

Линию m, принадлежащую поверхности Ф, следует рассматривать как линию пересечения самой поверхности Ф с какой-то плоскостью, например, Т, в которую заключена прямая l. Линию m, принадлежащую поверхности Ф, следует рассматривать как линию пересечения самой поверхности Ф с какой-то плоскостью, например, Т, в которую заключена прямая l. Плоскость Т может быть какой угодно плоскостью, но ее положение в пространстве следует выбирать так, чтобы проекции линии пересечения m по возможности имели наибо-лее простую геометрическую форму – прямой (ломаной) или окружности. Наиболее часто плоскость Т принимают проецирующей.

l Т с условием, что l Т с условием, что Т ∩ Φ = m – линия на проекциях возможности наиболее простой геометрической формы. Если Т  Пк, то  mк ≡ Тк ≡ lк ) 2. Строим проекции линии m. Так как (l  Т)  (m  Т)  l ∩ m = {К1, К2, …} {К1, К2, …} m; m  Φ {К1, К2, …} Φ  {К1, К2, …} = l ∩Φ

Пересечение прямой линии с гранной поверхностью (на примере пирамидальной поверхности)

FABCD – четырехгранная пирамида. FABCD – четырехгранная пирамида. Определить точки К1 и К2 пересечения прямой l с поверхностью пирамиды. Так как при пересечении гранной поверхности плоскостью всегда образуется ломаная линия, то выбор положения вспомогательной плоскости Т по отношению к какой-либо плоскости проекций не имеет значения. Выбираем фронтально-проецирующую плоскость Т П2. Следовательно Т2  l2 ≡ m2 Строим горизонтальную проекцию m1, при условии, что m  Φ (FABCD) T ∩ FA = 1; T ∩ FB = 2; T ∩ FС = 3; T ∩ FD = 4; m{1,2,3,4} 1FA; 2FB; 3FC; 4FD; Определяем точки К11 и К21 пересечения линии m1 с l1. m1 ∩ l1={K11 , К21} Строим фронтальные проекции К12 и К22 точек К1 и К2.

Пересечение прямой линии с конической поверхностью

Задана прямая круговая коническая поверхность Ф и прямая l. Задана прямая круговая коническая поверхность Ф и прямая l. Определить точки К1 и К2 пересечения прямой l с конической поверхностью Ф. Так как коническая поверхность является прямой круговой с вертикальной осью вращения, то все параллели этой поверхности являются горизонталями. Заданная прямая также является горизонталью. Следовательно, если прямую l заключить в горизонтальную плоскость уровня, например, Т, то линией пересечения плоскости Т с поверхностью Ф будет одна из параллелей поверхности Ф.

Совмещаем m2 ≡ l2 Совмещаем m2 ≡ l2 Строим горизонтальную проекцию m1-окружность линии m. На горизонтальной проекции опре-деляем точки К1 и К2 пересечения прямой l и линии m. Строим фронтальные проекции точек К1 и К2. Определяем видимость участков прямой l.

Взаимное пересечение поверхностей

Линией пересечения двух поверхностей , в общем случае, является пространственная кривая линия, каждая точка которой может быть представлена как точка пересечения двух линий, принадлежащих каждой из заданных поверхностей и принадлежащих вспомогательным секущим поверхностям-посредникам, как плоским, так и кривым. Линией пересечения двух поверхностей , в общем случае, является пространственная кривая линия, каждая точка которой может быть представлена как точка пересечения двух линий, принадлежащих каждой из заданных поверхностей и принадлежащих вспомогательным секущим поверхностям-посредникам, как плоским, так и кривым. Обязательные требования, предъявляемые к секущим поверхностям-посредникам: каждая из секущих поверхностей-посредников должна пересекать обе заданные поверхности; линии, получаемые в результате пересечения должны пересекаться между собой и иметь, по возможности, наиболее простую геометрическую форму.

Φ ∩ Ω = l Φ ∩ Ω = l l{K1, K2, K3,… Ki} Ki = mi ∩ ni mi = Φ ∩ Σi ni = Ω ∩ Σi

Пересечение двух поверхностей может быть полным и неполным (частичным). Пересечение двух поверхностей может быть полным и неполным (частичным). Пересечение поверхностей считается полным, если все образующие одной поверхности пересекаются с другой поверхностью. В общем случае образу-ются две замкнутые линии пересечения. В противном случае пересечение счита-ется неполным (частичным). В этом случае формируется только одна замкну-тая линия пересечения.

Взаимное пересечение двух гранных поверхностей Линией пересечения двух гранных поверхностей является ломаная прямая линия, точками излома которой являются точки пересечения ребер одной гранной поверхности с гранями другой, а линиями, соединяющими эти точки, – отрезки прямых взаимного пересечения граней обеих поверхностей. Т.е. вся задача на построение линии пересече-ния двух гранных поверхностей сводится к много-кратному решению задачи на определение точки пересечения прямой с плоскостью.

Взаимное пересечение гранной поверхности с кривой поверхностью Линия пересечения гранной поверхности с кривой поверхностью представляет собой ломаную кривую линию, точками излома которой являются точки пересечения ребер гранной поверхности с кривой поверхностью, а линиями, соединяющими эти точки – плоские кривые, получаемые при пересечении граней гранной поверхности (отсеков плоскостей) с кривой поверхностью. Т.е. задача на построение линии пересечения гранной поверхности с кривой поверхностью сводится к многократному решению двух задач: определение точек пересечения прямой линии с кривой поверхностью; построение линии пересечения кривой поверхности плоскостью.