Решение нелинейных уравнений - презентация, доклад, проект скачать

Нажмите для полного просмотра!

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Решение нелинейных уравнений. Доклад-сообщение содержит 94 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Слайд 2

Описание слайда:

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ Решить уравнение – значит найти множество всех корней этого уравнения. При решении практических задач: корни вычислены с заданной степенью сложности-> задача нахождения корней считается решенной.

Слайд 3

Описание слайда:

КЛАССЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В зависимости от того, какие функции входят в уравнение f(x)=0, уравнения разделяются на два больших класса: алгебраические, трансцендентные.

Слайд 4

Описание слайда:

КЛАССЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ

Слайд 5

$АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ Алгебраическая функция – функция, содержащая арифметические операции (+, -, *, \ ) и возведение в степень с рациональным показателем.$

Описание слайда:

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ Алгебраическая функция – функция, содержащая арифметические операции (+, -, *, \ ) и возведение в степень с рациональным показателем.

Слайд 6

Описание слайда:

Пример рациональной алгебраической функции

Слайд 7

Описание слайда:

ПРИМЕРЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Слайд 8

Описание слайда:

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ Дробно-рациональная алгебраическая функция:

Слайд 9

Описание слайда:

ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ Трансцендентные функции – все неалгебраические функции: показательная ax , логарифмическая logax , тригонометрические sinx, cosx, tgx, ctgx; обратные тригонометрические arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx и др.

Слайд 10

Описание слайда:

ЭТАПЫ НАХОЖДЕНИЙ КОРНЯ Процесс нахождения приближенных значений корней уравнения разбивается на 2 этапа: 1) отделение корней, 2) уточнение корней до заданной степени точности.

Слайд 11

Описание слайда:

ЛОКАЛИЗАЦИЯ КОРНЕЙ Отделить корни – это значит разбить всю область допустимых значений на отрезки, в каждом из которых содержится один корень. Корень уравнения f(x)=0 считается отделенным на [a, b], если на этом отрезке уравнение f(x)=0 не имеет других корней.

Слайд 12

Описание слайда:

СПОСОБЫ ОТДЕЛЕНИЯ КОРНЕЙ Отделение корней можно произвести двумя методами: графическим, аналитическим.

Слайд 13

Описание слайда:

ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД ОТДЕЛЕНИЯ КОРНЕЙ I способ: Средствами машинной графики функция f(x) представляется на дисплее и приближенно определяются отрезки, которым принадлежат корни xi.

Слайд 14

Описание слайда:

ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД ОТДЕЛЕНИЯ КОРНЕЙ II способ: Все члены уравнения f(x)=0 разбивают на 2 группы, т.е. представляют уравнение в виде: . Далее строят графики функций Абсциссы точек пересечения графиков этих двух функций и служат корнями данного уравнения.

Слайд 15

Описание слайда:

ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД ОТДЕЛЕНИЯ КОРНЕЙ. ПРИМЕР Пример: Отделить графически корни уравнения: I способ: Построим график функции

Слайд 16

Описание слайда:

ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД ОТДЕЛЕНИЯ КОРНЕЙ. ПРИМЕР

Слайд 17

Описание слайда:

ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД ОТДЕЛЕНИЯ КОРНЕЙ. ЗАМЕЧАНИЕ

Слайд 18

Описание слайда:

АНАЛИТИЧЕСКИЙ СПОСОБ ОТДЕЛЕНИЯ КОРНЕЙ Аналитически корни уравнения f(x)=0 можно отделить, используя некоторые свойства функций, изучаемые в курсе математического анализа. Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка [a, b] существует, по крайней мере, один корень уравнения f(x)=0 .

Слайд 19

Описание слайда:

АНАЛИТИЧЕСКИЙ СПОСОБ ОТДЕЛЕНИЯ КОРНЕЙ Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна и монотонна на отрезке [a, b] и принимает на концах отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка [a, b] содержится корень уравнения f(x)=0 , этот корень единственный.

Слайд 20

Описание слайда:

АНАЛИТИЧЕСКИЙ СПОСОБ ОТДЕЛЕНИЯ КОРНЕЙ Теорема 3. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и принимает на концах отрезка значения разных знаков, а производная f’(x) сохраняет знак внутри отрезка, то внутри отрезка существует корень уравнения f(x)=0 и притом единственный.

Слайд 21

Описание слайда:

ГРАФИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ

Слайд 22

Описание слайда:

ГРАФИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ

Слайд 23

Описание слайда:

ГРАФИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ

Слайд 24

Описание слайда:

ГРАФИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ

Слайд 25

Описание слайда:

АНАЛИТИЧЕСКИЙ СПОСОБ ОТДЕЛЕНИЯ КОРНЕЙ Для того чтобы определить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке, надо: 1) Определить критические точки функции, т.е. точки, в которых первая производная функции равна нулю или не существует, но функция сохраняет непрерывность. 2) Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка [a, b]. 3) Наибольшее из значений, найденных в п.2, будет наибольшим, а наименьшее – наименьшим значением функции на отрезке.

Слайд 26

Описание слайда:

ПОРЯДОК ДЕЙСТВИЙ ДЛЯ ОТДЕЛЕНИЯ КОРНЕЙ АНАЛИТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ 1) Находят f’(x). 2) Составляют таблицу знаков функции f(x), полагая х равным: а) критическим значениям (корням) производной или ближайшим к ним б) граничным значениям (исходя из ОДЗ неизвестного). 3) Определяют интервалы, на концах которых функция принимает значения противоположных знаков. Внутри этих интервалов содержится по одному и только по одному корню.

Слайд 27

Описание слайда:

АНАЛИТИЧЕСКИЙ СПОСОБ ОТДЕЛЕНИЯ КОРНЕЙ. ПРИМЕР

Слайд 28

Описание слайда:

АНАЛИТИЧЕСКИЙ СПОСОБ ОТДЕЛЕНИЯ КОРНЕЙ. ПРИМЕР Составим таблицу знаков функции f(x), полагая х равным: а) критическим значениям (корням производной) или ближайшим к ним; б) граничным значениям

Слайд 29

Описание слайда:

АНАЛИТИЧЕСКИЙ СПОСОБ ОТДЕЛЕНИЯ КОРНЕЙ. ПРИМЕР Уравнение имеет два корня, т.к. происходит две перемены знака функции. Составим новую таблицу с более мелкими интервалами изоляции корня.

Слайд 30

Описание слайда:

ОТДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ Теорема 1: (о числе корней алгебраического уравнения - действительные числа (1) Алгебраическое уравнение n-й степени имеет ровно n корней, действительных или комплексных, при условии, что каждый корень считается столько раз, какова его кратность.

Слайд 31

Описание слайда:

ОТДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ Следствие: Алгебраическое уравнение нечетной степени имеет, по крайней мере, один действительный корень.

Слайд 32

Описание слайда:

КРАТНОСТЬ КОРНЯ Число x есть корень уравнения (1) кратности k, если при x=x0 вместе с функцией f(x) обращаются в нуль ее производные до (k-1) го порядка включительно. Простой корень- корень кратности k=1.

Слайд 33

Описание слайда:

ОТДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

Слайд 34

Описание слайда:

ОТДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ Теорема 3: (теорема Лагранжа о верхней границе положительных корней уравнения (1)). Пусть an > 0 и ai – первый отрицательный коэффициент в последовательности C – наибольшая из абсолютных величин отрицательных коэффициентов. Тогда за верхнюю границу положительных корней уравнения принимают число:

Слайд 35

Описание слайда:

ОТДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ Теорема 4: (о нижних и верхних границах положительных и отрицательных корней алгебраического уравнения).

Слайд 36

Описание слайда:

ОТДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ Тогда положительные корни и отрицательные корни уравнения(1) удовлетворяют неравенствам:

Слайд 37

Описание слайда:

ОТДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ Теорема 5: (теорема Декарта о количестве действительных корней алгебраического уравнения). Число S1 положительных корней (с учетом их кратности) алгебраического уравнения равно числу перемен знаков в последовательности коэффициентов (коэффициенты = 0 не учитываются) многочлена или меньше этого числа на четное число.

Слайд 38

Описание слайда:

ОТДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ Число S2 отрицательных корней (с учетом их кратности) алгебраического уравнения равно числу перемен знаков в последовательности коэффициентов многочлена или меньше этого числа на четное число.

Слайд 39

Описание слайда:

ОТДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ Теорема 6: (теорема Гюа о необходимом условии действительности всех корней алгебраического уравнения). Если алгебраическое уравнение имеет все действительные корни, то квадрат каждого некрайнего коэффициента больше произведения двух его соседних коэффициентов.

Слайд 40

Описание слайда:

ОТДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ. ПРИМЕР Отделить корни алгебраического уравнения по Теоремам.

Слайд 41

Описание слайда:

ОТДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ. ПРИМЕР

Слайд 42

Описание слайда:

ЛОКАЛИЗАЦИЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ

Слайд 43

Описание слайда:

ЛОКАЛИЗАЦИЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ

Слайд 44

Описание слайда:

ЛОКАЛИЗАЦИЯ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ Рассчитаем границы отрицательных корней по Теоремам 3 и 4:

Слайд 45

Описание слайда:

ЛОКАЛИЗАЦИЯ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ

Слайд 46

Описание слайда:

Нахождение числа положительных корней уравнения Определим количество положительных корней по Теореме 5 уравнения:

Слайд 47

Описание слайда:

Нахождение числа отрицательных корней уравнения Определим количество отрицательных корней уравнения. Для уравнения

Слайд 48

Описание слайда:

Исследование структуры корней По Теореме Гюа исследуем структуру корней по коэффициентам уравнения:

Слайд 49

Описание слайда:

Уточнение корней Уточнение корней – это доведение отделенных корней до заданной степени точности. Второй этап решения алгебраических и трансцендентных уравнений.

Слайд 50

Описание слайда:

УТОЧНЕНИЕ КОРНЕЙ Пусть дано уравнение f(x)=0, где f(x) – непрерывная функция. Требуется найти корень этого уравнения с точностью , где - некоторое положительное достаточно малое число. Будем считать, что корень отделен и находится на отрезке [a,b], т.е. f(a)*f(b)<0, причем |b-a|> . Здесь f(x) – непрерывная функция.

Слайд 51

Описание слайда:

МЕТОДЫ УТОЧНЕНИЯ КОРНЕЙ 1. МЕТОДЫ ДИХОТОМИИ -Метод половинного деления -Метод хорд 2. Метод простых итераций

Слайд 52

Описание слайда:

МЕТОД ПОЛОВИННОГО ДЕЛЕНИЯ Возьмем на отрезке [a,b] промежуточную точку так, чтобы она являлась серединой отрезка [a,b], т.е. c=(a+b)/2.

Слайд 53

Описание слайда:

МЕТОД ПОЛОВИННОГО ДЕЛЕНИЯ

Слайд 54

Описание слайда:

Априорная оценка метода половинного деления

Слайд 55

Описание слайда:

МЕТОД ХОРД Пробная точка c находится как абсцисса точки пересечения оси Ox с прямой, проходящей через точки A(a, f(a)) и B(b,f(b)), т.е. с хордой AB дуги A B.

Слайд 56

Описание слайда:

МЕТОД ХОРД. 1 СЛУЧАЙ

Слайд 57

Описание слайда:

Слайд 58

Описание слайда:

МЕТОД ХОРД. 1 СЛУЧАЙ

Слайд 59

Описание слайда:

МЕТОД ХОРД. 1 СЛУЧАЙ

Слайд 60

Описание слайда:

МЕТОД ХОРД. 2 СЛУЧАЙ

Слайд 61

Описание слайда:

Слайд 62

Описание слайда:

МЕТОД ХОРД. 2 СЛУЧАЙ

Слайд 63

Описание слайда:

МЕТОД ХОРД. 2 СЛУЧАЙ

Слайд 64

Описание слайда:

МЕТОД ХОРД Выбор формулы (2) или (3) можно осуществить, пользуясь простым правилом: неподвижным концом отрезка является тот, для которого знак функции совпадает со знаком второй производной.

Слайд 65

Описание слайда:

МЕТОД ХОРД → неподвижен конец b, в качестве начального приближения- конец a. При этом используется расчетная формула (2). → неподвижен конец a, в качестве начального приближения- конец b. При этом используется расчетная формула (3).

Слайд 66

Описание слайда:

МЕТОД ХОРД. УСЛОВИЕ ОСТАНОВА ПРОЦЕССА

Слайд 67

Описание слайда:

МЕТОД ХОРД. УСЛОВИЕ ОСТАНОВА ПРОЦЕССА

Слайд 68

Описание слайда:

МЕТОД ХОРД. ПРИМЕР

Слайд 69

Описание слайда:

МЕТОД ХОРД. ПРИМЕР

Слайд 70

Описание слайда:

МЕТОД ХОРД. ПРИМЕР

Слайд 71

Описание слайда:

МЕТОД ХОРД. ПРИМЕР

Слайд 72

Описание слайда:

МЕТОД ХОРД. ПРИМЕР

Слайд 73

Описание слайда:

МЕТОД ХОРД. ПРИМЕР

Слайд 74

Описание слайда:

МЕТОД ХОРД. ПРИМЕР

Слайд 75

Описание слайда:

МЕТОД ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ Дано (1) (2) Если существует и функция непрерывна, то получим Существование и единственность корня уравнения основывается на принципе сжимающих отображений (принципе неподвижной точки).

Слайд 76

Описание слайда:

МЕТОД ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ

Слайд 77

Описание слайда:

МЕТОД ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ

Слайд 78

Описание слайда:

МЕТОД ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ При условии убывания сжимающей функции φ(x), т.е.в случае, изображенном на рисунке 2, последовательности выстраиваются следующим образом:

Слайд 79

Описание слайда:

МЕТОД ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ. ГРАФИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ

Слайд 80

Описание слайда:

МЕТОД ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ. ГРАФИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ

Слайд 81

Описание слайда:

МЕТОД ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ Выводы: На некотором промежутке [a,b] функция φ(x) удовлетворяет условиям сжатия, зафиксированным в определении → уравнение x= φ(x) имеет и притом единственный корень x*є[a,b] ; к этому корню со скоростью геометрической прогрессии сходится определяемая МПИ последовательности (xk), начинающая с x0є[a,b], причем скорость сходимости тем выше, чем меньше коэффициент сжатия qє(0,1); 3. функция φ(x) монотонно возрастает на [a, b] → приближения xk к x0 также будут монотонными; 4. φ(x) убывает → процесс порождает двустороннее приближение к корню x*.

Слайд 82

Описание слайда:

УСЛОВИЯ СХОДИМОСТИ ИТЕРАЦИОННОГО ПРОЦЕССА тогда итерационный процесс сходится, независимо от выбора начального приближения, к единственному и однократному корню на отрезке [a, b].