🗊Презентация Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика

Необходимые сведения из теории вероятности Теория вероятностей – математическая наука, которая позволяет по вероятности одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных каким-либо образом между собой.

Элементарные события и вероятность Исход опыта - результат любого проводимого опыта (эксперимента). Событие - исход или группа исходов, удовлетворяющих определённым требованиям.

События Достоверное событие – это такое событие, которое всегда происходит в рассматриваемом эксперименте. Невозможное событие – это такое событие, которое никогда не может наступить в рассматриваемом эксперименте. Случайное событие - событие, которое при воспроизведении опыта может наступить, а может и не наступить.

Вероятность события Вероятность события - численная мера степени объективной возможности этого события. 0 ≤ P(A) ≤ 1 Полная группа событий – это несколько возможных событий, одно из которых обязательно должно произойти в результате опыта.

События Несовместные события – это события, которые не могут появиться вместе. Равновероятные события – события, вероятности которых равны между собой.

Классическая формула для вероятности события Вероятность события А - отношение благоприятного числа исходов опыта к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов

Статистическая вероятность Относительная частота события А (статистическая вероятность) серии одинаковых опытов - отношение числа опытов, в которых появилось событие А, к общему числу фактически произведённых опытов.

Комбинаторика Комбинаторика изучает количество комбинаций, которое можно составить из элементов, заданного конечного множества, в определенных условиях.

Перестановка Перестановка - это комбинация, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. где .

Пример 1 Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз? Решение. Искомое число трехзначных чисел

Размещение Размещение - это комбинация, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом, либо их порядком.

Пример 2 Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по 2? Решение. Искомое число сигналов

Сочетание Сочетание - это комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом.

Пример 3 Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 деталей 2? Решение. Искомое число сигналов

Основные правила комбинаторики Правило суммы. Если некоторый объект A может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект В может быть выбран п способами, то выбрать либо А, либо В можно т + п способами. Правило произведения. Если объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать п способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана тп способами.

Пример 4 В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди шести взятых наудачу деталей 4 стандартных. Решение. Общее число исходов испытания равно числу способов Число благоприятствующих событию Искомая вероятность

Теорема сложения вероятностей

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: Р(А + В) = Р(А) + Р(В). Следствие. Вероятность появления одного из не­скольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: Р (А1 + А2 + ... + Аn) = Р (А1) + Р (А2) +...+Р (Аn)

Пример Найти вероятность того, что наудачу взятое двухзначное число окажется кратным либо 2, либо 5, либо тому и другому одновременно. Решение. Пусть А - наудачу взятое двузначное число кратно 2, а В - это число кратно 5. А и В - события совместные. Двузначные числа - это 10, 11, . . . ,98, 99. (Всего их 90). Очевидно, 45 из них кратны 2 (событие А), 18 кратны 5 (событие В) и, наконец 9 кратны и 2, и 5 одновременно (события А и В) . По классическому определению вероятности: Р(А) = 45/90= 0,5; Р(В) = 18/90 = 0,2; Р(АВ) = 9/90 и следовательно: Р(А + В) = 0,5 + 0,2 - 0,1 = 0,6.

Теорема произведения вероятностей Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило: Р(АВ) = Р(А)РA(В). Для независимых событий теорема умножения имеет вид Р (АВ) = Р (А) Р(В).

Пример 1 У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков – конусный, а второй – эллиптический. Решение. Вероятность того, что первый валик окажется ко­нусным (событие А), Р (А) = 3/10. Вероятность того, что второй валик окажется эллиптическим (событие В), вычисленная в предположении, что первый валик — конусный, т. е. условная вероятность РА(В) = 7/9. По теореме умножения, искомая вероятность Р (АВ) = Р (А) РА (В) = (3/10) • (7/9) = 7/30. Заметим, что, сохранив обозначения, легко найдем: Р (В) =7/10, Р В (А) =3/9, Р (В)РВ (А) = 7/30, что наглядно иллюстрирует справедливость равенства Р (А) РА (В) = Р (В) РВ (А).

Формула Бернулли Задача. Вычислить вероятность того, что при n испытаниях событие А осуществится ровно k раз и, не осуществится n – k раз. Формула Бернулли или

Пример Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжение одних суток не превысит установленной нормы, равно P=0,75 . Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течении 4 суток не превысит нормы.  Решение Вероятность нормального расхода электроэнергии постоянна и равна P=0,75 . Следовательно, вероятность перерасхода также постоянна и равна q=1-P =0,25. Искомая вероятность по формуле Бернулли равна  

Случайная величина

Дискретная случайная величина

Закон распределения

Ряд распределения ДСВ

Функция распределения СВ

Пример Из партии, содержащей 100 изделий, среди которых имеются 10 дефектных, выбраны случайным образом пять изделий для проверки их качества. Построить ряд распределений случайного числа X дефектных изделий, содержащихся в выборке . Решение. Так как в выборке число дефектных изделий может быть любым целым числом в пределах от 0 до 5 включительно, то возможные значения xi случайной величины X равны: . Вероятность Р(Х = k) того, что в выборке окажется ровно k (k=0, 1, 2, 3, 4, 5) дефектных изделий, равна Используя для проверки равенство , убеждаемся, что расчеты и округление произведены правильно (см. таблицу).

Непрерывная случайная величина

Плотность распределения НСВ

Интегральный и дифференциальный законы распределения

Свойства функции распределения

Свойства плотности распределения

Числовые характеристики СВ

Мода и медиана

Начальный и центральный моменты СВ

2. Числовые характеристики случайной величины

Дисперсия

Среднее квадратическое отклонение

Пример 1 Из партии численностью 25 изделий, среди которых имеется шесть нестандартных, случайным образом выбраны три изделия. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нестандартных изделий, содержащихся в выборке. Решение. По условию задачи CB X принимает следующие значения: x1=0; x2=1; x3=2; x4=3. Вероятность того, что в этой выборке окажется ровно i (i = 0, 1, 2, 3) нестандартных изделий, вычисляется по формуле

Математическое ожидание Дисперсия СКО

Некоторые частные законы распределения СВ Законы распределения дискретных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин

Биномиальное распределение где 0 < p < 1, q = 1 – p, k = 0, 1, …, n, , Основные характеристики :

Геометрическое распределение где 0 < p < 1, q = 1 – p, k = 0, 1, …, n, Функция вероятности Функция распределения   Основные характеристики

Пуассоновское распределение где k= 0, 1, 2, …, λ > 0 – параметр пуассоновского распределения. Функция вероятности Функция распределения Основные характеристики  

Законы распределения непрерывных случайных величин

Равномерное распределение Функция вероятности Функция распределения Основные характеристики:

Экспоненциальное (показательное) распределение Функция вероятности Функция распределения Основные характеристики: Основные характеристики:

Нормальное распределение Функция вероятности Функция распределения Основные характеристики :

Распределение Стьюдента Функция вероятности Функция распределения Основные характеристики : Основные характеристики :

Математическая статистика

Задачи математической статистики Первая задача — указать способы сбора и группировки статистических сведений. (описательная статистика) Вторая задача — разработать методы анализа статистических данных: а) оценка неизвестных параметров распределения (теорию оценивания) б) проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения или о величине параметров распределения, вид которого известен (теория проверки гипотез).

Выборочная и генеральная совокупности

Повторная и бесповторная выборки

Способы отбора

Статистическое распределение выборки

Дискретный вариационный ряд

Интервальный вариационный ряд xmin и xmax Формула Стэрджеса: Интервальный вариационный ряд

Эмпирическая функция распределения

Свойства эмпирической функции распределения

Полигон и гистограмма

Площадь гистограммы Площадь i-гo частичного прямоугольника равна hni/h = ni – сумме частот вариант i-го интервала. площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т. е. объему выборки.

Площадь гистограммы относительных частот Площадь i-го частичного прямоугольника равна hWi/h = Wi – относительной частоте вариант, попавших в i-й интервал. Площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т. е. единице.

Когда ширина всех интервалов группировки одинакова, вид гистограммы не изменится, если по оси ординат откладывать не величины ni/h, а частоты интервалов ni (относительные частоты интервалов Wi )