🗊Презентация Комплексные числа

Комплексные числа

Мнимая единица. Если i =-1, то число i будем называть мнимой единицей. Значит i = Степени мнимой единицы: i; i² = -1; i³ = i² · i = ( -1 )i = -i; i = i³ · i = -i · i = -i = -(-1) = 1; i = i · i = 1 · i = i.

Алгебраическая форма . Числа вида а+bi, где а и b –действительные числа, i – мнимая единица, будем называть комплексными. Число а – действительная часть. Число bi – мнимая часть. Число b – коэффициент при мнимой части. Два комплексных числа a + bi и c + di равны, если a=c и b=d. Частные случаи:1) если а = 0, то bi – чисто мнимое число; 2) если b = 0, то а – действительное число; 3) если а = 0 и b = 0, то комплексное число = 0. Два комплексных числа называются сопряжёнными, если они отличаются друг от друга только знаками перед мнимой частью.

Историческая справка Итальянский математик Джерсламс Кардано (1501-1576), решая задачу о представлении числа 10 в виде суммы двух слагаемых так, чтобы произведение этих слагаемых равнялось 40, встретился с ситуацией, что система не имеет действительных решений. Величины, квадрат которых равен отрицательному числу Кардано назвал «софически отрицательными», считал, что они лишены всякого реального содержания. Писал: «Для осуществления таких действий нужна была бы новая арифметика, которая была бы настолько же утонченной, насколько бесполезной»

Основатели теории комплексных чисел Бомбелли-итальянский алгебраист в 1572г. ввёл правила арифметических действий Р. Декарт- французкий математик и философ в 1637г. Дал название «мнимые числа» Эйлер-русский математик, щвейцарец по происхождению, ввёл символ i , а в 1748г. нашел формулу, носящую теперь его имя. из формулы получается таинственное равенство единения арифметики, алгебры, геометрии и анализа. К.Гаусс в 1799г. доказал основную теорему алгебры, в 1831г. предложил геометрическую интерпретацию, Независимо от него датчанином Весселем (1797) и французом Аргоном (1806) предложено геометрическое толкование комплексных чисел

Словарь терминов Комплексный-лат. составной, сложный.Термин введён Гауссом i-первая буква французского слова imaginaire, мнимый Инверсия, inversio - лат. переворачивание

Рассмотрим плоскость с заданной на ней декартовой системой координат. Ось абсцисс назовём вещественной осью, ось ординат — мнимой осью.

Точку (a; b) называют комплексным числом z = a + bi. Число a — вещественная часть, а число b — мнимая часть комплексного числа z. Запись a + bi называют алгебраической формой комплексного числа z.

Число -z симметрично числу z относительно начала координат

Число, симметричное числу z относительно оси абсцисс, называют сопряжённым к числу.

 Это число a - bi обозначают так:

Модулем (абсолютной величиной) комплексного числа z называют расстояние от начала координат до точки (a; b). Аргумент числа — величина угла между положительным направлением оси абсцисс и лучём, выходящим из начала координат и проходящим через точку (a; b).

Как складывать комплексные числа z = a + bi и w = c + di?

Сумма комплексных чисел - это сумма векторов.

В алгебраической форме: z + w = (a + c) + (b + d)i.

Тригонометрическая форма комплексного числа — это его выражение z = r(cos φ + isin φ) через абсолютную величину r и аргумент φ комплексного числа z.