🗊Презентация Моделирование зависимостей между величинами

Моделирование зависимостей между величинами. Автор презентации: Кондратьев В.В Лукша.В.А

Применение математического моделирова­ния постоянно требует учета зависимостей одних величин от других. Реализация математической модели на компьютере (компьютерная математическая модель) требует владения приемами представления зависимостей между величинами. Приведем примеры таких зависимостей: время падения тела на землю зависит от его первоначальной высоты; давление газа в баллоне зависит от его температуры; уровень заболеваемости жителей города бронхиальной астмой зависит от концентрации вредных примесей в городском воздухе. Реализация математической модели на компьютере (компьютерная математическая модель) требует владения приемами представления зависимостей между величинами. Рассмотрим различные методы представления зависимостей. Всякое исследование нужно начинать с выделения количественных характеристик исследуемого объекта. Такие характеристики называются величинами. Со всякой величиной связаны три основных свойства: имя, значение, тип.

Имя величины Имя величины может быть смысловым и символическим. Примером смыслового имени является «давление газа», а символическое имя для этой же величины — Р. В базах данных величинами являются поля запи­сей. Для них, как правило, используются смысловые имена, например: ФАМИЛИЯ, ВЕС, ОЦЕНКА и т. п. В физике и других науках, использую­щих математический аппарат, применяются символические имена для обозначения величин. Чтобы не терялся смысл, для определенных вели­чин используются стандартные имена. Например, время обозначают бук­вой t, скорость — V, силу — F и пр.

Значение величины Если значение величины не изменяется, то она называется постоянной величиной или константой. Пример константы — число Пифагора л = 3,14259... . Величина, значение которой может меняться, называется переменной. Например, в описании процесса падения тела переменными величинами являются высота Н и время падения t.

Тип величины Третьим свойством величины является ее тип. С понятием типа вели­чины вы также встречались, знакомясь с программированием и базами данных. Тип определяет множество значений, которые может принимать величина. Основные типы величин: числовой, символьный, логический. Поскольку в данном разделе мы будем говорить лишь о количественных характеристиках, то и рассматриваться будут только величины числового типа.

А теперь вернемся к примерам 1-3 и обозначим все перенесенные величины, зависимости между которыми нас будут интересовать. Кроме имен укажем размерности величин. Размерности определяют еди­ницы, в которых представляются значения величин. t (с) — время падения; Н (м) — высота падения. Зависимость будем представлять, пренебрегая учетом сопротивления воздуха; ускоре­ние свободного падения g ( м / с 2) будем считать константой. Р (н/м2) — давление газа (в единицах системы СИ давление измеря­ется в ньютонах на квадратный метр); t °С — температура газа. Дав­ление при нуле градусов Ро будем считать константой для данного газа. Загрязненность воздуха будем характеризовать концентрацией при­месей (каких именно, будет сказано позже) — С (мг/м3). Единица из­мерения — масса примесей, содержащихся в 1 кубическом метре воздуха, выраженная в миллиграммах. Уровень заболеваемости бу­дем характеризовать числом хронических больных астмой, прихо­дящихся на 1000 жителей данного города — Р (бол./тыс.).

Если зависимость между величинами удается представить в математи­ческой форме, то мы имеем математическую модель. Математическая модель — это совокупность количественных ха­рактеристик некоторого объекта (процесса) и связей между ними, представленных на языке математики.Хорошо известны математические модели для первых двух примеров. Они отражают физические законы и представляются в виде формул: Это примеры зависимостей, представленных в функциональной форме. Первую зависимость называют корневой (время пропорционально квад­ратному корню высоты), вторую — линейной.

Табличные и графические модели Рассмотрим примеры двух других, не формулированных, способов представ­ления зависимостей между величинами: табличного и графического. Представьте себе, что мы решили проверить закон свободного падения тела экспериментальным путем. Эксперимент организуем следующим об­разом: будем бросать стальной шарик с 6-метровой высоты, 9-метровой и т. д. (через 3 метра), замеряя высоту начального положения шарика и время падения. По результатам эксперимента составим таблицу и нарису­ем график.

Если каждую пару значений Н и t из данной таблицы подставить в при­веденную выше формулу зависимости высоты от времени, то формула превратится в равенство (с точностью до погрешности измерений). Зна­чит, модель работает хорошо. В этом примере мы рассмотрели три способа моделирования зависимос­ти величин: функциональный (формула), табличный и графический. Однако математической моделью процесса падения тела на землю мож­но назвать только формулу. Формула более универсальна, она позволяет определить время падения тела с любой высоты, а не только для того экс­периментального набора значений Н , который отображен на рисунке предыдущего слайда. Имея формулу, можно легко создать таблицу и построить график, а наобо­рот — весьма проблематично. Точно так же тремя способами можно отобразить зависимость давле­ния от температуры. Оба примера связаны с известными физическими за­конами — законами природы. Знания физических законов позволяют производить точные расчеты, они лежат в основе современной техники.

В заключение Информационные модели, которые описывают развитие систем во вре­мени, имеют специальное название: динамические модели. В примере 1 приведена именно такая модель. В физике динамические информацион­ные модели описывают движение тел, в биологии — развитие организмов или популяций животных, в химии — протекание химических реакций и т . д.