Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Нажмите для полного просмотра!

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №2

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №3

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №4

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №5

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №6

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №7

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №8

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №9

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №10

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №11

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №12

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №13

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №14

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №15

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №16

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №17

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №18

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №19

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №20

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №21

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №22

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №23

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №24

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №25

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №26

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №27

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №28

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №29

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №30

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №31

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №32

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №33

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №34

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №35

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №36

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №37

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №38

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №39

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №40

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №41

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №42

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №43

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №44

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №45

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №46

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №47

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №48

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №49

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №50

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №51

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №52

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №53

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №54

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №55

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №56

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №57

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №58

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №59

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №60

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №61

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №62

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №63

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №64

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №65

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №66

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №67

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №68

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №69

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №70

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №71

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, слайд №72

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Доклад-сообщение содержит 72 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Модуль 5

Слайд 2

Описание слайда:

§ 1. Понятие функции двух переменных.

Слайд 3

Описание слайда:

Пусть x, y – две независимые друг от друга переменные. Графически пару независимых переменных (x, y) можно представить как точку M(x, y) на плоскости xOy. Пусть D – некоторое множество точек M(x, y). Пусть x, y – две независимые друг от друга переменные. Графически пару независимых переменных (x, y) можно представить как точку M(x, y) на плоскости xOy. Пусть D – некоторое множество точек M(x, y).

Слайд 4

Описание слайда:

Опр. Если каждой точке M(x, y) из множества D по некоторому закону f ставится в соответ-ствие вполне определенное действительное число z, то говорят, что z есть функция двух переменных x и y и пишут Опр. Если каждой точке M(x, y) из множества D по некоторому закону f ставится в соответ-ствие вполне определенное действительное число z, то говорят, что z есть функция двух переменных x и y и пишут z = f(x, y) или z = f(M), где M = M(x, y) – точка плоскости.

Слайд 5

Описание слайда:

Геометрическим изображением функции двух переменных является некоторая поверхность в трехмерном пространстве. Геометрическим изображением функции двух переменных является некоторая поверхность в трехмерном пространстве.

Слайд 6

Описание слайда:

Примеры: График функции (эллиптический параболоид)

Слайд 7

Описание слайда:

график функции график функции (гиперболический параболоид)

Слайд 8

Описание слайда:

График функции График функции

Слайд 9

Описание слайда:

График функции График функции

Слайд 10

Описание слайда:

Опр. Областью определения функции z = f(x, y) называется множество D точек M(x, y), в которых функция z = f(x, y) определена и может быть вычислена. Все значения, которые принимает функция z = f(x, y) (в области ее определения), образуют множество значений функции. Опр. Областью определения функции z = f(x, y) называется множество D точек M(x, y), в которых функция z = f(x, y) определена и может быть вычислена. Все значения, которые принимает функция z = f(x, y) (в области ее определения), образуют множество значений функции.

Слайд 11

Описание слайда:

Примеры

Слайд 12

Описание слайда:

Графическое изображение области определения функции. Пример. Построим область определения функции

Слайд 13

Описание слайда:

Слайд 14

Описание слайда:

Линии уровня Опр. Множество точек плоскости таких, что функция f(x, y) принимает в них одно и то же значение, f(x, y) = c, называется линией уровня.

Слайд 15

Описание слайда:

Слайд 16

Описание слайда:

Слайд 17

Описание слайда:

Слайд 18

Описание слайда:

Слайд 19

Описание слайда:

Построение графика функции двух переменных Рассмотрим пример построения графика функции

Слайд 20

Описание слайда:

Зафиксируем какое-нибудь значение этой функции, например, z = 75. Тем самым мы определили в пространстве плоскость z = 75. Находим линию уровня при z = 75: Зафиксируем какое-нибудь значение этой функции, например, z = 75. Тем самым мы определили в пространстве плоскость z = 75. Находим линию уровня при z = 75: 100 – x2 – y2 = 75, откуда x2 + y2 = 25 – уравнение окружности.

Слайд 21

Описание слайда:

Слайд 22

Описание слайда:

Находя множество линий уровня, строим весь график. Находя множество линий уровня, строим весь график.

Слайд 23

Описание слайда:

Слайд 24

Описание слайда:

§ 2. Понятие функции трех и более переменных. Всякая упорядоченная совокупность действительных чисел (x1, x2, …, xn) называется точкой n–мерного пространства Rn. Пусть D – некоторое мно-жество точек пространства Rn.

Слайд 25

Описание слайда:

Опр. Если каждой точке M(x1, x2, …, xn) из области D по некоторому закону f ставится в сответствие вполне определенное число u, то говорят, что u есть функция n переменных и пишут Опр. Если каждой точке M(x1, x2, …, xn) из области D по некоторому закону f ставится в сответствие вполне определенное число u, то говорят, что u есть функция n переменных и пишут u = f(x1, x2, …, xn) или u = f(M) где M = M(x1, x2, …, xn) – точка n–мерного пространства.

Слайд 26

Описание слайда:

Примеры

Слайд 27

Описание слайда:

Опр. Множество точек пространства, в которых функция трех переменных f(x, y, z) принимает одно и то же значение, f(x, y, z) = c, называется поверхностью уровня. Опр. Множество точек пространства, в которых функция трех переменных f(x, y, z) принимает одно и то же значение, f(x, y, z) = c, называется поверхностью уровня.

Слайд 28

Описание слайда:

Слайд 29

Описание слайда:

§ 3. Предел и непрерывность функции нескольких переменных

Слайд 30

Описание слайда:

Опр. Число A называется пределом функции z = f(x, y) в точке M0(x0, y0), если для каждого числа ε > 0 найдется такое число δ = δ(ε), что при 0

Слайд 31

Описание слайда:

Опр. Функция z = f(x, y) называется непрерывной в точке M0(x0, y0), если функция z = f(x, y) определена в этой точке и существует Опр. Функция z = f(x, y) называется непрерывной в точке M0(x0, y0), если функция z = f(x, y) определена в этой точке и существует

Слайд 32

Описание слайда:

Аналогичные определения имеют место и для функции u = f(x1, x2, …, xn) в случае произвольного числа n переменных. Аналогичные определения имеют место и для функции u = f(x1, x2, …, xn) в случае произвольного числа n переменных.

Слайд 33

Описание слайда:

Если в какой – либо точке условие непрерывности не выполняется, то эта точка называется точкой разрыва функции f(x, y). Это может быть в следующих случаях: Если в какой – либо точке условие непрерывности не выполняется, то эта точка называется точкой разрыва функции f(x, y). Это может быть в следующих случаях:

Слайд 34

Описание слайда:

1. Функция z = f(x, y) не определена в точке M0(x0, y0). 1. Функция z = f(x, y) не определена в точке M0(x0, y0). 2. Не существует предел 3. Этот предел существует, но он не равен f(x0, y0).

Слайд 35

Описание слайда:

§ 4. Частные производные функции нескольких переменных

Слайд 36

Описание слайда:

Слайд 37

Описание слайда:

Слайд 38

Описание слайда:

Слайд 39

Описание слайда:

Слайд 40

Описание слайда:

Слайд 41

Описание слайда:

Слайд 42

Описание слайда:

Слайд 43

Описание слайда:

Слайд 44

Описание слайда:

Слайд 45

Описание слайда:

Пусть z = f(x, y) – функция двух переменных. Дадим независимой переменной x приращение Δx, оставляя при этом переменную y неизменной. Тогда функция z получит приращение Пусть z = f(x, y) – функция двух переменных. Дадим независимой переменной x приращение Δx, оставляя при этом переменную y неизменной. Тогда функция z получит приращение которое называется частным приращением z по x.

Слайд 46

Описание слайда:

Аналогично, если независимой переменной y дадим приращение Δy, оставляя при этом неизменной переменную x, то функция z получит приращение Аналогично, если независимой переменной y дадим приращение Δy, оставляя при этом неизменной переменную x, то функция z получит приращение называемое частным приращением z по y.

Слайд 47

Описание слайда:

Опр. Частной производной по x от функции z называется предел отношения частного приращения Δxz к приращению Δx при стремлении Δx к нулю. Опр. Частной производной по x от функции z называется предел отношения частного приращения Δxz к приращению Δx при стремлении Δx к нулю. Эта производная обозначается одним из символов

Слайд 48

Описание слайда:

Таким образом, по определению, Таким образом, по определению,

Слайд 49

Описание слайда:

Аналогично определяется частная производная от функ-ции z = f(x, y) по переменной y : Аналогично определяется частная производная от функ-ции z = f(x, y) по переменной y : Обозначается одним из символов

Слайд 50

Описание слайда:

В общем случае частной производной первого порядка функции u = f(x1, x2, …, xn) по переменной xk называется предел В общем случае частной производной первого порядка функции u = f(x1, x2, …, xn) по переменной xk называется предел

Слайд 51

Описание слайда:

Т.к. при вычислении частных производных все переменные, кроме одной, считают постоянными, то для частных производных сохранаяются все правила и формулы дифференцирования функции одной переменной. Т.к. при вычислении частных производных все переменные, кроме одной, считают постоянными, то для частных производных сохранаяются все правила и формулы дифференцирования функции одной переменной.

Слайд 52

Описание слайда:

Пример. Найти частные производные функции Пример. Найти частные производные функции

Слайд 53

Описание слайда:

Решение. Полагая y = const, находим Решение. Полагая y = const, находим

Слайд 54

Описание слайда:

Полагая x = const, находим Полагая x = const, находим

Слайд 55

Описание слайда:

Пример. Найти значения частных производных функции Пример. Найти значения частных производных функции в точке M(1, –1, 0).

Слайд 56

Описание слайда:

Решение. Полагая y = const, z = const, находим Решение. Полагая y = const, z = const, находим

Слайд 57

Описание слайда:

Аналогично находим Аналогично находим

Слайд 58

Описание слайда:

Предположим, что функция z = f(x, y) имеет непрерывные частные производные Предположим, что функция z = f(x, y) имеет непрерывные частные производные

Слайд 59

Описание слайда:

Эти производные в свою очередь являются функциями независимых переменных x и y. Будем называть Эти производные в свою очередь являются функциями независимых переменных x и y. Будем называть и частными производными 1-го порядка.

Слайд 60

Описание слайда:

Частными производными 2-го порядка называются частные производные от частных производных 1-го порядка. Частными производными 2-го порядка называются частные производные от частных производных 1-го порядка. Для функции z = f(x, y) двух переменных можно найти четыре частные производные 2-го порядка, которые обозна-чаются следующим обр-м:

Слайд 61

Описание слайда:

Слайд 62

Описание слайда:

В общем случае смешанные частные производные могут не совпадать, однако для них справедлива теорема: В общем случае смешанные частные производные могут не совпадать, однако для них справедлива теорема: Теорема. Если смешанные частные производные и непрерывны в некоторой точке M(x, y), то они равны, т. е.

Слайд 63

Описание слайда:

Частными производными n–го порядка называются частные производные от частных производных (n – 1)–го порядка. Частными производными n–го порядка называются частные производные от частных производных (n – 1)–го порядка. Их обозначают и т. д.

Слайд 64

Описание слайда:

Частные производные любого порядка, взятые по различным переменным, называются смешанными. Частные производные любого порядка, взятые по различным переменным, называются смешанными.