🗊Презентация Введение в математический анализ

Категория: Математика
Нажмите для полного просмотра!
Введение в математический анализ, слайд №1Введение в математический анализ, слайд №2Введение в математический анализ, слайд №3Введение в математический анализ, слайд №4Введение в математический анализ, слайд №5Введение в математический анализ, слайд №6Введение в математический анализ, слайд №7Введение в математический анализ, слайд №8Введение в математический анализ, слайд №9Введение в математический анализ, слайд №10Введение в математический анализ, слайд №11Введение в математический анализ, слайд №12Введение в математический анализ, слайд №13Введение в математический анализ, слайд №14Введение в математический анализ, слайд №15Введение в математический анализ, слайд №16Введение в математический анализ, слайд №17Введение в математический анализ, слайд №18Введение в математический анализ, слайд №19Введение в математический анализ, слайд №20Введение в математический анализ, слайд №21Введение в математический анализ, слайд №22Введение в математический анализ, слайд №23Введение в математический анализ, слайд №24Введение в математический анализ, слайд №25Введение в математический анализ, слайд №26Введение в математический анализ, слайд №27Введение в математический анализ, слайд №28Введение в математический анализ, слайд №29Введение в математический анализ, слайд №30Введение в математический анализ, слайд №31Введение в математический анализ, слайд №32Введение в математический анализ, слайд №33Введение в математический анализ, слайд №34Введение в математический анализ, слайд №35Введение в математический анализ, слайд №36Введение в математический анализ, слайд №37Введение в математический анализ, слайд №38Введение в математический анализ, слайд №39Введение в математический анализ, слайд №40Введение в математический анализ, слайд №41Введение в математический анализ, слайд №42Введение в математический анализ, слайд №43Введение в математический анализ, слайд №44Введение в математический анализ, слайд №45Введение в математический анализ, слайд №46Введение в математический анализ, слайд №47Введение в математический анализ, слайд №48Введение в математический анализ, слайд №49Введение в математический анализ, слайд №50Введение в математический анализ, слайд №51Введение в математический анализ, слайд №52Введение в математический анализ, слайд №53Введение в математический анализ, слайд №54Введение в математический анализ, слайд №55Введение в математический анализ, слайд №56Введение в математический анализ, слайд №57Введение в математический анализ, слайд №58Введение в математический анализ, слайд №59Введение в математический анализ, слайд №60Введение в математический анализ, слайд №61Введение в математический анализ, слайд №62Введение в математический анализ, слайд №63Введение в математический анализ, слайд №64Введение в математический анализ, слайд №65Введение в математический анализ, слайд №66Введение в математический анализ, слайд №67Введение в математический анализ, слайд №68Введение в математический анализ, слайд №69Введение в математический анализ, слайд №70Введение в математический анализ, слайд №71Введение в математический анализ, слайд №72Введение в математический анализ, слайд №73Введение в математический анализ, слайд №74Введение в математический анализ, слайд №75Введение в математический анализ, слайд №76Введение в математический анализ, слайд №77Введение в математический анализ, слайд №78Введение в математический анализ, слайд №79Введение в математический анализ, слайд №80Введение в математический анализ, слайд №81Введение в математический анализ, слайд №82Введение в математический анализ, слайд №83Введение в математический анализ, слайд №84Введение в математический анализ, слайд №85
Скачать

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Введение в математический анализ. Доклад-сообщение содержит 85 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1


Введение в математический анализ Модуль 3
Описание слайда:
Введение в математический анализ Модуль 3

Слайд 2


Понятие функции. Способы задания функций Пусть X – некоторое множество действительных чисел.
Описание слайда:
Понятие функции. Способы задания функций Пусть X – некоторое множество действительных чисел.

Слайд 3


Определение. Если каждому элементу x из множества X по некоторому закону f ставится в соответствие вполне определённое действительное число y, то говорят, что y есть функция переменной величины x и пишут y = f(x). Определение. Если каждому элементу x из множества X по некоторому закону f ставится в соответствие вполне определённое действительное число y, то говорят, что y есть функция переменной величины x и пишут y = f(x).
Описание слайда:
Определение. Если каждому элементу x из множества X по некоторому закону f ставится в соответствие вполне определённое действительное число y, то говорят, что y есть функция переменной величины x и пишут y = f(x). Определение. Если каждому элементу x из множества X по некоторому закону f ставится в соответствие вполне определённое действительное число y, то говорят, что y есть функция переменной величины x и пишут y = f(x).

Слайд 4


Множество X называется областью определения функции f(x) и обозначается D(f ). Множество всех значений y функции y = f (x), когда x пробегает всю область определения, называется областью изменения или областью значений функции и обозначается E(f ). Множество X называется областью определения функции f(x) и обозначается D(f ). Множество всех значений y функции y = f (x), когда x пробегает всю область определения, называется областью изменения или областью значений функции и обозначается E(f ).
Описание слайда:
Множество X называется областью определения функции f(x) и обозначается D(f ). Множество всех значений y функции y = f (x), когда x пробегает всю область определения, называется областью изменения или областью значений функции и обозначается E(f ). Множество X называется областью определения функции f(x) и обозначается D(f ). Множество всех значений y функции y = f (x), когда x пробегает всю область определения, называется областью изменения или областью значений функции и обозначается E(f ).

Слайд 5


Например, для функции y = sin x область определения D(f ) = R, область значений E(f ) = [–1; 1]. Например, для функции y = sin x область определения D(f ) = R, область значений E(f ) = [–1; 1].
Описание слайда:
Например, для функции y = sin x область определения D(f ) = R, область значений E(f ) = [–1; 1]. Например, для функции y = sin x область определения D(f ) = R, область значений E(f ) = [–1; 1].

Слайд 6


Различают следующие способы задания функции: табличный, графический, аналитический (с помощью формул). Различают следующие способы задания функции: табличный, графический, аналитический (с помощью формул).
Описание слайда:
Различают следующие способы задания функции: табличный, графический, аналитический (с помощью формул). Различают следующие способы задания функции: табличный, графический, аналитический (с помощью формул).

Слайд 7


Под графиком функции понимают множество точек плоскости, абсциссы которых есть значения независимой переменной, а ординаты равны соответствующим значениям функции. График фукции есть некоторая линия на плоскости. Например, уравнение y = x2 задает функцию, графиком которой является парабола. Под графиком функции понимают множество точек плоскости, абсциссы которых есть значения независимой переменной, а ординаты равны соответствующим значениям функции. График фукции есть некоторая линия на плоскости. Например, уравнение y = x2 задает функцию, графиком которой является парабола.
Описание слайда:
Под графиком функции понимают множество точек плоскости, абсциссы которых есть значения независимой переменной, а ординаты равны соответствующим значениям функции. График фукции есть некоторая линия на плоскости. Например, уравнение y = x2 задает функцию, графиком которой является парабола. Под графиком функции понимают множество точек плоскости, абсциссы которых есть значения независимой переменной, а ординаты равны соответствующим значениям функции. График фукции есть некоторая линия на плоскости. Например, уравнение y = x2 задает функцию, графиком которой является парабола.

Слайд 8


К основным элементарным функциям относятся: К основным элементарным функциям относятся: y = xa (при постоянном a ∊ R) – степенная функция; y = ax (при постоянном a ∊ R, a > 0, a ≠ 1) – показательная функция; y = loga x (при постоянном a ∊ R, a > 0, a ≠ 1) – логарифмическая функция;
Описание слайда:
К основным элементарным функциям относятся: К основным элементарным функциям относятся: y = xa (при постоянном a ∊ R) – степенная функция; y = ax (при постоянном a ∊ R, a > 0, a ≠ 1) – показательная функция; y = loga x (при постоянном a ∊ R, a > 0, a ≠ 1) – логарифмическая функция;

Слайд 9


y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x – тригонометрические функции; y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x – тригонометрические функции; y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x – обратные тригонометрические функции.
Описание слайда:
y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x – тригонометрические функции; y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x – тригонометрические функции; y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x – обратные тригонометрические функции.

Слайд 10


Функция, заданная последовательной цепью нескольких функций (y = f(u), где u = φ(x)), называется сложной функцией. Например, функция y = lg3(2x) сложная, и она может быть представлена следующей цепью основных элементарных функций: y = z3, z = lg u, u = 2x. Функция, заданная последовательной цепью нескольких функций (y = f(u), где u = φ(x)), называется сложной функцией. Например, функция y = lg3(2x) сложная, и она может быть представлена следующей цепью основных элементарных функций: y = z3, z = lg u, u = 2x.
Описание слайда:
Функция, заданная последовательной цепью нескольких функций (y = f(u), где u = φ(x)), называется сложной функцией. Например, функция y = lg3(2x) сложная, и она может быть представлена следующей цепью основных элементарных функций: y = z3, z = lg u, u = 2x. Функция, заданная последовательной цепью нескольких функций (y = f(u), где u = φ(x)), называется сложной функцией. Например, функция y = lg3(2x) сложная, и она может быть представлена следующей цепью основных элементарных функций: y = z3, z = lg u, u = 2x.

Слайд 11


Функции, образованные из основных элементарных функций посредством конечного числа алгебраических операций и взятия функции от функции, называются элементарными. Функции, образованные из основных элементарных функций посредством конечного числа алгебраических операций и взятия функции от функции, называются элементарными.
Описание слайда:
Функции, образованные из основных элементарных функций посредством конечного числа алгебраических операций и взятия функции от функции, называются элементарными. Функции, образованные из основных элементарных функций посредством конечного числа алгебраических операций и взятия функции от функции, называются элементарными.

Слайд 12


Все остальные функции называются неэлементарными. Примером неэлементарной функции может служить функция вида Все остальные функции называются неэлементарными. Примером неэлементарной функции может служить функция вида
Описание слайда:
Все остальные функции называются неэлементарными. Примером неэлементарной функции может служить функция вида Все остальные функции называются неэлементарными. Примером неэлементарной функции может служить функция вида

Слайд 13


Функция, определяемая уравнениями Функция, определяемая уравнениями в которых зависимость между y и x устанавливается посредством третьей переменной t, называется заданной параметрически, при этом t – параметр.
Описание слайда:
Функция, определяемая уравнениями Функция, определяемая уравнениями в которых зависимость между y и x устанавливается посредством третьей переменной t, называется заданной параметрически, при этом t – параметр.

Слайд 14


Например, уравнения Например, уравнения определяют линейную функцию
Описание слайда:
Например, уравнения Например, уравнения определяют линейную функцию

Слайд 15


Предел числовой последовательности. Предел функции
Описание слайда:
Предел числовой последовательности. Предел функции

Слайд 16


Определение. Число A называется пределом последовательности Определение. Число A называется пределом последовательности a1, a2, …,an,…, если для любого положительного числа ε существует такой номер N = N(ε), что при всех n > N выполняется неравенство .
Описание слайда:
Определение. Число A называется пределом последовательности Определение. Число A называется пределом последовательности a1, a2, …,an,…, если для любого положительного числа ε существует такой номер N = N(ε), что при всех n > N выполняется неравенство .

Слайд 17


Если последовательность a1, a2, …an,… имеет своим пределом число A, то это записывается следующим образом: Если последовательность a1, a2, …an,… имеет своим пределом число A, то это записывается следующим образом: или
Описание слайда:
Если последовательность a1, a2, …an,… имеет своим пределом число A, то это записывается следующим образом: Если последовательность a1, a2, …an,… имеет своим пределом число A, то это записывается следующим образом: или

Слайд 18


Определение. Число А называется пределом функции y = f(x) при x → a (в точке x = a), если для каждого числа ε > 0 найдется такое число δ = δ(ε) > 0, что при 0 <|x – a| < δ выполняется неравенство |f(x) – A| < ε. Определение. Число А называется пределом функции y = f(x) при x → a (в точке x = a), если для каждого числа ε > 0 найдется такое число δ = δ(ε) > 0, что при 0 <|x – a| < δ выполняется неравенство |f(x) – A| < ε.
Описание слайда:
Определение. Число А называется пределом функции y = f(x) при x → a (в точке x = a), если для каждого числа ε > 0 найдется такое число δ = δ(ε) > 0, что при 0 <|x – a| < δ выполняется неравенство |f(x) – A| < ε. Определение. Число А называется пределом функции y = f(x) при x → a (в точке x = a), если для каждого числа ε > 0 найдется такое число δ = δ(ε) > 0, что при 0 <|x – a| < δ выполняется неравенство |f(x) – A| < ε.

Слайд 19


Обозначают этот факт так: Обозначают этот факт так:
Описание слайда:
Обозначают этот факт так: Обозначают этот факт так:

Слайд 20


Если число A является пределом функции y = f(x) при x → a, то на графике это иллюстрируется следующим образом. Если число A является пределом функции y = f(x) при x → a, то на графике это иллюстрируется следующим образом.
Описание слайда:
Если число A является пределом функции y = f(x) при x → a, то на графике это иллюстрируется следующим образом. Если число A является пределом функции y = f(x) при x → a, то на графике это иллюстрируется следующим образом.

Слайд 21


Так как из неравенства 0 <|x – a| < δ следует неравенство |f(x) – A| < ε, то это значит, что для всех x, отстоящих от a не далее чем на δ, точка M графика функции y = f(x) лежит внутри полосы шириной 2ε, ограниченной прямыми y = A – ε и y = A + ε. Очевидно, что с уменьшением ε величина δ также уменьшается. Так как из неравенства 0 <|x – a| < δ следует неравенство |f(x) – A| < ε, то это значит, что для всех x, отстоящих от a не далее чем на δ, точка M графика функции y = f(x) лежит внутри полосы шириной 2ε, ограниченной прямыми y = A – ε и y = A + ε. Очевидно, что с уменьшением ε величина δ также уменьшается.
Описание слайда:
Так как из неравенства 0 <|x – a| < δ следует неравенство |f(x) – A| < ε, то это значит, что для всех x, отстоящих от a не далее чем на δ, точка M графика функции y = f(x) лежит внутри полосы шириной 2ε, ограниченной прямыми y = A – ε и y = A + ε. Очевидно, что с уменьшением ε величина δ также уменьшается. Так как из неравенства 0 <|x – a| < δ следует неравенство |f(x) – A| < ε, то это значит, что для всех x, отстоящих от a не далее чем на δ, точка M графика функции y = f(x) лежит внутри полосы шириной 2ε, ограниченной прямыми y = A – ε и y = A + ε. Очевидно, что с уменьшением ε величина δ также уменьшается.

Слайд 22


Введение в математический анализ, слайд №22
Описание слайда:

Слайд 23


Число A называется пределом функции y = f(x) при x → ±∞, если для любого ε > 0 существует число M > 0, что при всех |x| > M выполняется неравенство |f(x) – A| < ε. Число A называется пределом функции y = f(x) при x → ±∞, если для любого ε > 0 существует число M > 0, что при всех |x| > M выполняется неравенство |f(x) – A| < ε.
Описание слайда:
Число A называется пределом функции y = f(x) при x → ±∞, если для любого ε > 0 существует число M > 0, что при всех |x| > M выполняется неравенство |f(x) – A| < ε. Число A называется пределом функции y = f(x) при x → ±∞, если для любого ε > 0 существует число M > 0, что при всех |x| > M выполняется неравенство |f(x) – A| < ε.

Слайд 24


Функция y = f(x) называется ограниченной в области D, если существует постоянное число M > 0, что для всех x ∊ D выполняется неравенство |f(x)| < M. Функция y = f(x) называется ограниченной в области D, если существует постоянное число M > 0, что для всех x ∊ D выполняется неравенство |f(x)| < M.
Описание слайда:
Функция y = f(x) называется ограниченной в области D, если существует постоянное число M > 0, что для всех x ∊ D выполняется неравенство |f(x)| < M. Функция y = f(x) называется ограниченной в области D, если существует постоянное число M > 0, что для всех x ∊ D выполняется неравенство |f(x)| < M.

Слайд 25


Например, функция Например, функция ограничена для всех x ∊ R, так как в этой области |f(x)| ≤ 2.
Описание слайда:
Например, функция Например, функция ограничена для всех x ∊ R, так как в этой области |f(x)| ≤ 2.

Слайд 26


Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Описание слайда:
Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Слайд 27


Определение. Функция α(x) называется бесконечно малой при x → a, если Определение. Функция α(x) называется бесконечно малой при x → a, если Функция β(x) называется бесконечно большой при x → a, если
Описание слайда:
Определение. Функция α(x) называется бесконечно малой при x → a, если Определение. Функция α(x) называется бесконечно малой при x → a, если Функция β(x) называется бесконечно большой при x → a, если

Слайд 28


Например, функция y = sin x является бесконечно малой при x → 0, а функция есть бесконечно малая при x → ±∞, так как их пределы равны нулю. Функция y = tg x является бесконечно малой при x → 0 и бесконечно большой при x → π/2. Например, функция y = sin x является бесконечно малой при x → 0, а функция есть бесконечно малая при x → ±∞, так как их пределы равны нулю. Функция y = tg x является бесконечно малой при x → 0 и бесконечно большой при x → π/2.
Описание слайда:
Например, функция y = sin x является бесконечно малой при x → 0, а функция есть бесконечно малая при x → ±∞, так как их пределы равны нулю. Функция y = tg x является бесконечно малой при x → 0 и бесконечно большой при x → π/2. Например, функция y = sin x является бесконечно малой при x → 0, а функция есть бесконечно малая при x → ±∞, так как их пределы равны нулю. Функция y = tg x является бесконечно малой при x → 0 и бесконечно большой при x → π/2.

Слайд 29


Теорема. Если функция α(x) – бесконечно малая при x → a, то Теорема. Если функция α(x) – бесконечно малая при x → a, то — бесконечно большая функция при x → a
Описание слайда:
Теорема. Если функция α(x) – бесконечно малая при x → a, то Теорема. Если функция α(x) – бесконечно малая при x → a, то — бесконечно большая функция при x → a

Слайд 30


Если функция β(x) – бесконечно большая при x → a, то Если функция β(x) – бесконечно большая при x → a, то – бесконечно малая функция при x → a
Описание слайда:
Если функция β(x) – бесконечно большая при x → a, то Если функция β(x) – бесконечно большая при x → a, то – бесконечно малая функция при x → a

Слайд 31


Справедливы следующие утверждения: Справедливы следующие утверждения: Сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.
Описание слайда:
Справедливы следующие утверждения: Справедливы следующие утверждения: Сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

Слайд 32


Произведение ограниченной функции на бесконечно малую есть бесконечно малая функция. Произведение ограниченной функции на бесконечно малую есть бесконечно малая функция. Произведение конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.
Описание слайда:
Произведение ограниченной функции на бесконечно малую есть бесконечно малая функция. Произведение ограниченной функции на бесконечно малую есть бесконечно малая функция. Произведение конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

Слайд 33


Теоремы о пределах Если пределы и существуют и конечны, то
Описание слайда:
Теоремы о пределах Если пределы и существуют и конечны, то

Слайд 34


1) 1) где с = const; 2)
Описание слайда:
1) 1) где с = const; 2)

Слайд 35


3) 3) 4) где
Описание слайда:
3) 3) 4) где

Слайд 36


Замечательные пределы Первый замечательный предел:
Описание слайда:
Замечательные пределы Первый замечательный предел:

Слайд 37


Второй замечательный предел: Второй замечательный предел: где e — иррациональное число, e ≈ 2,718281828 — одна из фундаментальных величин в математике.
Описание слайда:
Второй замечательный предел: Второй замечательный предел: где e — иррациональное число, e ≈ 2,718281828 — одна из фундаментальных величин в математике.

Слайд 38


Функция y = ex = exp(x) называется экспонентой; y = loge x = ln x называется натуральным логарифмом. Функция y = ex = exp(x) называется экспонентой; y = loge x = ln x называется натуральным логарифмом.
Описание слайда:
Функция y = ex = exp(x) называется экспонентой; y = loge x = ln x называется натуральным логарифмом. Функция y = ex = exp(x) называется экспонентой; y = loge x = ln x называется натуральным логарифмом.

Слайд 39


Пример. Вычислить Пример. Вычислить
Описание слайда:
Пример. Вычислить Пример. Вычислить

Слайд 40


Решение.Так как Решение.Так как то применима теорема о пределе частного. Значит,
Описание слайда:
Решение.Так как Решение.Так как то применима теорема о пределе частного. Значит,

Слайд 41


Пример. Вычислить Пример. Вычислить
Описание слайда:
Пример. Вычислить Пример. Вычислить

Слайд 42


Решение. Так как при x → ∞ числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, стремятся к бесконечности, то имеем неопределенность вида Решение. Так как при x → ∞ числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, стремятся к бесконечности, то имеем неопределенность вида
Описание слайда:
Решение. Так как при x → ∞ числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, стремятся к бесконечности, то имеем неопределенность вида Решение. Так как при x → ∞ числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, стремятся к бесконечности, то имеем неопределенность вида

Слайд 43


Для раскрытия таких неопределенностей делят числитель и знаменатель дроби на старшую степень x. После деления на x3 получаем: Для раскрытия таких неопределенностей делят числитель и знаменатель дроби на старшую степень x. После деления на x3 получаем:
Описание слайда:
Для раскрытия таких неопределенностей делят числитель и знаменатель дроби на старшую степень x. После деления на x3 получаем: Для раскрытия таких неопределенностей делят числитель и знаменатель дроби на старшую степень x. После деления на x3 получаем:

Слайд 44


Введение в математический анализ, слайд №44
Описание слайда:

Слайд 45


Пример. Вычислить Пример. Вычислить
Описание слайда:
Пример. Вычислить Пример. Вычислить

Слайд 46


Решение. Так как Решение. Так как то имеем неопределённость вида
Описание слайда:
Решение. Так как Решение. Так как то имеем неопределённость вида

Слайд 47


Так как, Так как, то
Описание слайда:
Так как, Так как, то

Слайд 48


Пример. Вычислить Пример. Вычислить
Описание слайда:
Пример. Вычислить Пример. Вычислить

Слайд 49


Решение. Имеем неопределенность вида Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение ( ), а также разложим знаменатель на линейные множители: Решение. Имеем неопределенность вида Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение ( ), а также разложим знаменатель на линейные множители:
Описание слайда:
Решение. Имеем неопределенность вида Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение ( ), а также разложим знаменатель на линейные множители: Решение. Имеем неопределенность вида Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение ( ), а также разложим знаменатель на линейные множители:

Слайд 50


Введение в математический анализ, слайд №50
Описание слайда:

Слайд 51


Введение в математический анализ, слайд №51
Описание слайда:

Слайд 52


Пример. Вычислить Пример. Вычислить
Описание слайда:
Пример. Вычислить Пример. Вычислить

Слайд 53


Решение. Для раскрытия неопределённости воспользуемся первым замечательным пределом. Считая, что x ≠ 0, проведём очевидные преобразования: Решение. Для раскрытия неопределённости воспользуемся первым замечательным пределом. Считая, что x ≠ 0, проведём очевидные преобразования:
Описание слайда:
Решение. Для раскрытия неопределённости воспользуемся первым замечательным пределом. Считая, что x ≠ 0, проведём очевидные преобразования: Решение. Для раскрытия неопределённости воспользуемся первым замечательным пределом. Считая, что x ≠ 0, проведём очевидные преобразования:

Слайд 54


Введение в математический анализ, слайд №54
Описание слайда:

Слайд 55


Пример. Вычислить Пример. Вычислить
Описание слайда:
Пример. Вычислить Пример. Вычислить

Слайд 56


Решение. Для раскрытия неопределённости 1∞ воспользуемся вторым замечательным пределом: Решение. Для раскрытия неопределённости 1∞ воспользуемся вторым замечательным пределом:
Описание слайда:
Решение. Для раскрытия неопределённости 1∞ воспользуемся вторым замечательным пределом: Решение. Для раскрытия неопределённости 1∞ воспользуемся вторым замечательным пределом:

Слайд 57


поскольку
Описание слайда:
поскольку

Слайд 58


Сравнение бесконечно малых функций Для сравнения двух бесконечно малых функций α(x) и β(x) в точке x = a находят предел отношения
Описание слайда:
Сравнение бесконечно малых функций Для сравнения двух бесконечно малых функций α(x) и β(x) в точке x = a находят предел отношения

Слайд 59


Если A ≠ 0 и A ≠ ∞, то функции α(x) и β(x) называются бесконечно малыми одного порядка. Если A ≠ 0 и A ≠ ∞, то функции α(x) и β(x) называются бесконечно малыми одного порядка. Если A = 0, то α(x) называется бесконечно малой высшего порядка по сравнению с β(x). Записывается это так: α(x) = o(β(x)).
Описание слайда:
Если A ≠ 0 и A ≠ ∞, то функции α(x) и β(x) называются бесконечно малыми одного порядка. Если A ≠ 0 и A ≠ ∞, то функции α(x) и β(x) называются бесконечно малыми одного порядка. Если A = 0, то α(x) называется бесконечно малой высшего порядка по сравнению с β(x). Записывается это так: α(x) = o(β(x)).

Слайд 60


Если A = 1, то бесконечно малые функции α(x) и β(x) называют эквивалентными и обозначают α(x) ~ β(x). Например, sin x ~ x при x → 0, так как Если A = 1, то бесконечно малые функции α(x) и β(x) называют эквивалентными и обозначают α(x) ~ β(x). Например, sin x ~ x при x → 0, так как
Описание слайда:
Если A = 1, то бесконечно малые функции α(x) и β(x) называют эквивалентными и обозначают α(x) ~ β(x). Например, sin x ~ x при x → 0, так как Если A = 1, то бесконечно малые функции α(x) и β(x) называют эквивалентными и обозначают α(x) ~ β(x). Например, sin x ~ x при x → 0, так как

Слайд 61


Основные эквивалентности при x → 0: Основные эквивалентности при x → 0: sin kx ~ kx, tg kx ~ kx, arcsin kx ~ kx, arctg kx ~ kx, ln (1+kx) ~ kx, ekx – 1 ~ kx.
Описание слайда:
Основные эквивалентности при x → 0: Основные эквивалентности при x → 0: sin kx ~ kx, tg kx ~ kx, arcsin kx ~ kx, arctg kx ~ kx, ln (1+kx) ~ kx, ekx – 1 ~ kx.

Слайд 62


При вычислении пределов используют следующую теорему. При вычислении пределов используют следующую теорему. Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых функций в некоторой точке равен пределу отношения эквивалентных им бесконечно малых функций в той же точке.
Описание слайда:
При вычислении пределов используют следующую теорему. При вычислении пределов используют следующую теорему. Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых функций в некоторой точке равен пределу отношения эквивалентных им бесконечно малых функций в той же точке.

Слайд 63


Пример. Вычислить Пример. Вычислить
Описание слайда:
Пример. Вычислить Пример. Вычислить

Слайд 64


Решение. Воспользуемся эквивалентными бесконечно малыми функциями. Так как при x → 0 Решение. Воспользуемся эквивалентными бесконечно малыми функциями. Так как при x → 0 и sin 3x ~ 3x, то
Описание слайда:
Решение. Воспользуемся эквивалентными бесконечно малыми функциями. Так как при x → 0 Решение. Воспользуемся эквивалентными бесконечно малыми функциями. Так как при x → 0 и sin 3x ~ 3x, то

Слайд 65


Введение в математический анализ, слайд №65
Описание слайда:

Слайд 66


Сравнение бесконечно малых функций Для сравнения двух бесконечно малых функций α(x) и β(x) в точке x = a находят предел отношения
Описание слайда:
Сравнение бесконечно малых функций Для сравнения двух бесконечно малых функций α(x) и β(x) в точке x = a находят предел отношения

Слайд 67


Если A ≠ 0 и A ≠ ∞, то функции α(x) и β(x) называются бесконечно малыми одного порядка. Если A ≠ 0 и A ≠ ∞, то функции α(x) и β(x) называются бесконечно малыми одного порядка. Если A = 0, то α(x) называется бесконечно малой высшего порядка по сравнению с β(x). Записывается это так: α(x) = o(β(x)).
Описание слайда:
Если A ≠ 0 и A ≠ ∞, то функции α(x) и β(x) называются бесконечно малыми одного порядка. Если A ≠ 0 и A ≠ ∞, то функции α(x) и β(x) называются бесконечно малыми одного порядка. Если A = 0, то α(x) называется бесконечно малой высшего порядка по сравнению с β(x). Записывается это так: α(x) = o(β(x)).

Слайд 68


Если A = 1, то бесконечно малые функции α(x) и β(x) называют эквивалентными и обозначают α(x) ~ β(x). Например, sin x ~ x при x → 0, так как Если A = 1, то бесконечно малые функции α(x) и β(x) называют эквивалентными и обозначают α(x) ~ β(x). Например, sin x ~ x при x → 0, так как
Описание слайда:
Если A = 1, то бесконечно малые функции α(x) и β(x) называют эквивалентными и обозначают α(x) ~ β(x). Например, sin x ~ x при x → 0, так как Если A = 1, то бесконечно малые функции α(x) и β(x) называют эквивалентными и обозначают α(x) ~ β(x). Например, sin x ~ x при x → 0, так как

Слайд 69


Основные эквивалентности при x → 0: Основные эквивалентности при x → 0: sin kx ~ kx, tg kx ~ kx, arcsin kx ~ kx, arctg kx ~ kx, ln (1+kx) ~ kx, ekx – 1 ~ kx.
Описание слайда:
Основные эквивалентности при x → 0: Основные эквивалентности при x → 0: sin kx ~ kx, tg kx ~ kx, arcsin kx ~ kx, arctg kx ~ kx, ln (1+kx) ~ kx, ekx – 1 ~ kx.

Слайд 70


При вычислении пределов используют следующую теорему. При вычислении пределов используют следующую теорему. Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых функций в некоторой точке равен пределу отношения эквивалентных им бесконечно малых функций в той же точке.
Описание слайда:
При вычислении пределов используют следующую теорему. При вычислении пределов используют следующую теорему. Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых функций в некоторой точке равен пределу отношения эквивалентных им бесконечно малых функций в той же точке.

Слайд 71


Пример. Вычислить Пример. Вычислить
Описание слайда:
Пример. Вычислить Пример. Вычислить

Слайд 72


Решение. Воспользуемся эквивалентными бесконечно малыми функциями. Так как при x → 0 Решение. Воспользуемся эквивалентными бесконечно малыми функциями. Так как при x → 0 и sin 3x ~ 3x, то
Описание слайда:
Решение. Воспользуемся эквивалентными бесконечно малыми функциями. Так как при x → 0 Решение. Воспользуемся эквивалентными бесконечно малыми функциями. Так как при x → 0 и sin 3x ~ 3x, то

Слайд 73


Введение в математический анализ, слайд №73
Описание слайда:

Слайд 74


Непрерывность функции Определение. Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x = x0, если предел функции в точке x0 существует и
Описание слайда:
Непрерывность функции Определение. Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x = x0, если предел функции в точке x0 существует и

Слайд 75


Односторонними называются пределы: Односторонними называются пределы: левосторонний предел в точке a: правосторонний предел в точке a:
Описание слайда:
Односторонними называются пределы: Односторонними называются пределы: левосторонний предел в точке a: правосторонний предел в точке a:

Слайд 76


Определение. Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x = x0, если существуют односторонние пределы в точке x0 и Определение. Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x = x0, если существуют односторонние пределы в точке x0 и
Описание слайда:
Определение. Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x = x0, если существуют односторонние пределы в точке x0 и Определение. Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x = x0, если существуют односторонние пределы в точке x0 и

Слайд 77


Если односторонние пределы конечны, но нарушается хотя бы одно из равенств Если односторонние пределы конечны, но нарушается хотя бы одно из равенств то x0 называется точкой разрыва 1-го рода.
Описание слайда:
Если односторонние пределы конечны, но нарушается хотя бы одно из равенств Если односторонние пределы конечны, но нарушается хотя бы одно из равенств то x0 называется точкой разрыва 1-го рода.

Слайд 78


Если хотя бы один из этих односторонних пределов не существует или равен бесконечности, то x0 называется точкой разрыва второго рода. Если хотя бы один из этих односторонних пределов не существует или равен бесконечности, то x0 называется точкой разрыва второго рода.
Описание слайда:
Если хотя бы один из этих односторонних пределов не существует или равен бесконечности, то x0 называется точкой разрыва второго рода. Если хотя бы один из этих односторонних пределов не существует или равен бесконечности, то x0 называется точкой разрыва второго рода.

Слайд 79


Например, функция Например, функция имеет в точке x = 1 разрыв 1-го рода
Описание слайда:
Например, функция Например, функция имеет в точке x = 1 разрыв 1-го рода

Слайд 80


Введение в математический анализ, слайд №80
Описание слайда:

Слайд 81


Функция Функция имеет в точке x = 2 разрыв второго рода
Описание слайда:
Функция Функция имеет в точке x = 2 разрыв второго рода

Слайд 82


Введение в математический анализ, слайд №82
Описание слайда:

Слайд 83


Если функция непрерывна во всех точках отрезка [a; b], то она называется непрерывной на этом отрезке. Если функция непрерывна во всех точках отрезка [a; b], то она называется непрерывной на этом отрезке.
Описание слайда:
Если функция непрерывна во всех точках отрезка [a; b], то она называется непрерывной на этом отрезке. Если функция непрерывна во всех точках отрезка [a; b], то она называется непрерывной на этом отрезке.

Слайд 84


Из определения непрерывности функции и теорем о пределах следуют теоремы: Из определения непрерывности функции и теорем о пределах следуют теоремы: I. Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке x0, то в этой точке непрерывны функции
Описание слайда:
Из определения непрерывности функции и теорем о пределах следуют теоремы: Из определения непрерывности функции и теорем о пределах следуют теоремы: I. Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке x0, то в этой точке непрерывны функции

Слайд 85


II. Сложная функция, составленная из непрерывных функций, непрерывна в соответствующей точке. II. Сложная функция, составленная из непрерывных функций, непрерывна в соответствующей точке. III. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке своей области определения.
Описание слайда:
II. Сложная функция, составленная из непрерывных функций, непрерывна в соответствующей точке. II. Сложная функция, составленная из непрерывных функций, непрерывна в соответствующей точке. III. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке своей области определения.

Скачать

Похожие презентации
Mypresentation.ru
Загрузить презентацию