🗊Презентация Введение в математический анализ

Функция. Способы задания функции.

Определение: Величина y называется функцией переменной величины x, если каждому числовому значению x, принадлежащему некоторой области его изменения X, соответствует единственное определенное числовое значение величины . Определение: Величина y называется функцией переменной величины x, если каждому числовому значению x, принадлежащему некоторой области его изменения X, соответствует единственное определенное числовое значение величины . Говорят, что на множестве задана функция х – независимая переменная (аргумент); Х – область определения функции; y – зависимая переменная; Y – множество значений функции.

Определение: Графиком функции называется множество точек плоскости хОу с координатами . Определение: Функция называется четной, если для любого выполняется равенство и нечетной, если выполняется равенство . График четной функции симметричен относительно оси ординат (Оу), а график нечетной функции симметричен относительно начала координат О(0; 0).

Определение: Функция называется периодической, если существует такое число , что для любых выполняется равенство: . Определение: Функция называется ограниченной на промежутке Х, если существует такое число , что для любого .

Определение: Если уравнение может быть однозначно разрешено относительно переменной х, то существует функция , которая называется обратной по отношению к функции . При этом . Определение: Если уравнение может быть однозначно разрешено относительно переменной х, то существует функция , которая называется обратной по отношению к функции . При этом . Определение: Если функция задана в виде , где , то функция называется сложной функцией (функцией от функции). Функция называется промежуточным аргументом.

Определение: Функция, заданная уравнением Определение: Функция, заданная уравнением , неразрешённым относительно зависимой переменной у, называется неявной функцией. Термины «явная функция» и «неявная функция характеризуют способ задания функции. Каждая явная функция может быть представлена в неявном виде: . Но не каждая неявно заданная функция может быть представлена явно. Например, не выражается через элементарные функции, то есть это уравнение невозможно разрешить относительно у.

Определение: Если значения переменных х и у зависят от параметра t, значения которого изменяются в интервале , то говорят, что функция задана параметрически: Определение: Если значения переменных х и у зависят от параметра t, значения которого изменяются в интервале , то говорят, что функция задана параметрически: Каждому значению t соответствуют значения х и у. Если х и у рассматривать как координаты точек на координатной плоскости Оху, то каждому значению t будет соответствовать определенная точка плоскости. Когда t изменяется от Т1 до Т2, эти точки на плоскости описывают некоторую кривую.

Определение: Функция называется возрастающей на промежутке Х, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции. Определение: Функция называется возрастающей на промежутке Х, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции. Если , то .

Определение: Функция называется убывающей на промежутке Х, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции. Определение: Функция называется убывающей на промежутке Х, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции. Если , то .

Предел функции

Определение: Функция стремится к пределу b при х стремящимся к a, если для любого , как бы мало оно не было, можно указать такое число Определение: Функция стремится к пределу b при х стремящимся к a, если для любого , как бы мало оно не было, можно указать такое число ( ), что для всех значений х, отличных от а, и удовлетворяющего условию , выполняется неравенство . Обозначают предел функции: . Математически определение предела функции записывают в виде:

Геометрически число b есть предел функции при , если для любого найдется такая -окрестность точки а, что для всех из этой -окрестности соответствующие точки графика функции лежат внутри полосы шириной , ограниченной прямыми и .

Односторонние пределы Если стремится к пределу при х стремящимся к а так, что х принимает только значения из интервала , то называют пределом функции в точке а слева, и пишут: .

Если стремится к пределу при х стремящимся к а так, что х принимает только значения из интервала , то называют пределом функции в точке а справа, и пишут: Если стремится к пределу при х стремящимся к а так, что х принимает только значения из интервала , то называют пределом функции в точке а справа, и пишут: . Пределы , называются односторонними пределами.

Пример: Рассмотрим функцию знака: Пример: Рассмотрим функцию знака: Функция в точке х=0 имеет левый и правый пределы:

Теорема: Функция имеет предел в точке тогда и только тогда, когда в этой точке существуют как левый, так и правый конечные пределы и они равны между собой, то есть Теорема: Функция имеет предел в точке тогда и только тогда, когда в этой точке существуют как левый, так и правый конечные пределы и они равны между собой, то есть . Замечание: Для существования предела функции при х стремящимся к а не требуется, чтобы функция была определена в точке . Необходимо, чтобы функция была определена в окрестности точки а.

Пример: Доказать, что . Пример: Доказать, что . Решение: Функция не определена при х=2. Докажем, что при произвольном ε найдется δ, что будет выполняться неравенство: При неравенство эквивалентно неравенству: Поэтому δ= ε и, следовательно,

Определение: Функция f(x) стремится к бесконечности при х стремящимся к а, если для каждого , как бы велико оно не было, можно указать такое число , что для всех значений х, удовлетворяющих условию , имеет место неравенство . Определение: Функция f(x) стремится к бесконечности при х стремящимся к а, если для каждого , как бы велико оно не было, можно указать такое число , что для всех значений х, удовлетворяющих условию , имеет место неравенство . Обозначается . В этом случае функция f(x) называется бесконечно большой (б. б.) при х→а.

Бесконечно малые функции Бесконечно малые функции Определение: Функция называется бесконечно малой (б. м.) при , если Из определения следует, что для любого , можно указать такое число , что для всех значений х, отличных от а, и удовлетворяющего условию , выполняется неравенство Между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами существует связь: где С – постоянное число.

Основные теоремы о пределах Основные теоремы о пределах 1. Предел суммы двух функций равен сумме пределов от каждой функции: 2. Постоянное число можно выносить за знак предела:

3. Предел произведения двух функций равен произведению пределов от каждой функции: 3. Предел произведения двух функций равен произведению пределов от каждой функции: Следствие: 4. Предел частного двух функций равен частному пределов от каждой функции:

Если не возникает никаких неопределенностей, то предел функции вычисляется непосредственной подстановкой вместо х предельного значения. Если не возникает никаких неопределенностей, то предел функции вычисляется непосредственной подстановкой вместо х предельного значения. Например:

Неопределенности. Способы разрешения неопределенностей.

Разрешение неопределенностей Существует несколько видов неопределенностей: 1. Неопределенность вида . При возникновении такой неопределенности возможны два случая: а) выражение, стоящее под знаком предела, представляет собой дробно-рациональную функцию; б) выражение, стоящее под знаком предела, содержит дробно-иррациональную функцию.

а) выражение, стоящее под знаком предела, представляет собой дробно-рациональную функцию а) выражение, стоящее под знаком предела, представляет собой дробно-рациональную функцию Если числитель и знаменатель такой функции обращаются в 0, это означает, что число, к которому стремится аргумент является корнем многочленов числителя и знаменателя. Поэтому числитель и знаменатель необходимо разложить на множители и сократить на общий множитель. Многочлены второй степени раскладывают на множители по корням х1 и х2:

Пример. Вычислить предел: Решение: Разложим числитель и знаменатель на множители, для этого определим корни многочленов:

Пример. Вычислить предел: Пример. Вычислить предел: Решение: При разложении числителя и знаменателя на множители можно производить деление многочлена на многочлен в столбик:

б) выражение, стоящее под знаком предела, содержит дробно-иррациональную функцию б) выражение, стоящее под знаком предела, содержит дробно-иррациональную функцию В этом случае для раскрытия неопределенности и числитель и знаменатель дроби умножают на сопряженное выражение к иррациональному выражению, используя формулу разности квадратов:

Пример. Вычислить предел: Пример. Вычислить предел: Решение: Здесь знаменатель дроби является иррациональным выражением, поэтому домножим и числитель и знаменатель дроби на выражение сопряженное к знаменателю:

Пример. Вычислить предел: Пример. Вычислить предел: Решение: Здесь числитель дроби является иррациональным выражением, поэтому домножим и числитель и знаменатель дроби на выражение сопряженное к числителю:

Пример. Вычислить предел: Пример. Вычислить предел: Решение: Здесь и числитель и знаменатель дроби являются иррациональными выражениями, поэтому домножим и числитель и знаменатель дроби на выражения сопряженные и к числителю и к знаменателю:

2. Неопределенность вида (бесконечность делить на бесконечность). 2. Неопределенность вида (бесконечность делить на бесконечность). В этом случае выражение, стоящее под знаком предела, представляет собой частное многочленов. Для разрешения такого вида неопределенности необходимо разделить все слагаемые числителя и знаменателя на переменную х в старшей степени и рассмотреть предел каждого слагаемого в отдельности.

Пример. Вычислить предел: Пример. Вычислить предел: Решение:

Пример. Вычислить предел: Пример. Вычислить предел: Решение:

Пример. Вычислить предел: Пример. Вычислить предел: Решение:

3. Неопределенность вида 3. Неопределенность вида Для разрешения неопределенности такого вида, необходимо умножить и разделить на выражение сопряженное иррациональному выражению.

Пример. Вычислить предел: Пример. Вычислить предел: Решение:

I замечательный предел Первый замечательный предел разрешает неопределенность вида и имеет вид: Первый замечательный предел используют в тех случаях, когда выражение, стоящее под знаком предела содержит тригонометрические функции. Частные случаи первого замечательного предела:

Пример. Вычислить предел: Пример. Вычислить предел: Решение:

Пример. Вычислить предел: Пример. Вычислить предел: Решение:

Пример. Вычислить предел: Пример. Вычислить предел: Решение:

Пример. Вычислить предел: Пример. Вычислить предел: Решение:

II замечательный предел Второй замечательный предел разрешает неопределенность вида и имеет вид: где Показательная функция с основанием е имеет вид: и называется экспонентой. Логарифм с основанием е имеет вид: и называется натуральным. Если , то

Пример. Вычислить предел: Пример. Вычислить предел: Решение:

Пример. Вычислить предел: Пример. Вычислить предел: Решение:

Пример. Вычислить предел: Пример. Вычислить предел: Решение:

Пример. Вычислить предел: Пример. Вычислить предел: Решение:

Пример. Вычислить предел: Пример. Вычислить предел: Решение: Преобразуем выражение стоящее под знаком предела, используя свойства логарифмической функции:

Сначала разрешим неопределенность, а затем вычислим логарифм полученного числа. Сначала разрешим неопределенность, а затем вычислим логарифм полученного числа.

Пример. Вычислить предел: Пример. Вычислить предел: Решение: В дальнейшем решении возможны два случая:

Непрерывность функции

Пусть функция определена при некотором значении и в некоторой окрестности с центром в точке . Пусть . Пусть функция определена при некотором значении и в некоторой окрестности с центром в точке . Пусть . Аргументу х придадим некоторое приращение . Тогда приращение функции выразится формулой:

Определение: Функция называется непрерывной в точке , если она определена в точке и некоторой ее окрестности, и если Определение: Функция называется непрерывной в точке , если она определена в точке и некоторой ее окрестности, и если или Условие непрерывности записывают в виде: Геометрически непрерывность функции в точке означает, что разность ординат графика функции в точках и будет по абсолютной величине малой, если только будет достаточно малой.

Условия непрерывности: Условия непрерывности: 1. Функция должна быть определена в точке х=х0, то есть f(x0). 2. В этой точке должны существовать конечные односторонние пределы 3. Эти пределы должны быть равны между собой: 4. Эти пределы должны быть равны значению функции в этой точке:

Если в какой-либо точке х=х0 для функции не выполняется по крайней мере одно из условий непрерывности, то в точке х=х0 функция имеет разрыв, а точка х=х0 называется точкой разрыва функции y=f(x). Если в какой-либо точке х=х0 для функции не выполняется по крайней мере одно из условий непрерывности, то в точке х=х0 функция имеет разрыв, а точка х=х0 называется точкой разрыва функции y=f(x).

Классификация точек разрыва: Классификация точек разрыва: Устранимый разрыв Определение: Точка х=х0 называется точкой устранимого разрыва функции y=f(x), если в данной точке существуют конечные односторонние пределы и они равны между собой, но функция в данной точке неопределена.

Пример. Найти точки разрыва функции и указать характер разрыва. Пример. Найти точки разрыва функции и указать характер разрыва. Решение: Данная функция определена на всей числовой прямой, за исключением точки . Найдем односторонние пределы: Таким образом, точка является точкой устранимого разрыва.

Разрыв первого рода Разрыв первого рода Определение: Точка называется точкой разрыва I рода для функции , если в данной точке существуют конечные односторонние пределы, но они не равны между собой.

Пример. Найти точки разрыва функции и указать характер разрыва. Пример. Найти точки разрыва функции и указать характер разрыва. Решение: Данная функция определена на всей числовой прямой, за исключением точки . Найдем односторонние пределы. Так как Таким образом, точка является точкой разрыва I рода.

Разрыв второго рода Разрыв второго рода Определение: Точка называется точкой разрыва II рода для функции , если в данной точке хотя бы один из односторонних пределов обращается в бесконечность.

Пример. Найти точки разрыва функции и указать характер разрыва. Пример. Найти точки разрыва функции и указать характер разрыва. Решение: Точка является точкой разрыва II рода, так как находя односторонние пределы, получим: