🗊Презентация Метрические пространства

Определение 1.15. Пусть – метрические пространства. Эти пространства называются гомеоморфными, если существует функция , которая является биективным отображением, и отображения и являются непрерывными в любой точке соответственно. и в этом случае называются гомеоморфизмами. Определение 1.15. Пусть – метрические пространства. Эти пространства называются гомеоморфными, если существует функция , которая является биективным отображением, и отображения и являются непрерывными в любой точке соответственно. и в этом случае называются гомеоморфизмами. Пример 1.7. Пусть – метрическое пространство, А  Х. Функция является непрерывной на .

1.3. Неравенства Юнга, Гельдера, Минковского 1.3. Неравенства Юнга, Гельдера, Минковского Лемма 1.4 (неравенство Юнга). Для любых чисел и любых p и q таких, что , выполняется неравенство

Теорема 1.2 (неравенство Гельдера для интеграла). Для любых непрерывных на отрезке функций и любых p и q таких, что , выполняется неравенство Теорема 1.2 (неравенство Гельдера для интеграла). Для любых непрерывных на отрезке функций и любых p и q таких, что , выполняется неравенство

Теорема 1.3 (неравенство Минковского для интеграла). Для любых непрерывных на отрезке функций и любых p и q таких, что выполняется неравенство Теорема 1.3 (неравенство Минковского для интеграла). Для любых непрерывных на отрезке функций и любых p и q таких, что выполняется неравенство

Теорема 1.4 (дискретное неравенство Гельдера). Пусть Если числовые ряды Теорема 1.4 (дискретное неравенство Гельдера). Пусть Если числовые ряды сходятся, то справедливо неравенство

Теорема 1.5 (дискретное неравенство Минковского). Пусть Если числовые ряды Теорема 1.5 (дискретное неравенство Минковского). Пусть Если числовые ряды сходятся, то справедливо неравенство

1.4. Дальнейшие примеры метрических пространств и сходимости в них. 1.4. Дальнейшие примеры метрических пространств и сходимости в них. Пример 1.8. Охарактеризовать сходимость в пространствах: 1) Rn; 2) C[a, b]. Задача 1.5. Показать, что сходимость в пространстве всех числовых последовательностей s эквивалентна покоординатной сходимости. Определение 1.16. Метрики d и метрических пространств называются эквивалентными, если

Утверждение 1.4. Если в метрических пространствах метрики эквивалентны, то пространства гомеоморфны. Утверждение 1.4. Если в метрических пространствах метрики эквивалентны, то пространства гомеоморфны. Утверждение 1.5. Если в метрических пространствах метрики эквивалентны, то сходимость последовательности по одной метрике влечет сходимость и по другой к одному и тому же элементу. Утверждение 1.6. В n-мерном пространстве следующие метрики эквивалентны:

Пример 1.9. lp (1 р < ) – пространство всех числовых последовательностей х = {xk}, для которых сходится ряд . Метрика в этом случае определяется так: Пример 1.9. lp (1 р < ) – пространство всех числовых последовательностей х = {xk}, для которых сходится ряд . Метрика в этом случае определяется так: Пример 1.10. l = m - пространство ограниченных числовых последовательностей с метрикой Пример 1.11. с0 - пространство сходящихся к нулю последовательностей с той же метрикой, что и в m.

Пример 1.12. Пусть Х = lp. В lp сходимость по координатам не влечёт сходимости последовательности точек в lp. Пример 1.12. Пусть Х = lp. В lp сходимость по координатам не влечёт сходимости последовательности точек в lp. Пример 1.13. Выяснить в каких из пространств сходятся последовательности:

1.5. Полные метрические пространства. 1.5. Полные метрические пространства. Определение 1.17. Последовательность называется фундаментальной последовательностью, если для , если . Лемма 1.5 (о сходимости последовательностей). Пусть {xn} – последовательность из метрического пространства Х. Следующие условия эквивалентны: 1. {xn} – сходится к х; 2. Любая подпоследовательность {xn} сходится х; 3. Для любой подпоследовательности существует подпоследовательность сходящаяся к х; 4. {xn} – фундаментальная и любая подпоследовательность сходится к х; 5. {xn} – фундаментальная и существует подпоследовательность , сходящаяся к х

Определение 1.18. Метрическое пространство Х называется полным, если любая фундаментальная последовательность в этом пространстве сходится к элементу этого пространства. Определение 1.18. Метрическое пространство Х называется полным, если любая фундаментальная последовательность в этом пространстве сходится к элементу этого пространства. Пример 1.14. Rn Пример 1.15. С[0, 1]. Пример 1.16.

Определение 1.19. Пусть дано метрическое пространство и последовательность замкнутых шаров Такая система шаров называется вложенной, если: Определение 1.19. Пусть дано метрическое пространство и последовательность замкнутых шаров Такая система шаров называется вложенной, если: 1. 2. rn = 0. Теорема 1.6 (Критерий полноты пространства). X - метрическое пространство является полным тогда и только тогда, когда любая вложенная система шаров в Х имеет не пустое пересечение (существует единственная точка принадлежащая каждому шару системы).