Элементы комбинаторики - презентация, доклад, проект скачать

Нажмите для полного просмотра!

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Элементы комбинаторики. Доклад-сообщение содержит 65 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

2.4. Элементы комбинаторики Перечислительная комбинаторика рассматривает задачи подсчёта количества различных конфигураций (например, перестановок, размещений, сочетаний и т.д.). Это нужно для расчета m и n в формуле априорной вероятности.

Слайд 2

Описание слайда:

2.4.1. Перестановки Перестановкой из n элементов называется всякий упорядоченный набор этих n элементов. Обозначим число перестановок n элементов Пn. Пример: 123 132 213 231 312 321 П3 = 6.

Слайд 3

Описание слайда:

Теорема 1. Пn = n!

Слайд 4

Описание слайда:

2.4.2. Сочетания Пусть k ≤ n. Сочетанием из n элементов по k называется всякий неупорядоченный набор k элементов, выбранных из n данных элементов. Замечание: 2 сочетания являются одинаковыми, если имеют одинаковый состав элементов. При этом они могут иметь разный порядок этих элементов. Например, 12 = 21. Обозначим число сочетаний из n элементов по k: Сnк. Пример: из элементов 1,2,3 берём сочетания по два элемента: 12 23 13 С32 = 3.

Слайд 5

Описание слайда:

Теорема 2.

Слайд 6

Описание слайда:

Частные случаи сочетаний:

Слайд 7

Описание слайда:

2.4.3. Размещения Пусть k ≤ n. Размещением из n элементов по k называется всякий упорядоченный набор k элементов, выбранных из n данных элементов. Замечание: 2 размещения являются разными, если имеют не только разный состав элементов, но и разный порядок этих элементов. Например, 12 ≠ 21. Обозначим число размещений из n элементов по k: Аnк. Пример: из элементов 1,2,3 берём размещения по два элемента: 12 4) 21 23 5) 32 13 6) 31 А32 = 6.

Слайд 8

Описание слайда:

Теорема 3.

Слайд 9

Описание слайда:

2.5. Случайные величины и их распределения Случайной величиной называется величина, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, заранее неизвестное и зависящее от множества причин, которые заранее не могут быть учтены. Каждый исход испытания характеризуется случайной величиной. Х = {x1, x2, …} Случайные величины: ДСВ – дискретные НСВ - непрерывные

Слайд 10

Описание слайда:

Дискретная случайная величина ДСВ – СВ, которая принимает отдельные изолированные возможные значения. Число возможных значений может быть конечным или бесконечным.

Слайд 11

Описание слайда:

Непрерывная случайная величина НСВ – СВ, которая может принимать любые значения из конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений всегда бесконечно.

Слайд 12

Описание слайда:

2.5.1. Числовые характеристики распределений Закон распределения СВ полностью характеризует случайную величину. Но для решения многих задач достаточно использовать числовые характеристики случайной величины: математическое ожидание М; дисперсия D; среднеквадратическое отклонение (СКО) σ.

Слайд 13

Описание слайда:

1. Математическое ожидание это наиболее вероятное, усредненное значение СВ. ДСВ: НСВ:

Слайд 14

Описание слайда:

2. Дисперсия это мера разброса СВ, то есть её усреднённое отклонение от математического ожидания. ДСВ: НСВ:

Слайд 15

Описание слайда:

Связь между математическим ожиданием и дисперсией для ДСВ и НСВ: D(X) = M((X – M(X))2) D(X) = M(X2) – (M(X))2

Слайд 16

Описание слайда:

3. Среднеквадратическое отклонение это также мера разброса СВ, но в отличие от дисперсии СКО измеряется в тех же единицах, что и сама СВ.

Слайд 17

Описание слайда:

Статистическое определение М, D Если закон распределения СВ неизвестен, но имеется выборка значений СВ объёмом n, то можно приблизительно оценить математическое ожидание и дисперсию:

Слайд 18

Описание слайда:

Почему в формуле дисперсии в знаменателе n-1? Потому что входящая в формулу величина мат.ожидания М сама зависит от элементов выборки. Если бы в формуле ещё одна величина была функцией элементов выборки, то пришлось бы взять n-2 и т.д.

Слайд 19

Описание слайда:

Альтернативная формула для определения дисперсии Дисперсию можно рассчитать статистически, не зная мат.ожидания:

Слайд 20

Описание слайда:

Центрированная СВ ЦСВ – это отклонение СВ от её математического ожидания Х = Х – М М(Х) = D(X) =

Слайд 21

Описание слайда:

Центрированная СВ ЦСВ – это отклонение СВ от её математического ожидания Х = Х – М М(Х) = 0 D(X) = D(X)

Слайд 22

Описание слайда:

Нормированная СВ это ЦСВ, выраженная в долях СКО. Z = X/σ М(Z) = D(Z) =

Слайд 23

Описание слайда:

Нормированная СВ это ЦСВ, выраженная в долях СКО. Z = X/σ М(Z) = 0 D(Z) = 1

Слайд 24

Описание слайда:

2.5.2. Законы распределения вероятностей ДСВ ДСВ задаётся: рядом распределения; функцией распределения (интегральный закон)

Слайд 25

Описание слайда:

а) Ряд распределения это совокупность всех возможных значений хi дискретной СВ Х и соответствующих им вероятностей pi. Замечание: события хi образуют группу гипотез =>

Слайд 26

Описание слайда:

Графически эту таблицу задают гистограммой или полигоном

Слайд 27

Описание слайда:

б) Функция распределения (интегральный закон) это функция F(x), равная вероятности того, что СВ примет значение, не превышающее х. F(x) = P(X < х) =

Слайд 28

Описание слайда:

Пример Из 100 изделий, среди которых 10 дефектных, выбирают случайным образом 5 изделий. Построить ряд распределения дефектных изделий в данной выборке.

Слайд 29

Описание слайда:

Решение

Слайд 30

Описание слайда:

2.5.3. Законы распределения вероятностей НСВ Задать НСВ таблицей нельзя. НСВ задают: функцией распределения F(x) (интегральный закон); плотностью распределения f(x) (дифференциальный закон).

Слайд 31

Описание слайда:

а) Интегральный закон распределения Функция распределения – это вероятность того, что НСВ примет значение, меньшее х. F(x) = P(X < x) Свойства: Р(а < Х < b) = F(b) – F(a) F(x1) < F(x2) <=> x1 < x2 (функция F не убывает) lim F(x) = 1 x → ∞ lim F(x) = 0 x → – ∞

Слайд 32

Описание слайда:

б) Дифференциальный закон распределения

Слайд 33

Описание слайда:

б) Дифференциальный закон распределения Свойства

Слайд 34

Описание слайда:

Некоторые дискретные распределения Рассмотрим следующие распределения ДСВ: биномиальное (закон Бернулли); Пуассона (закон редких событий)

Слайд 35

Описание слайда:

1) Биномиальное распределение Теорема 4. Пусть р – вероятность события А. Тогда вероятность того, что из n независимых испытаний ровно k исходов будут благоприятны, равна: рn(k) = Cnk pk (1 – p)n – k - формула Бернулли.

Слайд 36

Описание слайда:

1) Биномиальное распределение У биноминального распределения достаточно просто рассчитываются М и D: М = np D = np(1 – p)

Слайд 37

Описание слайда:

Пример на биномиальное распределение Энергосистема имеет 150 генераторных блоков. Вероятность отказа одного блока равна 0,06. а) Определить вероятность того, что в данный момент не работают ровно 2 блока. б) При каком числе k вероятность отказа одновременно k блоков будет максимальной? Определить эту вероятность.

Слайд 38

Описание слайда:

Решение р = 0,06 1 – р = 1 – 0,06 = 0,94 р150(2) = C1502 ·0,062 ·0,94150 – 2 = 0,00424. М = 150·0,06 = 9 = k D = 9·0,94 = 8,46 σ = 2,91 р150(9) = C1509 ·0,069 ·0,94150 – 9 = 0,136.

Слайд 39

Описание слайда:

Распределение р150(к)

Слайд 40

Описание слайда:

2) Распределение Пуассона Теорема 5. Пусть р – вероятность события А. При этом р – очень малое число. Проводится серия из n испытаний. Среднее число появления события А не меняется в различных сериях испытаний. а = np = const. Тогда вероятность появления k событий А равна

Слайд 41

Описание слайда:

2) Распределение Пуассона У распределения Пуассона достаточно просто рассчитываются М и D: М = D = а

Слайд 42

Описание слайда:

Пример Завод производит реле с вероятностью дефекта 0,01. Покупаем 200 реле. Найти вероятность того, что среди купленных реле: не будет дефектных реле; будет 1 дефектное реле; будет 2 дефектных реле и т.д. Построить ряд распределения числа дефектных реле среди купленных.

Слайд 43

Описание слайда:

Решение

Слайд 44

Описание слайда:

Распределение р200(к)

Слайд 45

Описание слайда:

Некоторые непрерывные распределения Рассмотрим следующие распределения НСВ: экспоненциальное; нормальное.

Слайд 46

Описание слайда:

1) Экспоненциальное распределение Задаётся плотность распределения: f(x) = λ exp(– λx), где λ = const > 0 – единственный параметр распределения; х ≥ 0 Это распределение моделирует время между двумя последовательными совершениями одного и того же события.

Слайд 47

Описание слайда:

1) Экспоненциальное распределение

Слайд 48

Описание слайда:

1) Экспоненциальное распределение F(x) = 1 – exp(– λx), М(Х) = 1/λ D(Х) = 1/λ2

Слайд 49

Описание слайда:

1) Экспоненциальное распределение

Слайд 50

Описание слайда:

Пример на экспоненциальное распределение В среднем выключатель отказывает раз в 20 лет (λ = 1/20). Тогда вероятность отказа выключателя: за 10 лет: 1 – exp(– 10/20) = 0,39; за 20 лет: 1 – exp(– 20/20) = 0,63; за 40 лет: 1 – exp(– 40/20) = 0,86; за 60 лет: 1 – exp(– 60/20) = 0,95.

Слайд 51

Описание слайда:

2) Нормальное распределение Плотность распределения: Функция распределения:

Слайд 52

Описание слайда:

2) Нормальное распределение В отличие от экспоненциального распределения (с единственным параметром λ), характеризуется двумя параметрами: математическое ожидание a; СКО σ.

Слайд 53

Описание слайда:

2) Нормальное распределение

Слайд 54

Описание слайда:

2) Нормальное распределение

Слайд 55

Описание слайда:

2) Нормальное распределение Видно, что: график f(х) симметричен относительно оси х = а; график F(x) симметричен относительно точки (а; 0,5). Отсюда – идея центрировать эти функции: f(х), чтобы она стала чётной; F(x), чтобы она стала нечётной.

Слайд 56

Описание слайда:

2) Нормальное распределение Пусть z = (x – a)/σ. Этот аргумент – безразмерный, т.к. х, a, σ имеют одинаковые размерности. То есть функцию не только центрируют, но и нормируют.

Слайд 57

Описание слайда:

2) Нормальное распределение Плотность распределения: Функция распределения:

Слайд 58

Описание слайда:

2) Нормальное распределение

Слайд 59

Описание слайда:

2) Нормальное распределение

Слайд 60

Описание слайда:

2) Нормальное распределение Функция F(z) по-прежнему неудобна, т.к.: она не является ни чётной, ни нечётной; интеграл не берётся. Введём функцию Лапласа: Докажем, что F(z) = 0,5 + Ф(z)

Слайд 61

Описание слайда:

2) Нормальное распределение

Слайд 62

Описание слайда:

2) Нормальное распределение Функция Лапласа Ф(z) нечётная, поэтому её можно задать только при z ≥ 0. Интеграл также не берётся, но его значения можно задать таблицей.

Слайд 63

Описание слайда:

2) Нормальное распределение С помощью функции Лапласа можно вычислить вероятность того, что случайная величина примет значение между х1 и х2: Р(х1 < Х < х2) = F(х2) – F(х1) = = 0,5 + Ф(z2) – 0,5 – Ф(z1) = Ф(z2) – Ф(z1), где z1,2 = (х1,2 – а) / σ

Слайд 64

Описание слайда:

Пример на вычисление вероятности для нормального распределения Рассматривается НСВ – мощность нагрузки, МВт. Данная НСВ имеет нормальное распределение с мат. ожиданием 10 МВт и СКО 2 МВт. Найти вероятность того, что мощность нагрузки примет значение от 12 до 14 МВт.

Слайд 65

Описание слайда:

Пример на вычисление вероятности для нормального распределения Решение: z1 = (х1 – а) / σ = (12 – 10) / 2 = 1; z2 = (х2 – а) / σ = (14 – 10) / 2 = 2; Р(12 < Х < 14) = Ф(2) – Ф(1) = 0,4772 – 0,3413 = = 0,1359.

Теги Элементы комбинаторики

Похожие презентации