🗊Презентация Матрицы и определители

Литература

Определение. Матрицей размера (m на n) называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами. Матрицы обозначаются прописными латинскими буквами, например А, В, С, …, а для обозначения элементов используются строчные буквы с двойной индексацией: aij, где первый индекс i – номер строки, а второй индекс j – номер столбца. Сокращенная запись Amn= [ aij ]mn; Amn=║aij ║mn; A = (aij ), где i = 1 ÷ m, j = 1 ÷ n. Пример.

Определение. Матрица называется квадратной, если число строк m равно числу столбцов n. Число n называется порядком квадратной матрицы. Обозначение квадратной матрицы n - го порядка An Определение. Множество всех элементов aii матрицы, у которых номер строки равен номеру столбца (i = j ), называется главной диагональю. Определение. Множество всех элементов aii квадратной матрицы, у которых сумма номера строки и номера столбца равна порядку матрицы плюс единица (i + j = n + 1), называется побочной диагональю. j j i главная диагональ i побочная диагональ

Определение. Квадратная матрица называется верхней (нижней) треугольной, если все ее элементы, находящиеся ниже (выше) главной диагонали, равны 0. нижняя треугольная матрица верхняя треугольная матрица Определение. Матрица любой размерности называется нулевой или нуль-матрицей если все ее элементы равны 0. Обозначается 0mn

Определение. Две матрицы А и В одного размера называются равными, если они совпадают поэлементно, т.е. aij = bij i =1 ÷ m, j =1 ÷ n. 1. Умножение матрицы на число Произведением матрицы А на число λ называется матрица В◦= λ А, элементы которой bij = λ aij для i =1 ÷ m, j=1 ÷ n. Пример. Для Следствие. Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

СВОЙСТВА ОПЕРАЦИЙ НАД МАТРИЦАМИ Большинство свойств (при соответствующих размерах матриц) аналогичны свойствам операций над числами:

Важнейшей числовой характеристикой квадратной матрицы является ее определитель (детерминант). В общем случае определитель матрицы размера n (An) вычисляется как составленная по определенным правилам алгебраическая сумма n! слагаемых, каждое из которых является произведением n элементов матрицы, причем из каждой строки (и из каждого столбца) матрицы входит в это произведение ровно один элемент. Обозначения: det An, d(An), ‌ An ‌, Δn Зададим правила вычислений определителей 1-го, 2-го и 3-го порядков, а затем приведем формулу для вычисления определителя n-го порядка.

Определитель квадратной матрицы 1-го и 2-го порядков n = 1. A = (a11) → det A = ‌ det (a11) = a11. n = 2. Определитель равен разности произведений элементов, стоящих на главной и побочной диагонали.

Вычисление ранга матрицы