🗊Презентация Система счисления

Система счисления - это совокупность правил для обозначения и наименования чисел. Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. Знаки, используемые при записи чисел, называются цифрами.

Немного истории Позиционная система счисления Непозиционная система счисления Арифметика в позиционной системе счисления

Счет появился тогда, когда человеку потребовалось информировать своих сородичей о количестве обнаруженных им предметов. В разных местах приду-мывались разные способы передачи численной информации: от зарубок по числу предметов до хитроумных знаков - цифр. Во многих местах люди стали использовать для счета пальцы. Одна из таких систем счета и стала общеупот-ребительной – десятичная

продолжение До сих пор существуют в Полинезии племена с 20-чной системой счисления (с учетом пальцев на ногах). Сегодня мы настолько сроднились с 10-чной системой счисления, что не представляем себе иных способов счета, пока не вспомним о времени. Нас не смущает, что в минуте 60 секунд, а не 10 или 100. И в часе 60 минут, но более удивительно, что в сутках 24 часа, а в году 365 дней. Таким образом, время (часы и минуты) мы считаем в 60-чной системе, сутки - в 24-чной, недели в 7-чной,месяцы совсем хитро - каждый по своему, года в 12-чной, если в месяцах, или в 365-чной, если в днях. Другими словами, все дело в привычке. Конечно, когда идет дождь, можно раскрыть зонтик и не думать, почему он пошел, но разобраться в причинах тоже полезно. Сейчас мы постараемся понять принцип счета. Только давай сразу договоримся, что мы будем обсуждать не все способы счета (системы счисления), а ограничимся только позиционными. Два примера непозиционных систем счисления я приведу после определения позиционных систем.

В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Количество используемых цифр называется основанием позиционной системы счисления. Система счисления, применяемая в современной математике, является позиционной десятичнойсистемой.Основание ее равно 10, т.е. запись любых чисел производится с помощью десяти цифр 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9. Пример: 3 3 3 сотни десятки единицы Для записи чисел в позиционной системе счисления с основанием p нужно иметь алфавит из р цифр. Обычно для этого при р<10 используют р первых арабских цифр, при р>10 к десяти арабским цифрам добавляют латинские буквы. Примеры алфавитов нескольких систем основание название алфавит р=2 двоичная 0 1 р=3 троичная 0 1 2 р=8 восьмеричная 0 1 2 3 4 5 6 7 р=16 шестнадцатеричная 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F Достоинства позиционных систем счисления Простота выполнения арифметических операций. Ограниченное количество символов (цифр) для записи любых чисел

В непозиционных системах счисления от положения цифры в записи числа не зависит величина, которую она обозначает.Пример: римская система, используются латинские буквы. I V X L C D M 1 5 10 50 100 500 1000 В римских числах цифры записываются слева направо в порядке убывания. В таком случае их значения складываются. Если же слева записана меньшая цифра, а справа - большая, то их значения вычитаются. Пример: CCXXXII=232 VI=6 IV=4 MCMXCVIII=1000+(-100+1000)+(-10+100)+5+1+1+1=1998 Недостатки непозиционных систем счисления Существует постоянная потребность введения новых знаков для записи больших чисел. Невозможно представлять дробные и отрицательные числа. Сложно выполнять арифметические операции, т.к. не существует алгоритмов их выполнения

Перевод десятичных чисел в другие системы счисления Перевод целых чисел Основание новой системы счисления выразить в десятичной системе счисления и все последующие действия производить в десятичной системе счисления; Последовательно выполнять деление данного числа и получаемых неполных частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока получим неполное частное, меньшее делителя; Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления; Составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего частного. Пример 1: Перевести число 37 из десятичной в двоичную систему счисления. (Ответ: 3710=1001012) 37:2=18 целых и 1 в остатке, значит, а0=1 18:2=9 и 0 в остатке, значит, а1=0 9:2=4 и 1 в остатке, значит, а2=1 4:2=2 и 0 в остатке, значит, а3=0 2:2=1 и 0 в остатке, значит, а4=0, результат от деления - это а5=1. Теперь составим число а5а4а3а2а1а0=1001012

Перевод дробных чисел Основание новой системы счисления выразить в десятичной системе счисления и все последующие действия производить в десятичной системе счисления; Последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основаниеновой системы счисления до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или не будет достигнута требуемая точность представления числа в новой системе счисления; Полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления; Составить дробную часть числа в новой системе счисления, записывая его, начиная с целой части ервого произведения. Пример: 0,187510=0,00112, 0,187510=0,148, 0,187510=0,316 0 1875 *2 0 3750 *2 0 7500 *2 1 5000 *2 1 0000 0 1875 *8 1 5000 *8 4 0000 *8 0 1875 *16 + 1 1 1250 18750 3 0000

Любая позиционная система счисления определяется: основанием системы счисления; алфавитом системы счисления; правилами выполнения арифметических операций. В основе правил арифметики лежат таблицы сложения и умножения однозначных чисел.

Пятиричные таблица сложения умножения + 0 1 2 3 4 * 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 1 1 2 3 4 1 1 2 3 4 10 2 2 4 11 13 2 2 3 4 10 11 3 3 11 14 22 3 3 4 10 11 12 4 4 13 22 31 4 4 10 11 12 13 Пример: + 342 23 * 213 3 420 1144