🗊Презентация Элементы теории вероятностей

Элементы теории вероятностей Пономаренко Н.П. Презентация на тему

Из истории теории вероятностей

ИСПЫТАНИЕ – опыт, эксперимент СОБЫТИЕ – результат испытания: А; В; С; А1; А2… СОВМЕСТНЫЕ СОБЫТИЯ – могут произойти одновременно НЕСОВМЕСТНЫЕ СОБЫТИЯ – не могут произойти одновременно ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ СОБЫТИЯ – несовместные, одно из которых произойдет обязательно: - событие, противоположное к А ДОСТОВЕРНОЕ СОБЫТИЕ Ω – произойдет обязательно НЕВОЗМОЖНОЕ СОБЫТИЕ – не может произойти

Пространство элементарных событий, - совокупность несовместных, равновероятных событий, одно из которых произойдет обязательно Испытание 1: подбрасывание монеты: - два элементарных события  Испытание 2: подбрасывание двух монет: - четыре элементарных события Испытание 3: подбрасывание игральной кости: - шесть элементарных событий   Испытание 4: три выстрела в мишень: - восемь элементарных событий

ПРОИЗВЕДЕНИЕМ СОБЫТИЙ АВ называется событие, состоящее в том, что оба события А и В происходят СУММОЙ СОБЫТИЙ А + В называется событие, состоящее в том, что происходит по крайней мере одно из событий А или В ЗАКОНЫ МОРГАНА: - событие, противоположное тому, что произошло по крайней мере одно из событий, состоит в том, что ни одно из событий не произошло - событие. противоположное тому, что произошли оба события, состоит в том, что по крайней мере одно из событий не произошло

ВОПРОСЫ: Испытание: 5 выстрелов в мишень События: А: « 5 раз попал» В: « по крайней мере один раз попал» Сформулировать события, противоположные к А и В --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ВОПРОСЫ: 1) Чему равно произведение несовместных событий? 2) Чему равны произведение и сумма противоположных событий? 3) Чему равны А·А и А + А ? 4) Как записать сумму двух совместных событий в виде суммы трех несовместных? ------------------------------------------------------------------------------------------------ - событие произошло, - событие не произошло Сформулируйте смысл формул: 1) 2) 3) 4) 5) 6)

Классическое определение вероятности Событие А БЛАГОПРИЯТСТВУЕТ событию В, если появление события А влечет появление события В. ВЕРОЯТНОСТЬ события А: , где m – число элементарных событий, благоприятствующих событию А, а n – общее число элементарных событий ------------------------------------------------------------------------------------- ВОПРОСЫ: 1) Чему равна вероятность достоверного события 2) Чему равна вероятность невозможного события 3) Какие числовые значения может принимать вероятность любого события Р (А) ? --------------------------------------------------------------------------------------------------- ЗАДАЧА В магазин поступило 30 холодильников, 5 из которых имеют заводской дефект. Случайным образом выбирается один холодильник. Найти вероятность события А: « холодильник без дефекта»?

Задача о четырех котятах ( Мартин Гарднер «А ну-ка догадайся»)

Задача о шарах В урне содержатся 3 белых, 2 желтых и 5 красных шаров. Испытание: достаем наудачу шар из урны Найти вероятности событий: А1: « Белый шар»; А2: « Желтый шар»; А3: « Красный шар»; А4: «Зеленый шар»; А5: «Красный или желтый шар»; А6: « Белый, желтый или красный шар»

Шахматная задача На шахматную доску ставят случайным образом две ладьи, - белую и черную. Найти вероятность того, что они не побьют друг друга ------------------------------------------------------------------------ На шахматной доске стоит черный слон. Случайным образом на нее ставят белого слона. Найти вероятность того, что они не побьют друг друга. ------------------------------------------------------------------------------------ На шахматной доске стоит черный ферзь. Случайным образом на нее ставят белого ферзя. Найти вероятность того, что они не побьют друг друга.

Статистическое определение вероятности ВЕРОЯТНОСТЬ события А, - это число, около которого группируются значения при увеличении числа испытаний

Вероятность суммы и произведения событий Теорема 1: Для несовместных событий: Р (А + В) = Р (А) + Р (В) Следствие: Для противоположного события: ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Теорема 2: Для независимых событий: Р (АВ) = Р(А)· Р(В) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Теорема 3: В общем случае: Следствие: то есть вероятность события «произошло по крайней мере одно из событий» вычисляется по формуле «единица минус вероятность события « ни одно из событий не произошло»

Задача о стрелках Три стрелка независимо друг относительно друга стреляют в мишень с вероятностями попадания 0,8; 0,9 и 0,6 соответственно. Найти вероятности событий: Е1: « все попали» Е2: « попал только 2-й» Е3: « никто не попал» Е4: « кто-то один не попал» Е5: « по крайней мере один попал» Е6: « по крайней мере один промахнулся» Обозначить Аi событие « i - стрелок попал»

№ 1 Задача о случайных ответах Требуется ответить на три вопроса теста, каждый из которых содержит 5 вариантов ответа. Найти вероятность случайно угадать все три ответа № 2

Задачи о надежности физических систем Техническая система состоит из нескольких независимо работающих элементов, которые соединены: 1) последовательно 2) параллельно 3) и 4) смешанно Событие А – «Безотказная работа системы» события Аi – «Безотказная работа i – го элемента» противоположные события - « Отказ i - го элемента» Найти вероятность безотказной работы системы

Задача 1 Найти вероятность безотказной работы всех систем, если вероятности безотказной работы всех элементов равны 0,9 ------------------------------------------------------------ Задача 2 Найти вероятность безотказной работы всех систем, если вероятности безотказной работы всех элементов равны 0,9; 0,8; 0,7 и 0,6 соответственно

Задача 1 Техническое устройство содержит два независимо работающих элемента, вероятности отказа которых равны 0,05 и 0, 08 соответственно. Найдите: 1) вероятность нормальной работы устройства ( оба элемента работают) 2) вероятность отказа устройства, для чего достаточно отказа по крайней мере одного элемента -------------------------------------------------------------- Задача 2 Вероятность безотказной работы блока, входящего в некоторую систему в течение заданного времени, равна 0,8. Для повышения надежности системы устанавливается такой же резервный блок. Найдите вероятность безотказной работы системы с резервным блоком в течение заданного времени

Задача Техническое устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Событие Аi – « i -й элемент исправен» i = 1;2;3 Дано: Р(А1) = 0,6; Р(А2) = 0,7; Р(А3) = 0,9 Запишите формулы и найдите вероятности: Е1: « все три элемента неисправны» Е2: « исправен только третий элемент» Е3: « все три элемента исправны» Е4: « исправен только один элемент» Е5: « по крайней мере один элемент исправен» Е6: « по крайней мере один элемент неисправен»

На базе теории вероятностей появилась МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА, которую применяют при обработке больших массивов информации и получении практически значимых выводов на основании этого.

Распределение оценок в 4-х группах ( выборка 100 чел.)

Результаты бега на 30 м. учащихся гр. АТПиП - 69 ( выборка 25 чел.)

Результаты прыжка с места учащихся группы АТПиП - 69 ( выборка 26 чел.)