🗊Презентация Решение одного тригонометрического уравнения несколькими способами. 10 класс

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение «Громыкская средняя общеобразовательная школа» Алгебра и начала анализа 10 класс Решение одного тригонометрического уравнения несколькими способами

Человеку, изучающему алгебру часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решать три – четыре различные задачи. Решая одну задачу различными способами , можно путем сравнивания выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт. Человеку, изучающему алгебру часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решать три – четыре различные задачи. Решая одну задачу различными способами , можно путем сравнивания выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт. У. У. Сойер /английский математик и педагог XX века/

Восемь способов решения одного тригонометрического уравнения. 1.Приведение уравнения к однородному. 2.Разложение левой части уравнения на множители. 3.Введение вспомогательного угла. 4.Преобразование разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение. 5.Приведение к квадратному уравнению. 6.Возведение обеих частей уравнения в квадрат. 7.Универсальная подстановка. 8.Графическое решение.

Задача. Решите уравнение различными способами:

Способ первый. Приведение уравнения к однородному.

Способ второй. Разложение левой части уравнения на множители: sin x – cos x = 1

Способ третий. Введение вспомогательного угла. sin x – cos x =1

Внимание! Эквивалентны ли результаты , полученные в рассмотренных способах решений данного уравнения sin x – cos x = 1? Покажем однозначность ответов.

Способ четвертый. Преобразование разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение. sin x – cos x = 1

Способ пятый. Приведение к квадратному уравнению относительно одной функции. sin x - cos x = 1

Внимание! При решении уравнения обе части уравнения возводились в квадрат, что могло привести к появлению посторонних решений, поэтому необходима проверка. Сделаем проверку.

Способ шестой.Возведение обеих частей уравнения в квадрат. sin x – cos x = 1 sin2x - 2sin x cos x + cos2 x = 1, sin2 x + cos2x = 1 1 – 2sin x cos x = 1, 2sin x cos x = 0,

Способ седьмой. Универсальная подстановка (выражение sin x и cos x через tg x/2). sin x – cos x =1 Выражение всех функций через tg х (универсальная подстановка) по формулам:

Внимание! Могли потерять корни.Необходима проверка! Область допустимых значений первоначального уравнения - всё множество R . При переходе к tg x/2 из рассмотрения выпали значения x, при которых tg x/2 не имеет смысла, т.е.x =  +  n, где n  Z . Следует проверить , не является ли x =  + n, где n  Z решением данного уравнения. Левая часть sin(π - 2πk) – cos(π + 2πk) = sin π – cos π = 0 – (-1) = 1 и правая часть равна единице. Значит, x =  +  n ,где n  Z является решением данного уравнения. Ответ: : x=  n, n  Z, x=  /2 + n, n  Z.

Способ восьмой. Графический способ решения. sin x – cos x = 1 На одном и том же чертеже построим графики функций, соответствующих левой и правой части уравнения. Абсциссы точек пересечения графиков являются решением данного уравнения, у = sin х - график синусоида. у = соs х + 1 – синусоида, смещённая на единицу вверх.

Проверь себя ! Решите самостоятельно, применяя разные способы решения одного и того же тригонометрического уравнения: 1. sin2x + cosx = 0 ; 2. 3 sin x – cos x = 0 3. sin6x + sin3x = 0; 4. sin2x +cos2x = 1; 5.  3sin x + cos x = 1.

sin2x + cosx = 0 sin2x =2sinxcosx, тогда 2sinxcosx + cosx = 0, cosx( 2sinx + 1 ) = 0, cosx = 0 или 2sinx + 1 = 0, х =  /2 +  n; n  Z; sinx = -1/2 x = ( -1)k+1  /6 + k, k  Z. Ответ: x =  /2 +  n, ; x = (-1)k+1  /6 +  k , где n Z , k  Z . Способ: разложение левой части уравнения на множители ( 2-й способ ).

sin2x + cosx = 0 cosx = sin ( /2 – x ), тогда : sin2x + sin ( /2 – x ) = 0, 2sin ( x/2 +  /4)cos (3x/2 -  /4 ) = 0. sin (x/2 +  /4) = 0 или cos (3x/2 -  /4 ) = 0, x/2 +  /4 =  n 3x/2 -  /4 =  /2 +  n x =-  /2 + 2  n x =  / 2+ 2  n/3 , n Z Ответ : x = -  /2 + 2  n , x =  / 2 + 2 n/3 , n Z . Способ : преобразование суммы тригонометрических функций в произведение ( 4 –й способ ) .

Сравним результаты двух способов решения уравнения sin2x + cosx = 0 2 –й способ:

Графическая иллюстрация этих решений на тригонометрическом круге Вывод : при обоих способах решений данного уравнения результаты одни и те же.

3 sin x – cos x = 0 cos x  0 в силу основного тригонометрического тождества sin2x + cos2x = 1. Разделим обе части уравнения на cos x. 3 tg x = 1, tg x = 1/ 3 , x =  /6 + n , n  Z. Ответ: x =  /6 +  n, n  Z. Cпособ :решение однородного уравнения ( 1-й способ ).

3 sin x – cos x = 0 3sin x – cos x = 0, разделим обе части уравнения на 2. 3/2sin x – ½cos x = 0, sin x cos  /6 – cos x sin  /6 = 0, sin (x -  /6) = 0, x -  /6 =  n , n  Z, x =  /6 +  n , n  Z. Ответ : x =  /6 +  n, n  Z. Способ: введение вспомогательного угла ( 3 –й способ ).

3 sin x – cos x = 0 3 sin x – cos x = 0, возведем обе части уравнения в квадрат. 3 sin2x – 2 3 sin x cos x + cos2x = 1, разделим обе части уравнения на cos2x  0. 3 tg2x – 23 tg x + 1 = 0 D = 0, tg x =  3/ 3; x =  /6 +  n, n  Z. Ответ :x =  /6 +  n, n  Z. Способ :возведение обеих частей уравнения в квадрат ( 6-й способ).

3 sin x – cos x = 0  3 sin x – cos x = 0, 2 tg x/2 1 - tg 2 x/2 1 + tg 2 x/2 , 1 + tg 2 x/2 , 3 2 tg x/2 1 - tg 2 x/2 1 + tg 2 x/2 1 + tg 2 x/2 3 2 tg x/2 - 1 + tg 2 x/2 1 + tg 2 x/2 1 + tg 2 x/2  0, tg 2 x/2 + 2 3 tg x/2 - 1 = 0, tg x/2 = m, m 2 + 2 3 m – 1 =0, D = 0, m1 = - 3 - 2, m2 = - 3 + 2, 1) tg x = - 3 - 2, 2(- 3 - 2 ) - 2(3 + 2 ) - 2(3 + 2 ) - 1 1 +( - 3 - 2)2 8-4 3 4( 2+ 3 ) 2 , sin x = - 1/2, x = ( -1 ) k +1 /6 +  k, k  Z; 2) tg x = - 3 + 2, 2(- 3 + 2 ) - 2(3 - 2 ) - 2(3 - 2 ) 1 1 +( - 3 + 2)2 8-4 3 4( 2- 3 ) 2 , sin x = 1/2, x = ( -1 ) k  /6 +  k, k  Z. Примечание:решения можно объединить: x = ( -1 ) k  /6 +  k, k  Z. Ответ: x = ( -1 ) k  /6 +  k, k  Z. Способ: универсальная подстановка ( 7 –й способ ).

sin 6x + sin 3x = 0 sin 6x + sin 3x = 0, 2 sin 3x cos 3x + sin 3x = 0, sin 3x ( 2 cos 3x + 1 ) = 0, sin 3x =0 , 2 cos 3x + 1 = 0, 3x =  n, n  Z, cos 3x = -½, x =  n/3, n  Z , x = 2  /9 + 2  n /3, n  Z. Ответ: x =  n/3, n  Z; x = 2  /9 + 2  n /3, n  Z. Способ:разложение левой части уравнения на множители ( 2 способ ).

sin 6x + sin 3x = 0 sin 6x + sin 3x = 0, 2sin 9x/2 cos 3x/2 = 0 , sin 9x/2=0 , cos 3x /2 = 0, 9x/2 =  n, n  Z, 3x /2 =  /2 +  n, n  Z, x = 2  n/9, n  Z; x =  /3 + 2  n/3, n  Z . Ответ: x = 2  n/9, n Z; x =  /3 + 2  n/3, n Z. Способ: преобразование тригонометрических функций в произведение ( 4-й способ ).

Сравним решения уравнения sin6x+ sin3x =0, полученные разными способами.

sin 2x + cos 2x = 1 sin 2x + cos 2x = 1 2 sin x cos x + cos 2 x – sin2 x = sin 2x + cos 2x, 2 sin x cos x – 2 sin 2 x = 0, 2 sin x ( cos x – sin x ) = 0, sin x = 0, cos x – sin x = 0, x =  n, n  Z, tg x = 1, x =  /4 + n, n  Z. Ответ:  n, n  Z, x =  /4 + n, n  Z. Способ: Приведение уравнения к однородному.( 1-й способ ).

sin 2x + cos 2x = 1 sin 2x + cos 2x = 1, sin2x – (1 – cos 2x ) = 1, 2 sin x cos x – 2 cos 2x/2 = 0, Далее так, как первым способом ( кадр № 27 ). Способ: разложение левой части уравнения на множители ( 2 – й способ ).

sin 2x + cos 2x = 1 sin 2x + cos 2x = 1, sin 2x + sin ( /2 – 2x ) = 1, 2sin  /4 cos ( 2x -  /4 ) = 1, sin  /4 = 1/ 2 ,  2 cos ( 2x -  /4 )= 1 arksin (1 /  2 ) =  /4 . cos ( 2x -  /4 )= 1 /  2 , 2x -  /4 = arkcos (1 /  2 ) + 2  n, n  Z, 2x=  /4 arkcos( 1 /  2 ) + 2  n, n  Z, x=  /8  /8 +  n, n  Z. Ответ: x=  /8  /8 +  n, n  Z. Способ: преобразование суммы тригонометрических функций в произведение ( 4 –й способ ).

sin 2x + cos 2x = 1 sin 2x + cos 2x = 1, разделим обе части уравнения на 2, 1/2 sin 2x + 1/ 2 cos 2x = 1/ 2 , cos /4 sin 2x + sin /4 cos 2x = 1/ 2, sin (2x + /4 ) = 1/ 2, 2x + /4 = (- 1)k  /4 +  k, kZ, 2x = - /4 + (- 1) k /4 +  k, kZ, x = -  /8 +(- 1)k  /8 +  k/2, kZ. Ответ: x = -  /8 +(- 1)k  /8 +  k/2, kZ. Способ:Введение вспомогательного угла (3й – способ).

sin 2x + cos 2x = 1 sin 2x + cos 2x = 1, Cos 2x =   ( 1 - sin 2 2x ) sin 2x   ( 1 - sin 2 2x ) = 1,   ( 1 - sin 2 2x ) = 1 – sin 2x, возведем обе части уравнения в квадрат, тогда 1 - sin 2 2x = 1 – 2 sin 2x + sin 2 2x , 2 sin 2 2x - 2 sin 2x = 0, 2 sin 2x (sin 2x - 1 ) = 0, sin 2x = 0, sin 2x - 1 = 0, 2x =  n, sin 2x = 1, x =  n/2, n  Z ; 2x =  /2 + 2  n, n  Z, x =  /4 +  n, n  Z. Ответ: x =  n/2, n  Z ; x =  /4 +  n, n  Z. Способ: приведение к квадратному уравнению относительно sin 2x ( 5 –й способ ).

sin 2x + cos 2x = 1 sin 2x + cos 2x = 1, sin 2 2x + 2sin 2x cos 2x + cos 2x = 1, 2sin 2x cos 2x + 1 = 1, 2sin 2x cos 2x = 0, sin 2x = 0, cos 2x = 0 , 2x =  n, n  Z ; 2x =  / 2 + 2  n , n  Z, x =  n/2, n  Z ; x =  / 4 +  n , n  Z. Ответ:  / 2 + 2  n , n  Z; x =  / 4 +  n , n  Z. Способ : возведение обеих частей уравнения в квадрат ( 6 – й способ ).

sin 2x + cos 2x = 1 sin2 x +cos 2x = 0, 2 tg x 1 - tg 2 x 1 + tg 2 x , 1 + tg 2 x , 2 tg x 1 - tg 2 x 1 + tg 2 x 1 + tg 2 x 2 tg x +1 - tg 2 x –1 - tg 2 x - 0, 1 + tg 2 x/2  0, 2tg 2 x - 2 tg x = 0, 2tg x ( tg x – 1 ) = 0, tg x =0, tg x – 1 = 0, sin 2x = 0, sin 2x = 1, x =  n/2, n Z , 2x =  /2 + 2  n, n  Z, x =  /4 +  n, n Z. Ответ: x =  n/2, n Z ; x =  /4 +  n, n Z. Способ: универсальная подстановка ( 7 –й способ ).

 3 sin x + cos x = 1  3 sin x + cos x = 1,  3 /2sin x + 1/2cos x = 1/2, cos /6 sin x + sin  /6 cos x = 1/2 , Sin ( x +  /6 ) = 1 / 2 , x+  /6 = (- 1 ) k  /6 +  k, k Z, x = -  /6 +(- 1 ) k  /6 +  k, k Z, Ответ :x = -  /6 +(- 1 ) k  /6 +  k, k Z. Способ: введение вспомогательного угла ( 3-й способ).

 3 sin x + cos x = 1  3 sin x + cos x = 1, 2 3 sin x/2 cos x/2 + cos 2x/2 -sin 2x/2= cos 2x/2 + sin 2x/2, 2 3 sin x/2 cos x/2 - 2sin 2x/2 =0, 2 sin x/2 ( 3 cos x/2 - sin x/2 ) =0, sin x/2 = 0,  3 cos x/2 - sin x/2 = 0, sin x/2 =  3 cos x/2 , x/2=  n, n  Z, tg x/2 =  3 , x = 2 n, n  Z , x/2 =  /3 +  n, n  Z, x = 2  /3 + 2  n, n  Z. Ответ: x = 2 n, n  Z , x = 2 n, n  Z . Способ : приведение к однородному ( 1 –й способ ).

 3 sin x + cos x = 1  3 sin x + cos x = 1, 2 3 sin x/2cos x/2 = 1 – cos x, 1 – cos x = 2 cos 2 x/2 2 3 sin x/2cos x/2 = 2 cos 2 x/2, 2 3 sin x/2cos x/2 - 2 cos 2 x/2 = 0, 2 cos x/2 ( 3 sin x/2 - cos x/2) = 0, Далее решать так как в первом способе. Способ: разложение левой части уравнения на множители ( 2 –й способ).

 3 sin x + cos x = 1  3 sin x + cos x = 1, 3 sin2 x +2  3 sin x cos x +cos 2 x = 1, 2sin2 x +2  3 sin x cos x + (sin2 x +cos 2 x ) = 1, 2sin2 x +2  3 sin x cos x = 0, 2sinx ( sin x +  3 cos x) = 0, sinx = 0, sin x +  3 cos x = 0, x =  n , n Z, tg x = - 3 , x = -  /3 +  n, n  Z . Ответ : x =  n , n Z, x = -  /3 +  n, n  Z . Способ : возведение обеих частей уравнения в квадрат ( 6 – й способ ).

 3 sin x + cos x = 1  3 sin x +cos x = 0, 2  3 tg x/2 1 - tg 2 x/2 1 + tg 2 x/2 , 1 + tg 2 x/2 , 2 3 tg x/2 1 - tg 2 x/2 1 + tg 2 x/2 1 + tg 2 x/2 23 tg x/2 + 1 - tg 2 x/2 = 1 + tg 2 x/2 , так как 1 + tg 2 x/2  0, 2 tg 2 x/2 + 23 tg x/2 = 1, 2 tg x/2 (tg x/2 + 3 ) = 0, tg x/2 = 0 , , tg x/2 = - 3 , x/2 =  n , n Z, x/2 = -  /3 +  n , n Z, x = 2 n , n Z, x = - 2 /3 + 2 n , n Z. Ответ: x = 2 n , n Z, x = - 2 /3 + 2 n , n Z. Способ : универсальная подстановка (7 – й способ ).

Подведем итоги

Оцени себя сам Реши уравнения : Ответы: 6.  3 sin x + cos x = 2, 1. x =  /4 +  n, n  Z; 7.  3 sin x – cos x =  2, 2. x =  /3 +  n, n  Z; 8. sin x + cos x =  2, 3. x = /6 +(- 1)k  /4 +  k, Z; 9. cos 2x – cos 4x = 0, 4. x =  /3 + 2 n, n  Z; 10. sin x -  3 cos x = 0. 5.x =  n /3, n Z; x =  n, n Z. Ключ к ответам:

Предлагаем уравнения для тренировки и самоконтроля