🗊Презентация Условная вероятность 10 класс

Условная вероятность

План Теория Самое начало Про шарики Ещё немного теории Определение условной вероятности Некоторые формулы А теперь немного задачек. Кто подготовил

Самое начало Получение добавочной информации может изменить значение вероятностей тех или иных исходов испытания. 1/6 1 2 3 4 5 6 1/3 Вероятность выпадения числа 5, если выпало нечётное число 1/3. Вероятность выпадения числа 2=0

Про шарики Из ящика в котором а синих и b красных шаров, наугад вынимают последовательно один за другим два шара. А – «первый шар синий» , B – «второй шар синий». Понятно, что Р(А)=a/(a+b). Какова же вероятность события В? Если событие А произошло, то среди оставшихся a+b-1 шаров только а-1 синих, поэтому вероятность того что, что второй шар синий, (а-1)/(a+b-1). Если же А не произошло, то среди оставшихся шаров синих a, поэтому вероятность того, что второй шар синий, а/(a+b-1). Мы столкнулись с ситуацией, когда вероятность события В зависит от того, произошло ли событие А. В таком случае говорим, что событие В зависит от события А, а вероятность появления события В условная.

Если известно, что произошло событие X, то вероятность любого исхода, не благоприятствующего этому событию, обращается в нуль, а исхода, благоприятствующего ему, умножается на 1/(P(X)) P/k=Pk/(P(X)) Получение некоторой информации о результате испытания означает, что вместо всего множества исходов U надо брать его часть, которую мы обозначим через X. Если исход х не принадлежит X, то его вероятность обращается в нуль. Если же он принадлежит X, то его вероятность увеличивается. При этом ясно, что все вероятности таких исходов увеличиваются в одно и то же число раз, поскольку отношения их вероятностей не меняются при получении новой информации.

Найдем теперь новую вероятность некоторого события А. Ему благоприятствуют исходы двух видов — благоприятствующие X и не благоприятствующие X. Как мы видели выше, если произошло событие X, то вероятности исходов первого вида умножаются на 1/(P(X)) а исходы второго типа получают нулевую вероятность. Но исходы первого вида составляют события А∩Х. Таким образом, мы доказали следующее утверждение: Если известно, что произошло событие X, то вероятность любого события А принимает новое значение: Найдем теперь новую вероятность некоторого события А. Ему благоприятствуют исходы двух видов — благоприятствующие X и не благоприятствующие X. Как мы видели выше, если произошло событие X, то вероятности исходов первого вида умножаются на 1/(P(X)) а исходы второго типа получают нулевую вероятность. Но исходы первого вида составляют события А∩Х. Таким образом, мы доказали следующее утверждение: Если известно, что произошло событие X, то вероятность любого события А принимает новое значение: P(А∩Х)/P(X)

Определение условной вероятности Определение. Число, выражающее вероятность события А при условии, что произошло событие X, называется условной вероятностью события А относительно события X и обозначается Р (А|Х).

Некоторые формулы Р (А|Х)= P(А∩Х)/P(X) (1) Из формулы вытекает равенство P(A∩X)=P(X)P(A|X) (2) называемое формулой умножения. Меняя ролями А и X, получаем, что верно и равенство Р(A∩X)=Р (А) Р (Х|А). Сравним формулу (2) с формулой Р (А∩Х) =Р (X) Р (А), верной для независимых событий. Видим, что для таких событий верно равенство Р (А|Х)=Р (А). Оно означает, что для независимых событий наступление одного из них не влияет на вероятность другого.

Из колоды в 32 карты наугад одну за другой вынимают две карты. Найти вероятность того, что а) вынуты два валета; б)вынуты две карты пиковой масти;в)вынуты валет и дама. Обозначим события: А — первая карта — валет», В — «вторая карта — валет», С — «первая карта пиковой масти», D — «вторая карта пиковой масти», Е — «вторая карта — дама». Нам следует найти Р(А∩В) P(C∩D) и Р(А∩Е). По формуле Р(А∩В)=Р(B|A)*P(A) P(C∩D)=P(D|C)*P(C) Р(А∩Е)=P(E|A)*P(A) Р(B|A)=3/31 P(A)=1/8 тогда Р(А∩В)=3/248 P(D|C)=7/31 P(C)=1/4 тогда P(C∩D)=7/124 P(E|A)=4/31 P(A)=1/8 тогда Р(А∩Е)=1/62

Брошены 2 игральные кости . Найти вероятность того, что на первой кости выпало два очка при условии, что сумма очков, выпавших на двух костях, меньше 6 Пусть А = {на первой кости выпало 2 очка}, В — {сумма очков, выпавших на двух костях, меньше 6}. Событие В состоит из 10 элементарных cобытий: В = {(1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (1,4), (4,1), (2,2), (2,3), (3,2)}. Событие А, определяемое условием В (это значит, что исходы, благоприятствующие событию А, отбираются среди исходов, составляющих событие В), состоит из трех элементарных исходов опыта: (2, 1), (2, 2), (2,3). Поэтому искомая вероятность равна Р(А|В) = 3/10

Из стандартного набора домино (28) берётся наудачу одна кость. Какова вероятность того, что эта кость будет дублем, если известно, что сумма очков на ней – чётное число Пусть А = {кость будет дублем}, В — {сумма очков на ней чётное число}. Посчитаем сколько всего костей с чётной суммой очков на ней. 0+0=0, 0+1=1, 1+1=2 и т.д. В итоге получаем что таких костей 16. А дублей всего 7. Отсюда находим, что Р(А|В)=7/16