🗊Презентация Множества. Операции над множествами

Множества. Операции над множествами.

«Множество есть многое, мыслимое нами как единое». Основоположник теории множеств немецкий математик Георг Кантор (1845-1918)

Основные определения теории множеств. Примеры Понятие множества является одним из фундаментальных понятий математики, которому трудно дать определение. Дело в том, что определить понятие – это значит найти такое родовое понятие, в которое это понятие входит в качестве вида, но понятие «множество» - это самое широкое понятие математики и математической логики, т.е. категория, а для категории нельзя найти более широкое, т.е. родовое понятие. Ограничимся описательным объяснением этого понятия.

Основные определения теории множеств. Примеры Множество – это набор, совокупность каких-либо вполне различаемых объектов, называемых его элементами, обладающими общими для всех их и только их свойствами, и рассматриваемых как единое целое.

Структура множества Каждое множество состоит из того или иного набора объектов, которые называются элементами множества. Факт, что элемент а принадлежит множеству Х будем обозначать: аХ. Порядок элементов в множестве несущественен. Множества {а, в, с} и {а, с, в} одинаковы. При этом, нужно иметь ввиду, что элемент а и множество {а} – это не одно и то же. Первое – это объект, обозначенный а, второе – это множество, состоящее из единственного элемента а. Поэтому можно сказать, что «а принадлежит { а }» – это истинное суждение. В то время как, «{а} принадлежит а» - это ложное суждение.

Способы задания множества Перечисление элементов множества. Обычно перечислением задают конечные множества. Описание свойств, общих для всех элементов этого множества, и только этого множества. Это свойство называется характеристическим свойством, а такой способ задания множества описанием. Таким образом, можно задавать как конечные, так и бесконечные множества.

Числовые множества Множество НАТУРАЛЬНЫХ чисел N, N={1, 2, 3, 4, 5, …} Множество ЦЕЛЫХ чисел Z, Z={…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …} Множество РАЦИОНАЛЬНЫХ чисел Q, Q={x| x=p/q, где pZ, qN} Множество ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ чисел I - ,бесконечные непериодические дроби, ( , =3,141592…, e=2,718281, …) Множество ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ чисел R получено объединением РАЦИОНАЛЬНЫХ и ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ чисел. Множество КОМПЛЕКСНЫХ чисел C, содержащих в себе мнимую единицу і, которая является квадратным корнем из –1. Построены для извлечения корня из отрицательных чисел. Эти виды чисел используются в современной математике. Причем комплексные числа включают в себя все остальные виды чисел. Это множество чисел наиболее широкое, хотя и оно также может расширяться.

Количество элементов множества Множества бывают конечными или бесконечными. Если число элементов множества конечно – множество называется конечным. Определение: Количество элементов, составляющих множество, называется мощностью множества. Определение: Если между элементами бесконечного множества можно установить взаимооднозначное соответствие с элементами множества положительных целых чисел, то говорят, что множество счетно. Например: множество действительных чисел - бесконечное множество. множество чисел, делящихся без остатка на 3 – счетное множество, множество букв русского алфавита, множество отличников вашей группы – конечно.

Равенство множеств Определение: Два множества равны между собой, если они состоят из одних и тех же элементов. Т.е. любой элемент множества Х является элементом множества Y, и любой элемент множества Y является элементом множества Х.

Диаграммы Эйлера-Венна Для наглядного представления (графического изображения) множеств и результатов операций над ними удобно пользоваться так называемыми диаграммами Эйлера-Венна (кругами Эйлера). При этом множества изображаются на плоскости в виде замкнутых кругов, а универсальное множество в виде прямоугольника. Элементы множества – точки внутри соответствующего круга.

Подмножество. Включение Определение: Множество A является подмножеством B, если любой элемент множества A принадлежит множеству B. Это еще называется нестрогим включением AB. Например: Пусть Х – множество студентов некоторой группы, Е – множество отличников этой же группы. EX т.к. группа может состоять только из отличников. Когда хотят подчеркнуть, что в множестве B есть обязательно элементы, отличные от элементов множества A, то пишут AB. Это называется строгим включением. Например: Пусть Х – множество всех студентов ВлГУ, Е – множество студентов педагогического института. EX т.к. в множестве всех студентов ВлГУ обязательно есть элементы  E.

Пустое множество  Если характеристическим свойством, задающим множество, А не обладает ни один объект, то говорят, что множество А пустое. Понятие пустого множества очень важное понятие. Оно позволяет описательно задавать множества, не заботясь, есть ли в этом множестве элементы и совершенно спокойно оперировать с этими множествами. Пустое множество будем считать конечным множеством. Например: множество действительных корней уравнения пустое. 

Операции над множествами

Пересечением множества А и В называют множество, Пересечением множества А и В называют множество, состоящие из всех общих элементов множеств А и В (А∩В). Например, а) А = {3; 9; 12} и В = {1; 3; 5; 7; 9; 11}, то А∩В = {3; 9}; б) А = {10; 20; …; 100} и В = {6; 12; 18;…}, то А∩В = {30; 60; 90}.

Непересекающиеся множества Определение: Множества называются непересекающимися, если не имеют общих элементов, т.е. их пересечение равно пустому множеству. Например: а) непересекающимися множествами являются множества отличников группы и неуспевающих. б) непересекающимися множествами являются множества А = {3; 9; 12} и В = {1; 5; 7; 11}.

Свойства пересечения X∩Y = Y∩X – коммутативность; (X∩Y) ∩Z =X∩ (Y∩Z)=X∩Y∩Z – ассоциативность; X∩ = ; X∩I = Х;

2. Объединение множеств АUВ Объединением множеств А и В называют множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств. Например, А = {3; 9; 12} и В = {1; 3; 5; 7; 9; 11}, АUВ=? АUВ = {1; 3; 5; 7; 9; 11; 12}.

Свойства объединения XUY= YUY- коммутативность; (X UY)UZ =XU (YUZ)=XUYUZ – ассоциативность; XU = X; XUI = I.

3. Разность множеств А\ В Разность А и В это множество элементов А, не принадлежащих В. Например, А = {2; 4; 6; 8; 10} и В = {5; 10; 15; 20}, А\ В={2; 4; 6; 8}.

Свойства операции разности А\В ≠ В\А; А\А=∅; А\∅=А; I\А= Ā.

4. Дополнение множеств Ā Дополнением множества А называется разность I \ А. То есть, дополнением множества А называется множество, состоящее из всех элементов универсального множества, не принадлежащих множеству А. Например, А = {3; 6; 9; 12} и I =N= {1; 2; 3; 4; 5; 6; …}, Ā=? Ā = {1; 2; 4; 5; 7; 8; 10; 11; 13; …}.

Свойства дополнения 1. Множество X и его дополнение не имеют общих элементов 2. Любой элемент I принадлежит или множеству Х или его дополнению. 3. Закон двойного отрицания

Декартово произведение множеств

Декартово произведение множеств

Определение декартова произведения Декартовым (или прямым) произведением А×В множества А на множество В называется множество всех упорядоченных пар, в которых первая компонента – элемент множества А, а вторая – элемент множества В. А×В={(x, y) |x∈A, y∈B}. Количество элементов в декартовом произведении двух множеств: если m(А)=n, m(B)=k, то m(А×В)=n⋅k.

Пример декартова произведения Вычислить количество двухзначных чисел. Двухзначное число можно принять за упорядоченную пару, где на первом месте может стоять цифра из множества А={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, а на втором – из множества В={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, т.е. за элемент прямого произведения этих множеств, тогда получаем: m(А)=9, m(B)=10, то m(А×В)=9⋅10=90. Итак, всего имеется 90 различных двухзначных чисел.

Соответствие множеств Определение. Будем говорить, что между элементами двух множеств А и В установлено соответствие ρ, если в их произведении А×В выделено некоторое подмножество Ω. Если пара (a,b)∈Ω⊆Α×Β, это означает по определению, что элементы a и b множеств А и В находятся в отношении ρ (пишется aρb). Пример соответствия. Пусть даны множества А – студентов и В – множество групп. Утверждение “студент a учится в группе b” задает соответствие между множеством студентов и множеством групп. Здесь а пробегает множество значений А, b – множество значений В. Такое соотношение называется бинарным соответствием, т.е. соответствием между двумя множествами А и В.

Пример соответствия множеств

Отображение множеств f: X→Y

Сюръективное отображение

Инъективное отображение

Взаимно-однозначное соответствие

Задания

Задание 1 1) Задайте множество цифр, с помощью которых записывается число: а) 3254; б) 8797; в) 11000; г) 555555. 2) Задайте множество А описанием: а) А = {1, 3, 5, 7, 9}; б) А = {- 2, - 1, 0, 1, 2}; в) А = {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}; г) А = {0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; …}; д) А = {1/2, 2/3, 3/4, 4/5, … }. 3) Задание с выбором ответа. Даны множества: М = {5,4,6}, Р = {4,5,6}, Т = {5,6,7}, S = {4, 6}. Какое из утверждений неверно? а) М = Р. б) Р ≠ S. в) М ≠ Т. г) Р = Т.

Задание 2 1. Запишите на символическом языке следующее утверждение: а) число 10 – натуральное; б) число – 7 не является натуральным; в) число – 100 является целым; г) число 2,5 – не целое. 2. Верно ли, что: а) – 5 N; б) -5 Z; в) 2,(45) Q? 3. Верно ли, что: а) 0,7 {х | х2 – 1 < 0}; б) – 7 {х | х2 + 16х ≤ - 64}?

Задание 3 1. Даны множества: А = {10}, В = {10, 15}, С = {5, 10, 15}, D = {5, 10, 15, 20}. Поставьте вместо … знак включения ( или ) так, чтобы получилось верное утверждение: а) А … D; б) А … В; в) С … А; г) С … В. 2. Даны три множества А = {1, 2, 3, …, 37}, В = {2, 4, 6, 8, …}, С = {4, 8, 12, 16, …, 36}. Верно ли, что: а) А В; б) В С; в) С А; г) С В?

Задание 4 1. Даны множества: А = {2; 3; 8}, В = {2; 3; 8; 11}, С = {5; 11}. Найдите: 1) А∩В; 2) А∩С; 3) С∩В. 2. Даны множества: А – множества всех натуральных чисел, кратных 10, В = {1; 2; 3;…, 41}. Найдите А∩В. 3. Даны множества: А = {a, b, c, d}, B = {c, d, e, f}, C = {c, e, g, k}. Найдите (А∩В)∩С.

Задание 5 1. Даны множества: А = {2; 3; 8}, В = {2; 3; 8; 11}, С = {5; 11}. Найдите: 1) АUВ; 2) АUС; 3) СUВ. 2. Даны множества: А = {a, b, c, d}, B = {c, d, e, f}, C = {c, e, g, k}. Найдите (АUВ)UС.

Решение задач с помощью кругов Эйлера ЭЙЛЕР Леонард (1707-1783), российский ученый — математик, механик, физик и астроном.

Задача 1 Расположите 4 элемента в двух множествах так, чтобы в каждом из них было по 3 элемента.

Задача 2 Множества А и В содержат соответственно 5 и 6 элементов, а множество А ∩ В – 2 элемента. Сколько элементов в множестве А U В?

Задача 3 Каждая семья, живущая в нашем доме, выписывает или газету, или журнал, или и то и другое вместе. 75 семей выписывают газету, а 27 семей выписывают журнал и лишь 13 семей выписывают и журнал, и газету. Сколько семей живет в нашем доме?

Задача 4 На школьной спартакиаде каждый из 25 учеников 9 –го класса выполнил норматив или по бегу, или по прыжкам в высоту. Оба норматива выполнили 7 человек, а 11 учеников выполнили норматив по бегу, но не выполнили норматив по прыжкам в высоту. Сколько учеников выполнили норматив: а) по бегу; б) по прыжкам в высоту; в) по прыжкам при условии, что не выполнен норматив по бегу?

Задача 5 Из 52 школьников 23 собирают значки, 35 собирают марки, а 16 – и значки, и марки. Остальные не увлекаются коллекционированием. Сколько школьников не увлекаются коллекционированием?

Задача 6 Каждый из учеников 9-го класса в зимние каникулы ровно два раза был в театре, посмотрев спектакли А, В или С. При этом спектакли А, В, С видели соответственно 25, 12 и 23 ученика. Сколько учеников в классе?

Задача 7 В воскресенье 19 учеников нашего класса побывали в планетарии, 10 – в цирке и 6 – на стадионе. Планетарий и цирк посетили 5 учеников; планетарий и стадион-3; цирк и стадион -1. Сколько учеников в нашем классе, если никто не успел посетить все три места, а три ученика не посетили ни одного места?

Задача 8 В одном классе 25 учеников. Из них 7 любят груши, 11 – черешню. Двое любят груши и черешню; 6 – груши и яблоки; 5 – яблоки и черешню. Но есть в классе два ученика, которые любят всё и четверо таких, что не любят фруктов вообще. Сколько учеников этого класса любят яблоки?

Задача 9 На уроке литературы учитель решил узнать, кто из 40 учеников 9 –го класса читал книги А, В, С. Результаты опроса выглядели так: книгу А прочитали 25 учеников, книгу В – 22 ученика, книгу С – 22 ученика; одну из книг А или В прочитали 33 ученика, одну из книг А или С прочитали 32 ученика, одну из книг В или С – 31 ученик. Все три книги прочитали 10 учеников. Сколько учеников: а) прочитали только по одной книге; б) прочитали ровно две книги; в) не прочили ни одной из указанных книг?

Задача 9. Решение а) Ответ: 15 учеников б) в) Ответ: 12 учеников Ответ: 3 ученика

Задача 10 На зимних каникулах из 36 учащихся класса только двое просидели дома, а 25 ребят ходили в кино, 15 – в театр, 17 – в цирк. Кино и театр посетили 11 человек, кино и цирк – 10, театр и цирк – 4. Сколько ребят побывало и в кино, и в театре, и в цирке?

Литература [1] Алгебра, 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / [А. Г. Мордкович, Л.А. Александрова и др.] -12-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2010. [2] Занимательная математика. 5 – 11 классы. Авт.- сост. Т.Д. Гаврилова. – Волгоград: Учитель, 2005. – 96 с. [3] Математика 6 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова и др./; под ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина; Рос. акад. наук, Рос. акад. образования, изд-во «Просвещение». – 11 –е изд. - М.: Просвещение, 2010. – 303 с.: ил.

Связь между алгеброй логики и теорией множеств Дело в том, что термин алгебра в своем роде имя нарицательное. Под ним понимается раздел математики, изучающий алгебраические операции, а природа объектов, к которым применяются эти операции, не важна. Говоря об алгебре логики или об алгебре множеств, мы более всего уделяли внимание операциям, определенным над допустимыми в данной теории объектами, свойствам этих операций. Еще одним хорошо известным вам примером алгебры, является алгебра чисел, к которой все выписанные законы также применимы. Проводя аналогии между этими алгебрами, мы можем сказать

Решение 1.

Решение 2.

№6

Решение.