Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование тригонометрических функций

Нажмите для полного просмотра!

Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование тригонометрических функций, слайд №2

Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование тригонометрических функций, слайд №3

Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование тригонометрических функций, слайд №4

Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование тригонометрических функций, слайд №5

Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование тригонометрических функций, слайд №6

Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование тригонометрических функций, слайд №7

Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование тригонометрических функций, слайд №8

Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование тригонометрических функций, слайд №9

Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование тригонометрических функций, слайд №10

Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование тригонометрических функций, слайд №11

Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование тригонометрических функций, слайд №12

Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование тригонометрических функций, слайд №13

Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование тригонометрических функций, слайд №14

Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование тригонометрических функций, слайд №15

Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование тригонометрических функций, слайд №16

Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование тригонометрических функций, слайд №17

Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование тригонометрических функций, слайд №18

Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование тригонометрических функций, слайд №19

Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование тригонометрических функций, слайд №20

Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование тригонометрических функций, слайд №21

Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование тригонометрических функций, слайд №22

Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование тригонометрических функций, слайд №23

Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование тригонометрических функций, слайд №24

Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование тригонометрических функций, слайд №25

Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование тригонометрических функций, слайд №26

Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование тригонометрических функций, слайд №27

Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование тригонометрических функций, слайд №28

Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование тригонометрических функций, слайд №29

Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование тригонометрических функций, слайд №30

Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование тригонометрических функций, слайд №31

Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование тригонометрических функций, слайд №32

Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование тригонометрических функций, слайд №33

Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование тригонометрических функций, слайд №34

Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование тригонометрических функций, слайд №35

Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование тригонометрических функций, слайд №36

Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование тригонометрических функций, слайд №37

Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование тригонометрических функций, слайд №38

Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование тригонометрических функций, слайд №39

Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование тригонометрических функций, слайд №40

Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование тригонометрических функций, слайд №41

Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование тригонометрических функций, слайд №42

Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование тригонометрических функций, слайд №43

Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование тригонометрических функций, слайд №44

Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование тригонометрических функций, слайд №45

Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование тригонометрических функций, слайд №46

Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование тригонометрических функций, слайд №47

Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование тригонометрических функций, слайд №48

Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование тригонометрических функций, слайд №49

Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование тригонометрических функций, слайд №50

Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование тригонометрических функций, слайд №51

Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование тригонометрических функций, слайд №52

Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование тригонометрических функций, слайд №53

Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование тригонометрических функций, слайд №54

Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование тригонометрических функций, слайд №55

Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование тригонометрических функций, слайд №56

Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование тригонометрических функций, слайд №57

Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование тригонометрических функций, слайд №58

Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование тригонометрических функций, слайд №59

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование тригонометрических функций. Доклад-сообщение содержит 59 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Математика ППИ. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Лекция № 12 (продолжение). Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование тригонометрических функций.

Слайд 2

Описание слайда:

Цели и задачи: Изучить основные методы интегрирования: интегрирование рациональных дробей, интегрирование некоторых классов тригонометрических и иррациональных функций.

Слайд 3

Описание слайда:

ВОПРОСЫ ЛЕКЦИИ №12 1. Метод интегрирования по частям. 2. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций.

Слайд 4

Описание слайда:

Литература [1] Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т 1. Москва: Интеграл-Пресс, 2004, с. 340-375. [3] Б.П. Демидович, В.А. Кудрявцев. Краткий курс высшей математики. Москва: Издательство АСТ, 2004, с. 229-250.

Слайд 5

Описание слайда:

Слайд 6

Описание слайда:

Рассмотрим интеграл вида Рассмотрим интеграл вида m и n - неотрицательные и по крайней мере одно из них является нечётным. Пусть n – нечётное, т.е. n=2p+1. Тогда

Слайд 7

Описание слайда:

б) б) m и n - неотрицательные чётные, т.е. n=2p, m=2q. Тогда б) б) m и n - неотрицательные чётные, т.е. n=2p, m=2q. Тогда Возведя в степень и раскрыв скобки, получим слагаемые, содержащие cos 2x в чётных и нечётных степенях. Члены с нечётными степенями интегрируются, как указано в случае а), чётные показатели снова понижаются по тем же формулам.

Слайд 8

Описание слайда:

Вторая разновидность интегралов имеет вид: Вторая разновидность интегралов имеет вид: или Третья разновидность интегралов

Слайд 9

Описание слайда:

Слайд 10

Описание слайда:

Пример. Пример.

Слайд 11

Описание слайда:

Универсальная тригонометрическая подстановка Всякий интеграл от рациональной функции вида может быть сведён к интегралу от рациональной функции. Для этого используется подстановка называемая универсальной тригонометрической подстановкой.

Слайд 12

Описание слайда:

Слайд 13

Описание слайда:

Пример. Пример.

Слайд 14

Описание слайда:

Рассмотрим интегралы вида Для их вычисления используют тригонометрические формулы

Слайд 15

Описание слайда:

Пример.

Слайд 16

Описание слайда:

Задание на самостоятельную работу [1] Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т 1. Москва: Интеграл-Пресс, 2004, с. 340-375. [3] Б.П. Демидович, В.А. Кудрявцев. Краткий курс высшей математики. Москва: Издательство АСТ, 2004, с. 229-250. Выучить таблицу основных интегралов.

Слайд 17

Описание слайда:

Математика ППИ. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Лекция № 13 . Интегрирование дробно-рациональных функций, иррациональных функций. Тригонометрические подстановки.

Слайд 18

Описание слайда:

ВОПРОСЫ ЛЕКЦИИ №13 1. Интегрирование рациональных дробей. 2.Интегрирование некоторых классов иррациональных функций

Слайд 19

Описание слайда:

Слайд 20

Описание слайда:

Определение. Дробно- рациональной функцией или просто рациональной дробью называется функция, равная частному от деления двух многочленов Определение. Дробно- рациональной функцией или просто рациональной дробью называется функция, равная частному от деления двух многочленов здесь - многочлен степени n, - многочлен степени m.

Слайд 21

Описание слайда:

Слайд 22

Описание слайда:

Слайд 23

Описание слайда:

Слайд 24

Описание слайда:

Слайд 25

Описание слайда:

Интегрирование простейших рациональных дробей Различают четыре типа простейших рациональных дробей: 1. 2. 3. 4. При этом A, a, M,N, p, q – действительные числа, многочлен не имеет вещественных корней.

Слайд 26

Описание слайда:

Интегрирование простейших дробей I и II типов: I. II.

Слайд 27

Описание слайда:

Интегрирование простейшей дроби III типа Пример. Найти интеграл Решение.

Слайд 28

Описание слайда:

Теорема. Правильную рациональную дробь , где можно единственным образом разложить в сумму простейших дробей: где - действительные числа .

Слайд 29

Описание слайда:

Метод неопределённых коэффициентов. Рассмотрим случай, когда корни знаменателя действительные и различные, т.е. рассмотрим правильную дробь: Данную дробь можно разложить на простейшие дроби I типа следующим образом Отметим, что неизвестные коэффициенты простейших дробей можно найти и методом сравнения коэффициентов, который состоит в следующем:

Слайд 30

Описание слайда:

1. Дроби справа приводят к общему знаменателю. 2. Приравнивают числители дробей слева и справа, раскрывают скобки и записывают многочлен в правой части по убывающим степеням . 3. Приравнивая друг другу коэффициенты многочленов левой и правой части при одинаковых степенях , получим систему уравнений для определения коэффициентов.

Слайд 31

Описание слайда:

Пример. Разложить дробь на простейшие и проинтегрировать.

Слайд 32

Описание слайда:

Итак,

Слайд 33

Описание слайда:

Слайд 34

Описание слайда:

Интегрирование некоторых классов иррациональных функций С помощью тригонометрических подстановок интегралы от некоторых иррациональных функций приводятся к интегралам от функций, рационально зависящих от тригонометрических функций

Слайд 35

Описание слайда:

Слайд 36

Описание слайда:

Пример. Найти

Слайд 37

Описание слайда:

Интеграл

Слайд 38

Описание слайда:

Интеграл более общего вида

Слайд 39

Описание слайда:

Пример.

Слайд 40

Описание слайда:

Интегрирование дифференциального бинома

Слайд 41

Описание слайда:

Слайд 42

Описание слайда:

Слайд 43

Описание слайда:

Пример.

Слайд 44

Описание слайда:

Слайд 45

Описание слайда:

Тригонометрические подстановки С помощью тригонометрических подстановок интегралы от некоторых иррациональных функций приводятся к интегралам от функций, рационально зависящих от тригонометрических функций: А Б

Слайд 46

Описание слайда:

Слайд 47

Описание слайда:

Пример. Пример.

Слайд 48

Описание слайда:

Далее (потерян минус в последнем слагаемом): Далее (потерян минус в последнем слагаемом):

Слайд 49

Описание слайда:

Пример. Пример. Можно проинтегрировать по частям:

Слайд 50

Описание слайда:

Пример.

Слайд 51

Описание слайда:

Слайд 52

Описание слайда:

Слайд 53

Описание слайда:

Слайд 54

Описание слайда:

Слайд 55

Описание слайда:

Понятие об интегралах, не берущихся в элементарных функциях Понятие об интегралах, не берущихся в элементарных функциях Как мы видим, в дифференциальном исчислении, производная от любой элементарной функции есть функция элементарная. Другое дело операция, обратная дифференцированию, - интегрирование. Можно привести многочисленные примеры таких элементарных функций, первообразные от которых хотя и существуют, но не являются элементарными функциями.

Слайд 56

Описание слайда:

Так, например, хотя по теореме существования для функций Так, например, хотя по теореме существования для функций существуют первообразные, но они не выражаются в элементарных функциях. Несмотря на это, все эти первообразные хорошо изучены и для них составлены подробные таблицы, помогающие практически использовать эти функции. В дальнейшем мы познакомимся с методами вычисления значений таких функций

Слайд 57

Описание слайда:

Заключение. Заключение. В заключение отметим, что рассмотренные методы и приёмы интегрирования не исчерпывают всех классов аналитически интегрируемых элементарных функций. В то же время из всего изложенного следует, что техника интегрирования сложнее по сравнению с дифференцированием. Необходимы навыки и изобретательность, которые приобретаются на практике в результате решения большого числа примеров