🗊Презентация Подобные треугольники. Повторение к ОГЭ

Подобные треугольники Повторение к ОГЭ

Наиболее часто встречающиеся теоретические вопросы Признаки подобия треугольников: 1.Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны. 2.Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. 3.Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны. Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному (почему)?

Даны два подобных треугольника. Стороны одного из них равны 12 см, 8 см, 6 см, а меньшая сторона другого равна 9 см. Найдите две другие его стороны. Даны два подобных треугольника. Стороны одного из них равны 12 см, 8 см, 6 см, а меньшая сторона другого равна 9 см. Найдите две другие его стороны. 2. В треугольнике АВС проведены две высоты АК и ВМ. 1) Докажите, что Δ АКС ~ Δ ВМС. 2) Найдите высоту ВМ, если АК = 18, СМ = 4, СК = 6.

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках K и M соответственно. Найдите AC, если BK : KA=2:3, KM=14. Решение: Треугольники АВС и КВМ подобны: угол В - общий, углы ВАС и ВКМ равны как соответственные при параллельных прямых АС и КМ и секущей АВ), поэтому КМ:АС= ВК:ВА. Т.к. ВК : КА = 2 : 3, то ВК : ВА = 2 : 5. Имеем, АС=КМ * ВА : ВК, АС=14 * 5 : 2 = 35 Ответ:35.

Через точки М и N, принадлежащие сторонам АВ и ВС треугольника ABC соответственно, проведена прямая МN, параллельная стороне АС. Найдите длину СN, если ВС = 6, МN = 4 и АС = 9. Через точки М и N, принадлежащие сторонам АВ и ВС треугольника ABC соответственно, проведена прямая МN, параллельная стороне АС. Найдите длину СN, если ВС = 6, МN = 4 и АС = 9. Решение: Треугольники  MBN и ABC подобны по первому признаку подобия., так как 1) у треугольников MBN и ABC угол В – общий 2)  в силу параллельности прямых MN и AC  соответственные углы BMN и BAC равны. Из подобия треугольников вытекает пропорциональность соответствующих сторон: Обозначим NC за x . Соответственно, BN = 6 – x,  согласно условию. Тогда . Тогда CN =

Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 20, BD=10. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны. Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 20, BD=10. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.

Наиболее часто встречающиеся теоретические вопросы Отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.

1). Прямые МО и КН , пересекающие стороны угла А, параллельны (М и К лежат на одной стороне угла). Найдите площадь треугольника АМО, если известно, что площадь треугольника АКН равна 48 см2, АМ = 4 см, МК = 2 см. 1). Прямые МО и КН , пересекающие стороны угла А, параллельны (М и К лежат на одной стороне угла). Найдите площадь треугольника АМО, если известно, что площадь треугольника АКН равна 48 см2, АМ = 4 см, МК = 2 см.

2). Прямая, параллельная основанию треугольника, делит его на треугольник и трапецию, площади которых относятся как 4:5. Периметр образовавшегося треугольника равен 20 см. Найдите периметр данного треугольника. 2). Прямая, параллельная основанию треугольника, делит его на треугольник и трапецию, площади которых относятся как 4:5. Периметр образовавшегося треугольника равен 20 см. Найдите периметр данного треугольника.

4). Из одной точки проведены к кругу две касательные. Длина касательной равна 156, а расстояние между точками касания равно 120. Найдите радиус круга. 4). Из одной точки проведены к кругу две касательные. Длина касательной равна 156, а расстояние между точками касания равно 120. Найдите радиус круга.

(№24) Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB =16, DC = 24, AC = 25. (№24) Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB =16, DC = 24, AC = 25. (№26) Основания трапеции относятся как 2 : 3. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. В каком отношении эта прямая делит площадь трапеции? (№26) Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 16. Окружность радиуса 12 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Наиболее часто встречающиеся теоретические вопросы Треугольники АОD и СОВ, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны. Коэффициент подобия k = АО : СО

Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке K, причем отрезок BK составляет треть от диагонали BD. Найдите основание AD, если BC = 12 см. Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке K, причем отрезок BK составляет треть от диагонали BD. Найдите основание AD, если BC = 12 см.

Наиболее часто встречающиеся теоретические вопросы Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. Отношение сходственных сторон подобных треугольников равно отношению высот, проведенных к этим сторонам. Катет прямоугольного треугольника является средним пропорциональным между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

В треугольнике АВС DЕ – средняя линия. Площадь треугольника СDЕ равна 45. Найдите площадь треугольника АВС. В треугольнике АВС DЕ – средняя линия. Площадь треугольника СDЕ равна 45. Найдите площадь треугольника АВС. Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH=7, AC=28.

Задачи практического содержания Определение высоты предмета.

Задание 17 № 314914. Человек, рост которого равен 1,8 м, стоит на расстоянии 16 м от уличного фонаря. При этом длина тени человека равна 9 м. Определите высоту фонаря (в метрах). Решение: Введём обозначения, как показано на рисунке. Рассмотрим прямоугольные треугольники AEB и СDE, они имеют общий угол Е и, следовательно, подобны по двум углам. Значит,  , откуда  

(№26) На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо — 6 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 0,5 м? Дано: BO=2 м, OC=6 м, AB=0,5 м. Найти: СD Решение: Треугольники АВО и DСО подобны (по двум углам), АВ : СD = ВО : ОС, СD=АВ*ОС : ВО, СD=0,5*6:2=1,5 (м). Ответ: 1,5

(№26) На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо — 3 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1 м? (№26) На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо — 3 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1 м? (№17) Человек ростом 1,8 м стоит на расстоянии 12 м от столба, на котором висит фонарь на высоте 5,4 м. Найдите длину тени человека в метрах.

(№17) № 44. Проектор полностью освещает экран A высотой 80 см, расположенный на расстоянии 250 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран B высотой 160 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными? (№17) № 44. Проектор полностью освещает экран A высотой 80 см, расположенный на расстоянии 250 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран B высотой 160 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными?

(№17) № 44. Проектор полностью освещает экран A высотой 80 см, расположенный на расстоянии 250 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран B высотой 160 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными? (№17) № 44. Проектор полностью освещает экран A высотой 80 см, расположенный на расстоянии 250 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран B высотой 160 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными?

Стр.357 Задача 25. Известно, что около четырёхугольника АВСD можно описать окружность и что продолжения сторон АВ и СD четырёхугольника пересекаются в точке М. Докажите, что треугольники МВС и МDA подобны. Стр.357 Задача 25. Известно, что около четырёхугольника АВСD можно описать окружность и что продолжения сторон АВ и СD четырёхугольника пересекаются в точке М. Докажите, что треугольники МВС и МDA подобны. РЕШЕНИЕ. 1. По свойству углов вписанного четырёхугольника (п.75 ) сумма противоположных углов 4-угольника равна 180 ⁰ . 2. Пусть < В=�� , тогда <АDС=180-��. 3. По свойству смежных углов <МDA= 180- (180-��)= ��. Рассмотрим ∆ MBC и ∆ МDA. <М –общий, <В=< МDA=��. ∆МВС∞∆ МDA по двум углам. 9В683D

Стр.357,356. ЗАДАЧА 24. Окружность пересекает стороны АВ и АС ∆ АВС в точках К и Р соответственно и проходит через вершины В и С. Найдите длину отрезка КР, если АК=16, а сторона АС в 1,6 раза больше стороны ВС. РЕШЕНИЕ. 1. ∆АКР∞∆АВС (см.предыдущую задачу) по двум углам. <А общий, <В=<КРА. 2.Если ∆ подобны, то стороны пропорциональны (по определению). Составим пропорцию 3. Пусть ВС=х, тогда АС=1,6х. ОТВЕТ : КР=10.

РЕШЕНИЕ: РЕШЕНИЕ: (2 способ). 1.∆АВА₁ и ∆СВС₁ прямоугольные: <АА₁В=<СС₁В=90⁰, <АВА₁=<СВС₁ (вертикальные). ∆АВА₁ ∞ ∆СВС₁ (по двум углам).

1. АМ и ВК – перпендикуляры к прямой a, точки М и К – основания перпендикуляров. АК ∩ ВМ = О. Найдите АМ и МК, если МО = 6, ВО = 4, ВК = 6. 1. АМ и ВК – перпендикуляры к прямой a, точки М и К – основания перпендикуляров. АК ∩ ВМ = О. Найдите АМ и МК, если МО = 6, ВО = 4, ВК = 6. 2. В треугольнике ОВС проведен отрезок МК, параллельный стороне ВС. Найдите отношение площадей треугольника ОМК и трапеции МВСК, если ОМ = 4, МВ = 12. 3. В треугольнике МРК сторона МК равна 12. Биссектриса МА делит сторону РК на отрезки АК = 8, АР = 10. Найдите длины отрезков, на которые делит сторону МР биссектриса КВ.

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках K и M соответственно. Найдите AC, если BK:KA=3:7, KM=12. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках K и M соответственно. Найдите AC, если BK:KA=3:7, KM=12. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках K и M соответственно.  Найдите AC, если BK:KA=1:5, KM=17. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в  точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN=12, AC=42, NC=25. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в  точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN=13, AC=65, NC=28.

Приложение Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 4,5 и 18, BD=9. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны. Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 4 и 64, BD=16. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны. Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 3 и 12, BD=6. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны. Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH=3, AC=12. Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH=10, AC=40.

Спасибо за внимание!