Кривые второго порядка - презентация, доклад, проект скачать

Нажмите для полного просмотра!

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Кривые второго порядка. Доклад-сообщение содержит 55 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

§ Кривые второго порядка Кривые второго порядка делятся на 1) вырожденные и 2) невырожденные Вырожденные кривые второго порядка это прямые и точки, которые задаются уравнением второй степени. Если уравнению второго порядка не удовлетворяет ни одна точка плоскости, то тоже говорят, что уравнение определяет вырожденную кривую (мнимую кривую второго порядка). Невырожденными кривыми второго порядка являются эллипс, окружность, гипербола и парабола.

Слайд 2

Описание слайда:

Гипотеза: Если изменим радиус окружности вдоль оси ординат путём сжатия, то получим эллипс.

Слайд 3

Описание слайда:

ПОСТРОЙКА ЭЛЛИПСА

Слайд 4

Описание слайда:

Построение графика эллипса Пусть, например, на эллипсе взяты точки M1, M2, M3, M4 и т.д. (рис. 1). Если фокусы обозначить через F и F1, то согласно данному определению можно написать: F1M1 + FM1 = F1M2 + FM2 = F1M3 + FM3 = F1M4 + FM4 = const. (1) Геометрическое место точек, обладающих вышеуказанным свойством (1), и есть эллипс.

Слайд 5

Описание слайда:

1. Эллипс и окружность ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек плоскости F1 и F2 есть величина постоянная и равная 2a (2a>|F1F2|). Точки F1 и F2 называют фокусами эллипса. Выберем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы фокусы F1 и F2 лежали на оси Ox на одинаковом расстоянии от O.

Слайд 6

Описание слайда:

уравнение эллипса. 3. Построим эллипс.

Слайд 7

Описание слайда:

Уравнение (1): Уравнение (1):

Слайд 8

Описание слайда:

СВОЙСТВА ЭЛЛИПСА СВОЙСТВА ЭЛЛИПСА 1) Эллипс лежит внутри прямоугольника, ограниченного x=a, y=b. 2) Эллипс имеет центр симметрии (начало координат) и две оси симметрии (оси Ox и Oy). Центр симметрии эллипса называют центром эллипса. Ось симметрии эллипса, проходящую через фокусы (ось Ox) называют большой (или фокальной) осью симметрии, а вторую ось (ось Oy) – малой осью. 3) Из уравнения эллипса получаем:

Слайд 9

Описание слайда:

Слайд 10

Описание слайда:

Точки A1 , A2 , B1 , B2 называются вершинами эллипса. Точки A1 , A2 , B1 , B2 называются вершинами эллипса. Отрезок A1A2 и его длина 2a называются большой (фокальной) осью, отрезок B1B2 и его длина 2b – малой осью. Величины a и b называются большой и малой полуосью соответственно. Длина отрезка F1F2 (равная 2c) называется фокусным расстоянием. Если M – произвольная точка эллипса, то отрезки MF1 , MF2 и их длины r1, r2 называются фокальными радиусами точки M

Слайд 11

Описание слайда:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Величина  , равная отношению фокусного расстояния эллипса к его большой оси, называется эксцентриситетом эллипса, т.е. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Величина  , равная отношению фокусного расстояния эллипса к его большой оси, называется эксцентриситетом эллипса, т.е.

Слайд 12

Описание слайда:

2) Если выбрать систему координат так, чтобы фокусы F1 и F2 были на оси Oy на одинаковом расстоянии от начала координат, то уравнение эллипса будет иметь вид 2) Если выбрать систему координат так, чтобы фокусы F1 и F2 были на оси Oy на одинаковом расстоянии от начала координат, то уравнение эллипса будет иметь вид

Слайд 13

Описание слайда:

Точки пересечения эллипса с осями Найдём точки пересечения эллипса с осью Ох. Пусть у=0; тогда имеем: . Отсюда следует: эллипс пересекает ось Ох в двух точках, координаты которых (а; 0) и (-а; 0) (точки А и А1)

Слайд 14

Описание слайда:

Слайд 15

Описание слайда:

Слайд 16

Описание слайда:

Слайд 17

Описание слайда:

Слайд 18

Описание слайда:

Слайд 19

Описание слайда:

2. Гипербола ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек плоскости F1 и F2 есть величина постоянная и равная 2a (2a < |F1F2|). Точки F1 и F2 называют фокусами гиперболы. Выберем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы фокусы F1 и F2 лежали на оси Ox на одинаковом расстоянии от O.

Слайд 20

Описание слайда:

Уравнение (2): Уравнение (2):

Слайд 21

Описание слайда:

СВОЙСТВА ГИПЕРБОЛЫ СВОЙСТВА ГИПЕРБОЛЫ 1) Точек гиперболы нет в полосе, ограниченной прямыми x=a. 2) Гипербола имеет центр симметрии (начало координат) и две оси симметрии (оси Ox и Oy). Центр симметрии гиперболы называют центром гиперболы. Ось симметрии гиперболы, проходящую через фокусы (ось Ox) называют действительной (или фокальной) осью симметрии, а вторую ось (ось Oy) – мнимой осью. 3) Из уравнения гиперболы получаем:

Слайд 22

Описание слайда:

Прямая ℓ называется асимптотой кривой, если расстояние от точки M кривой до прямой ℓ стремится к нулю при удалении точки M от начала координат. Прямая ℓ называется асимптотой кривой, если расстояние от точки M кривой до прямой ℓ стремится к нулю при удалении точки M от начала координат. Существуют два вида асимптот – вертикальные и наклонные. Вертикальные асимптоты кривая y=f(x) имеет в тех точках разрыва II рода функции y=f(x) , в которых хотя бы один из односторонних пределов функции равен бесконечности. Наклонные асимптоты кривой y=f(x) имеют уравнение y=k1,2x+b1,2 , где

Слайд 23

Описание слайда:

Слайд 24

Описание слайда:

Точки A1 , A2 называются вершинами гиперболы. Точки A1 , A2 называются вершинами гиперболы. Отрезок A1A2 и его длина 2a называются действительной (фокальной) осью, отрезок B1B2 и его длина 2b – мнимой осью. Величины a и b называются действительной и мнимой полуосью соответственно. Длина отрезка F1F2 (равная 2c) называется фокусным расстоянием. Если M – произвольная точка гиперболы, то отрезки MF1 , MF2 и их длины r1, r2 называются фокальными радиусами точки M

Слайд 25

Описание слайда:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Величина  , равная отношению фокусного расстояния гиперболы к ее действительной оси, называется эксцентриситетом гиперболы, т.е. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Величина  , равная отношению фокусного расстояния гиперболы к ее действительной оси, называется эксцентриситетом гиперболы, т.е.

Слайд 26

Описание слайда:

Замечания. Замечания. 1) Если в уравнении гиперболы a=b, то гипербола называется равнобочной. Асимптоты равнобочной гиперболы, перпендикулярны.  можно выбрать систему координат так, чтобы координатные оси совпали с асимптотами. Тогда уравнение гиперболы будет xy=0,5a2 . (3) Уравнение (3) называют уравнением равнобочной гипер- болы, отнесенной к асимптотам.

Слайд 27

Описание слайда:

2) Если выбрать систему координат так, чтобы фокусы F1 и F2 были на одинаковом расстоянии от O(0;0), но лежали на Oy, то уравнение гиперболы будет иметь вид 2) Если выбрать систему координат так, чтобы фокусы F1 и F2 были на одинаковом расстоянии от O(0;0), но лежали на Oy, то уравнение гиперболы будет иметь вид

Слайд 28

Описание слайда:

3. Парабола Пусть ℓ – некоторая прямая на плоскости, F – некоторая точка плоскости, не лежащая на прямой ℓ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до фиксированной прямой ℓ и до фиксированной точки F (не лежащей на прямой ℓ) одинаково. Точку F называют фокусом параболы, прямую ℓ – директрисой. Выберем декартову прямоугольную систему координат так, директриса параболы ℓ была перпендикулярна оси Ox, фокус F лежал на положительной части Ox и расстояние от O до F и до ℓ было одинаковым.

Слайд 29

Описание слайда:

Уравнение (4): y2 = 2px называется каноническим уравнением параболы. Система координат, в которой парабола имеет такое уравнение, называется ее канонической системой координат.

Слайд 30

Описание слайда:

СВОЙСТВА ПАРАБОЛЫ СВОЙСТВА ПАРАБОЛЫ 1) Парабола лежит в полуплоскости x ≥ 0. 2) Парабола имеет ось симметрии (ось Ox). Ось симметрии параболы называют осью параболы. 3) Из уравнения параболы получаем:

Слайд 31

Описание слайда:

Слайд 32

Описание слайда:

Точка, в которой парабола пересекает свою ось, называется вершиной параболы, Точка, в которой парабола пересекает свою ось, называется вершиной параболы, Число p называется параметром параболы. Если M – произвольная точка параболы, то отрезок MF и его длина называются фокальными радиусами точки M.

Слайд 33

Описание слайда:

Замечание. Введем систему координат так, чтобы фокус F параболы лежал на отрицательной части оси Ox, директриса была перпендикулярна Ox, и расстояние от O до F и до директрисы было одинаково. Замечание. Введем систему координат так, чтобы фокус F параболы лежал на отрицательной части оси Ox, директриса была перпендикулярна Ox, и расстояние от O до F и до директрисы было одинаково.

Слайд 34

Описание слайда:

Выберем систему координат так, чтобы директриса была перпендикулярна Oy, фокус лежал на положительной (отрицательной) части оси Oy и O была на одинаковом расстоянии от F и от директрисы (рис. 2 и рис. 3): Выберем систему координат так, чтобы директриса была перпендикулярна Oy, фокус лежал на положительной (отрицательной) части оси Oy и O была на одинаковом расстоянии от F и от директрисы (рис. 2 и рис. 3):

Слайд 35

Описание слайда:

4. Координаты точки в разных системах координат Получаем:

Слайд 36

Описание слайда:

5. Общее уравнение кривой второго порядка Рассмотрим уравнение Ax2 + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 (13) С помощью элементарных преобразований, уравнение (13) может быть приведено к виду:

Слайд 37

Описание слайда:

Замечание. Приводить уравнение (13) к виду (14) необходимо, если мы хотим построить кривую. Тип кривой можно определить и без уравнения (14). А именно: Замечание. Приводить уравнение (13) к виду (14) необходимо, если мы хотим построить кривую. Тип кривой можно определить и без уравнения (14). А именно: 1) если AC = 0, то кривая является параболой; 2) если AC < 0, то кривая является гиперболой; 3) если AC > 0, A ≠ C– эллипсом; 4) если AC > 0, A = C – окружностью.

Слайд 38

Описание слайда:

6. Общее определение эллипса, гиперболы и параболы Пусть M – произвольная точка эллипса или гиперболы. ri = | MFi | , di = d(M,ℓi) ТЕОРЕМА. Для любой точки M эллипса (гиперболы) имеет место равенство

Слайд 39

Описание слайда:

7. Оптическое свойство эллипса, гиперболы и параболы Получаем: α = β .С физической точки зрения это означает: 1) Если источник света находится в одном из фокусов эллиптического зеркала, то лучи его, отразившись от зеркала, собираются в другом фокусе. 2) Если источник света находится в одном из фокусов гиперболического зеркала, то лучи его, отразившись от зеркала, идут далее так, как если бы они исходили из другого фокуса. 3) Если источник света находится в фокусе параболического зеркала, то лучи его, отразившись от зеркала, идут далее параллельно оси.

Слайд 40

Описание слайда:

§ Поверхности второго порядка Поверхностью второго порядка называется геометрическое место точек в пространстве, декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению F(x,y,z) = 0, где F(x,y,z) – многочлен степени 2.  в общем случае уравнение поверхности 2-го порядка имеет вид: a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz+2a10x+2a20y+2a30z+a00=0 . Поверхности второго порядка делятся на 1) вырожденные и 2) невырожденные Вырожденные поверхности второго порядка это плоскости и точки, которые задаются уравнением второй степени. Если уравнению второго порядка не удовлетворяет ни одна точка пространства, то тоже говорят, что уравнение определяет вырожденную поверхность (мнимую поверхность второго порядка). Невырожденными поверхности второго порядка подразделяются на пять типов.

Слайд 41

Описание слайда:

1. Эллипсоид ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Эллипсоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению

Слайд 42

Описание слайда:

Величины a, b и c называются полуосями эллипсоида. Величины a, b и c называются полуосями эллипсоида. Если все они различны, то эллипсоид называется трехостным. Если две из трех полуосей равны, эллипсоид является поверхностью вращения. Он получается в результате вращения эллипса вокруг одной из своих осей.

Слайд 43

Описание слайда:

Эллипсоид, у которого все три полуоси равны, называют сферой. Эллипсоид, у которого все три полуоси равны, называют сферой. Каноническое уравнение сферы принято записывать в виде x2 + y2 + z2 = r2, где r – величина полуосей, которая называется радиусом сферы. С геометрической точки зрения, сфера – геометрическое место точек пространства, равноудаленных (на расстояние r) от некоторой фиксированной точки (называемой центром). В канонической системе координат сферы, центр – начало координат.

Слайд 44

Описание слайда:

2. Гиперболоиды ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Однополостным гиперболоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению

Слайд 45

Описание слайда:

Величины a, b и c называются полуосями однополостного гиперболоида. Величины a, b и c называются полуосями однополостного гиперболоида. Если a=b, то однополосный гиперболоид является поверхностью вращения. Он получается в результате вращения гиперболы

Слайд 46

Описание слайда:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Двуполостным гиперболоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Двуполостным гиперболоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению

Слайд 47

Описание слайда:

Величины a, b и c называются полуосями двуполостного гиперболоида. Величины a, b и c называются полуосями двуполостного гиперболоида. Если a=b, то двуполостный гиперболоид является поверхностью вращения. Он получается в результате вращения гиперболы

Слайд 48

Описание слайда:

3. Конус ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Конусом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению

Слайд 49

Описание слайда:

Величины a, b и c называются полуосями конуса. Центр симметрии O называется вершиной конуса. Величины a, b и c называются полуосями конуса. Центр симметрии O называется вершиной конуса. Если a=b, то конус является поверхностью вращения. Он получается в результате вращения прямой

Слайд 50

Описание слайда:

4. Параболоиды ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Эллиптическим параболоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению

Слайд 51

Описание слайда:

Величины a и b называются параметрами параболоида. Точка O называется вершиной параболоида. Величины a и b называются параметрами параболоида. Точка O называется вершиной параболоида. Если a=b, то параболоид является поверхностью вращения. Он получается в результате вращения параболы

Слайд 52

Описание слайда:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Гиперболическим параболоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Гиперболическим параболоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению

Слайд 53

Описание слайда:

Величины a и b называются параметрами параболоида. Величины a и b называются параметрами параболоида.

Слайд 54

Описание слайда:

5. Цилиндры ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Цилиндрической поверхностью (цилиндром) называется поверхность, которую описывает прямая (называемая образующей), перемещающаяся параллельно самой себе вдоль некоторой кривой (называемой направляющей) . Цилиндры называют по виду направляющей: круговые, эллиптические, параболические, гиперболические.

Слайд 55

Описание слайда:

Цилиндр Цилиндр в некоторой декартовой системе координат задается уравнением, в которое не входит одна из координат. Кривая, которую определяет это уравнение в соответствующей координатной плоскости, является направляющей цилиндра; а образующая – параллельна оси отсутствующей координаты.