🗊Презентация Полуправильные многоугольники. Длина и площадь

МОУ « Теньгушевская средняя обшеобразовательная школа» Геометрия 9 класс Дополнительные главы к школьному учебнику « Учитель-методист» А.П.Родина. 2007-2008 учебный год.

Полуправильные многоугольники. Длина и площадь. Цели: 1) Углубить знания учащихся по теме «Многоугольники». 2) Ввести понятие равноугольно- полуправильного и равносторонне- полуправильного многоугольника. 3) Познакомить с теоремой Барбье о длине кривой постоянной ширины и площадью фигуры.

Вписанный правильный десятиугольник и пятиугольник Дано: О(R ), BК AM, C OB, C(CO), BC=CO AC C(CO)=D Доказать,что АD- сторона правильного десятиугольника.

Доказательство 1) МАВ=144-угол десятиугольника, АОВ= =36,то ОАВ= ОВА=72 ВАС=36-т.к.АС-биссектриса. АОВ ~ САВ-по двум углам, = ОА=R, BC=OB-OC=R-AB,значит = ,то АВ= R. 2) АВ=2RSin18, тогда 2RSin18= R, Sin18 =

AD=AC-DC=AC-R/2 значит AD- сторона десятиугольника

Построение правильного десятиугольника При помощи одного циркуля

Построение 1. O(R) 2. A1A2=A2A3=A3A4= =A4A5=A5A6=R 3. A1(A1A3) A4(A1A3)=B 4. A3C=A5C=OB 5. OC-сторона десятиугольника 6. EF, FN, NM, MK, KL, LP, PQ, QH, HS EFNMKLPQHS-ИСКОМЫЙ

Вписанный правильный пятнадцатиугольник Пусть АВ= , АС= , дуга АВ=36 , дуга АС=60, а дуга ВС=24. Следовательно ВС= т.к. ВОС=24°=

Теорема Гаусса (1777-1855гг) Построение правильного n-угольника с помощью линейки и циркуля возможно тогда и только тогда, когда число n имеет следующее разложение на множители где m-целое неотрицательное число , а - различные между собой простые числа вида

Примеры При m =0, s=1, n= для к=0;1;2;3;4 получаем n=3, n=5, n=17, n=257, n=65537. При m=0, s=2 имеем , если , то n=15. Число 7 простое , но оно не является числом , поэтому с помощью циркуля и линейки нельзя точно построить правильный семиугольник 9 ≠ ,поэтому построить правильный девятиугольник нельзя. 360 ≠ не удовлетворяет т.Гаусса,т.к. 3 входит дважды. Следовательно нельзя разделить окружность на 360 равных частей,т.е. нельзя построить угол в один градус.

Длина кривой Ломаная А….В вписана в кривую АВ, B замкнутую кривую вписана ломаная

Теорема Барбье Длина любой кривой постоянной ширины d равна πd. Доказательство. Представим себе каток постоянной ширины d, который катится без проскальзывания между параллельными прямыми а и b. Пусть а неподвижна, а прямая b движущаяся с постоянной скоростью v. Cделав один оборот каток переместится на расстояние , где -длина кривой, ограничивающей каток. Прямая b переместится тоже на по отношению к катку, тогда по отношению к неподвижной прямой- на 2 , Каток вращается вокруг точки (А(а);С(b)) с угловой скоростью вращения катка то скорость движения прямой b будет . Итак ,но , тогда ,

Площадь фигуры

Полуправильные многоугольники Определение. Выпуклый многоугольник с четным числом вершин называется равноугольно-полуправильным, если его стороны, взятые через одну, равны и все его углы равны.(пример-прямоугольник) Теорема1. Около любого равноугольно- полуправильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

Доказательство Пусть - полуправильный. Опишем около окружность , О - центр окружности. Докажем, что все вершины лежат на Около опишем с центром . = ( -общая, ). Поэтому ,значит

Определение Выпуклый многоугольник с четным числом вершин называется равносторонне-полуправильным, если его углы, взятые через один, равны и все его стороны равны. Теорема В любой равносторонне- полуправильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

АО, ВО, …КО - биссектрисы углов А, В,…К. , O-центр вписанной окружности. ОН ВС,ОР СD, OH=OP=r Действительно, НСО= РСО,т.к. ОНС= ОРС= 90, ОСН= ОСР, ОС- общая. Следствие1. Не в любой равноугольно- полуправильный многоугольник можно вписать окружность(пример-прямоугольник) Следствие2. Не для любого равносторонне- полуправильного многоугольника существует описанная окружность.

Домашнее задание Подготовиться к контрольной работе, повторив материал пунктов 105-112 и решив задачи: 1)Периметр правильного пятиугольника, вписанного в окружность, равен 6 дм. Найдите сторону правильного треугольника, вписанного в ту же окружность. 2) Найдите площадь круга, если площадь вписанного в ограничивающую его окружность треугольника равна . 3)Найдите длину окружности, если площадь вписанного в нее правильного четырехугольника равна 32

Молодцы!