🗊Презентация Взаимное пересечение поверхностей

Лекция Взаимные пересечения поверхностей

Пересечение поверхностей Из линейной алгебры (многомерной геометрии) хорошо известно, что в расширенном евклидовом пространстве Еn+  размерность пересечения геометрических объектов может быть определена из соотношения p = m1 + m2 - n, где p - размерность объекта получаемого в пересечении, m1 - размерность первого объекта (m1 - поверхности), m2 - размерность второго объекта (m2 - поверхности), n - размерность рассматриваемого пространства. В соответствии с выше приведенной формулой пересечение двух поверхностей (двумерных m1 = m1 = 2)  в трехмерном евклидовом пространстве Е3+ должно привести к появлению одномерного объекта p = 2+2-3=1 - пространственной кривой (p = 1), все точки которой являются общими для обеих поверхностей.

При построении линии пересечения наиболее характерны два случая: - одна из проекций линии пересечения известна и задача сводится к отысканию недостающих проекций точек по принадлежности одной из поверхностей; - проекции линии пересечения не известны. При построении линии пересечения наиболее характерны два случая: - одна из проекций линии пересечения известна и задача сводится к отысканию недостающих проекций точек по принадлежности одной из поверхностей; - проекции линии пересечения не известны. И в том и другом случае задача решается введением дополнительных секущих поверхностей, позволяющих находить точки, принадлежащие одновременно трем геометрическим объектам. В качестве дополнительных поверхностей берутся плоскости, цилиндры и сферы, дающие наиболее простые (заранее известные) линии при пересечении с заданными поверхностями.

Применение вспомогательных секущих плоскостей. Построение линии пересечения поверхностей осуществляется при помощи вспомогательных секущих поверхностей. При этом данные поверхности пересекаются вспомогательной поверхностью и определяются линии пересечения каждой из данных поверхностей со вспомогательной. Если эти линии пересекаются (а они, в силу принадлежности одной и той же вспомогательной поверхности, могут пересекаться, касаться или не иметь общих точек), то полученные точки пересечения принадлежат обеим данным поверхностям и, следовательно, их линиям пересечения.

Пример модели

Применение вспомогательных секущих плоскостей. Построение линии пересечения кривых поверхностей осуществляется при помощи вспомогательных секущих поверхностей. При этом данные поверхности пересекаются вспомогательной поверхностью и определяются линии пересечения каждой из данных поверхностей со вспомогательной. Если эти линии пересекаются (а они, в силу принадлежности одной и той же вспомогательной поверхности, могут пересекаться, касаться или не иметь общих точек), то полученные точки пересечения принадлежат обеим данным поверхностям и, следовательно, их линии пересечения.

Если в качестве вспомогательных секущих поверхностей используются плоскости, то способ построения называют способом вспомогательных секущих плоскостей. Если используются сферы - способом вспомогательных сфер. Рассмотрим применение вспомогательных секущих плоскостей на примере построения линии пересечения конуса и полусферы вращения, конуса и цилиндра, конуса и призмы, полусферы и цилиндра.. Если в качестве вспомогательных секущих поверхностей используются плоскости, то способ построения называют способом вспомогательных секущих плоскостей. Если используются сферы - способом вспомогательных сфер. Рассмотрим применение вспомогательных секущих плоскостей на примере построения линии пересечения конуса и полусферы вращения, конуса и цилиндра, конуса и призмы, полусферы и цилиндра.. Для построения линии пересечения заданных поверхностей удобно в качестве вспомогательных поверхностей использовать серию горизонтальных плоскостей, перпендикулярных оси конуса, которые пересекают конус и полусферу по окружностям. На пересечении этих окружностей находят точки искомой линии пересечения.

В пересечении поверхностей образуется линия, порядок которой равен произведению порядков кривых поверхностей, участвующих в пересечении. В пересечении поверхностей образуется линия, порядок которой равен произведению порядков кривых поверхностей, участвующих в пересечении. Опорные и промежуточные точки определяются с помощью способа вспомогательных плоскостей.

Анализ: Случай врезки. Линия пересечения – пространственная кривая 4-го порядка. Используем способ вспомогательных секущих плоскостей. Анализ: Случай врезки. Линия пересечения – пространственная кривая 4-го порядка. Используем способ вспомогательных секущих плоскостей. Рассмотрим Алгоритм решения: Плоскость  П2 пересекает поверхности по главным меридианам q, q и дает экстремальную точку А (она же очерковая на П2). Плоскость Г П1 пересекает поверхности по горизонтальным очеркам и дает очерковые на П1 точки В и В. Плоскости ГП1 и ГП1 пересекают поверхности по окружностям и дают соответственно экстремальные и промежуточные точки.

Пересечение конуса и цилиндра

СООСНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ Соосными называются поверхности вращения, имеющие общую ось.

Число окружностей при пересечении поверхностей равно числу точек пересечения их меридианов m и n, расположенных по одну сторону от оси вращения i. соосных поверхностей вращения Число окружностей при пересечении поверхностей равно числу точек пересечения их меридианов m и n, расположенных по одну сторону от оси вращения i. соосных поверхностей вращения

СПОСОБ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ СФЕР Для построения линии пересечения поверхностей вращения, имеющих круговые сечения, в ряде случаев в качестве вспомогательных поверхностей целесообразно использовать сферы. Разновидности способа включают в себя: способ концентрических сфер и способ эксцентрических сфер.

Способ концентрических сфер применяется, если: Способ концентрических сфер применяется, если: - оси поверхностей пересекаются; - есть общая плоскость симметрии; - если способ вспомогательных секущих плоскостей не дает простого решения.

Применение концентрических сфер Известно, что если ось поверхности вращения проходит через центр сферы и сфера пересекает эту поверхность, то линия пересечения сферы и поверхности вращения - окружность, плоскость которой перпендикулярна оси поверхности вращения. При этом, если ось поверхности вращения параллельна плоскости проекций, то линия пересечения на эту плоскость проецируется в отрезок прямой линии. Это свойство используют для построения линии взаимного пересечения двух поверхностей вращения с помощью вспомогательных сфер. При этом могут быть использованы концентрические и неконцентрические сферы. Рассмотрим применение вспомогательных концентрических сфер - сфер с постоянным центром.

Способ секущих сфер с постоянным центром для построения линии пересечения двух поверхностей применяют при следующих условиях: Способ секущих сфер с постоянным центром для построения линии пересечения двух поверхностей применяют при следующих условиях: обе пересекающиеся поверхности - поверхности вращения; оси поверхностей вращения пересекаются; точку пересечения принимают за центр вспомогательных (концентрических) сфер; плоскость, образованная осями поверхностей (плоскость симметрии), должна быть параллельна плоскости проекций. В случае, если это условие не соблюдается, то, чтобы его обеспечить, необходимо использовать способы преобразования чертежа.

Пример применения способа концентрических сфер

Пересечение двух цилиндров Линия пересечения двух цилиндров может быть определена с помощью метода секущих сфер. Это определяется тем, что рассматриваемые поверхности являются поверхностями вращения и оси вращения пересекаются. Линия пересечения распадается на две ветви, нижнюю и верхнюю, построение которых аналогично Фронтальные проекции характерных точек линии пересечения 12, 22, 32, 42 определятся в результате пересечения фронтальных очерков поверхностей ,а горизонтальные - определятся по принадлежности этих точек цилиндру. Низшая точка линии пересечения (А)определяется введением сферы, которая пересечет цилиндр  по окружности l(фронтальная проекция этой окружности совпадет с фронтальной проекцией оси вращения цилиндра). С цилиндром эта же сфера пересечется по окружности m. Точка  A и есть результат пересечения окружностей l и m.     Промежуточные точки определятся аналогично, как пересечение окружностей, получающихся в пересечении произвольных сфер с цилиндрами. Фронтальные проекции точек линии пересечения определяются как пересечения отрезков прямых, в которые вырождаются окружности, перпендикулярные оси вращения, а горизонтальные проекции находятся по принадлежности одной из поверхностей. В данном случае - поверхности ?.

Применение вспомогательных эксцентрических сфер. Такие сферы применяют, если: Одна из пересекающихся поверхностей - поверхность вращения, другая поверхность имеет круговые сечения; Две поверхности имеют общую плоскость симметрии (т. е. ось поверхности вращения и центры круговых сечений второй поверхности принадлежат одной плоскости - плоскости их симметрии); Плоскость симметрии параллельна плоскости проекций ( это условие при необходимости может быть обеспечено преобразованием чертежа).

Построение линии пересечения прямого кругового конуса и тора, оси которых скрещиваются Ось конуса параллельна плоскости П2, ось тора перпендикулярна плоскости П2, окружность центров осевых круговых сечений тора и ось конуса лежат в одной плоскости, параллельной плоскости П2. Две очевидные характерные точки: высшая с проекцией а2 и низшая d2 - являются точками пересечения проекций очерков тора и конуса. Для построения проекций промежуточных точек, например проекции b2, выполняют следующие построения. выбирают на поверхности тора окружность, например с проекцией 1222 с центром в точке с проекцией 32. Перпендикуляр к плоскости этой окружности из точки с проекцией 32 является линией центров множества сфер, которые пересекают тор по окружности с проекцией 1222.

Из множества этих сфер выбирают сферу с центром на оси конуса. Его проекция О1. Эта сфера радиусом R1 пересекает конус по окружности с проекцией 42 52. Пересечение проекций 1222 и 4252 является проекцией пары общих точек тора и конуса, т.е. линии их пересечения. На чертеже обозначена проекция b2 одной из указанных точек - точки на видимом участке линии пересечения. Из множества этих сфер выбирают сферу с центром на оси конуса. Его проекция О1. Эта сфера радиусом R1 пересекает конус по окружности с проекцией 42 52. Пересечение проекций 1222 и 4252 является проекцией пары общих точек тора и конуса, т.е. линии их пересечения. На чертеже обозначена проекция b2 одной из указанных точек - точки на видимом участке линии пересечения. Построение проекций второй пары точек линии пересечения, из которых обозначена проекция c2, выполнено с помощью отрезка 6272 - проекции окружности на поверхности тора. Вспомогательная сфера для построения проекции c2 - сфера радиусa R2 с центром, проекция которого О2. Конус эта сфера пересекает по окружности с проекцией 8292. В пересечении проекций 6272 и 8292 окружностей находим проекцию c2 искомой точки и симметричной ей на невидимой части пересекающихся поверхностей.

Пример построения линии пересечения прямого кругового конуса и тора

Пример пересечения трех поверхностей

Скоро сессия!!!!!!!