Вычисления в MATLAB - презентация, доклад, проект скачать

Нажмите для полного просмотра!

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Вычисления в MATLAB. Доклад-сообщение содержит 66 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

ВЫЧИСЛЕНИЯ В MATLAB

Слайд 2

Описание слайда:

MATLAB обладает большим набором встроенных функций реализующих различные численные методы: нахождение корней уравнений, интегрирование, интерполирование, решение обыкновеных дифференциальных уравнений и т.д.

Слайд 3

Описание слайда:

Решение произвольных уравнений Функция x=fzero('myf', xo) позволяет вычислять приближенное значение корня x уравнения myf(x)=0, (1) с начальным приближением к корню xo. Здесь myf – имя файл - функции вычисляющей левую часть уравнения.

Слайд 4

Описание слайда:

Перед нахождением корней полезно строить график функции входящей в левую часть уравнения, используя plot, но все равно в подобных задачах удобно (нужно) создать М-файл левой части уравнений (то же касается и правых частей дифференциальных уравнений). Перед нахождением корней полезно строить график функции входящей в левую часть уравнения, используя plot, но все равно в подобных задачах удобно (нужно) создать М-файл левой части уравнений (то же касается и правых частей дифференциальных уравнений). В этом случае можно воспользоваться функцией fplot('myf', [x1,x2])

Слайд 5

Описание слайда:

Пример 1 Пример 1 Найти корни уравнения sin x-x2 cos x=0 на [-5,5]. Решение

Слайд 6

Описание слайда:

Аналогично находятся еще два корня, около -2 и 5. Увидеть, большее число значащих цифр приближенного решения можно задав значение формата, например Аналогично находятся еще два корня, около -2 и 5. Увидеть, большее число значащих цифр приближенного решения можно задав значение формата, например format long. Заметим, что точность вычисления не зависит от формата вывода результата и не меньше eps: 2.220…..E-016 или ±2*10-16.

Слайд 7

Описание слайда:

Замечание Замечание Важной особенностью fzero является то, что она вычисляет только те корни, в которых функция меняет знак, а не касается оси абсцисс. Это происходит в связи с тем, что заложен метод деления отрезка пополам. Рис.1 Метод деления отрезка пополам

Слайд 8

Описание слайда:

Например, корень уравнения х2=0 функцией fzero найти не удается. Для нахождения корня х на интервале [a, b] уравнения (1) и значения функции myf в этом корне можно использовать следующий вид функции fzero: [x, f]= fzero (' myf', [a, b])

Слайд 9

Описание слайда:

Пример 2 Пример 2 > fzero('sin', [2,4]) ans = 3.1415…

Слайд 10

Описание слайда:

Замечание Замечание 1. Если функция имеет несколько нулей, то выдается ближайший к 0; 2. На границе интервал [a,b] функция должна принимать значения разных знаков, иначе будет сообщение об ошибке NaN.

Слайд 11

Описание слайда:

Минимизация функций Для поиска локального минимума функции myf одной переменной на отрезке [a, b] используют x= fminbnd ('myf', a, b) [x, f]= fminbnd (' myf', a, b)

Слайд 12

Описание слайда:

Замечание Замечание 1) Для нахождения локального максимума нет специальной функции и поэтому следует искать минимум функции с обратным знаком (менять знак нужно в М-функции); 2) Если есть несколько локальных min, то находиться тот, который ближе к 0.

Слайд 13

Описание слайда:

Для нахождения локального минимума функции myfm многих переменных вблизи точки (х1,…,хn) используют Для нахождения локального минимума функции myfm многих переменных вблизи точки (х1,…,хn) используют M=fminsearch('myfm',[x1,x2,…,xn]); [M, f]= fminsearch('myfm',[x1,x2,…,xn]). Здесь М=[ ] – вектор-строка, а f – значение.

Слайд 14

Описание слайда:

Метод Нельдера-Мида Для нахождение минимума используют симплекс метод Нельдера-Мида. Он заключается в следующем: берутся 3 вершины вокруг начального положения, сравниваются значения и выбираются 2 те, где меньше значения функции, берутся опять 3 вершины и т.д. пока размеры симплекса не станут достаточно малыми.

Слайд 15

Описание слайда:

Замечание Замечание Для нахождения начального значения (x1,x2,…,xn), нужно получить представление о поведении функции, например, построив линии уровня на плоскости с помощью функции contour.

Слайд 16

Описание слайда:

Задание дополнительных параметров Функции fzero, fminbnd и fminsearch позволяют задать дополнительный параметр options, контролирующий вычислительный процесс: options = optimset(…, вид контроля, значение,…)

Слайд 17

Описание слайда:

Таблица 1 Значения дополнительных параметров

Слайд 18

Описание слайда:

Слайд 19

Описание слайда:

Замечание Замечание Ограничивать количество вызовов функции и число итераций имеет смысл, если есть опасение, что получить решение не удается из-за расхождения вычислительного процесса.

Слайд 20

Описание слайда:

Пример 3 Пример 3 Найти минимум функции f(x, y)= sin(πx)*sin(πy) вблизи точки [1.4, 0.6] с точностью по функции до 1.0е-09 и выводом итераций.

Слайд 21

Описание слайда:

Решение В итоге, кроме результата, выведется таблица каждая строка, которой соответствует одной итерации. В ней будет содержаться: количество вызовов функции, текущее приближение и значение функции от него, а так же метод, применяемый при данной итерации.

Слайд 22

Описание слайда:

Интегрирование функций Методы интегрирования Для вычисления определенного интеграла используются следующие функции:

Слайд 23

Описание слайда:

1. quad('fint',a,b, Точность) 1. quad('fint',a,b, Точность) Алгоритм основан на квадратурной формуле Симпсона с автоматическим подбором шага интегрирования для достижения нужной точности: , где , k = равностоящие точки на [a,b].

Слайд 24

Описание слайда:

2. quad8('fint',a,b, Точность) 2. quad8('fint',a,b, Точность) Используется для достаточно гладких функции и алгоритм основан на более точных квадратурных формулах Ньютона-Котеса. Он требует меньше вычислений с той же точностью

Слайд 25

Описание слайда:

quadl('fint',a,b, Точность) quadl('fint',a,b, Точность) Применяется для функций с интегрируемыми особенностями (например: в нуле). Алгоритм основан на квадратурных формулах Гаусса-Лобатто (Корни ортогонального многочлена Якоби). Для вычисления двойного интеграла используется функция dblquad('fint', xmin, xmax, ymin, ymax, Точность, 'Алгоритм'), где Алгоритм – это название любого из перечисленных трех алгоритмов quad, quad8, quadl.

Слайд 26

Описание слайда:

Пример 4 Пример 4 Вычислить по quad8 с точностью 10-12. Решение

Слайд 27

Описание слайда:

Вычисление интегралов зависящих от параметров Пример 5 Вычислить интеграл при значениях параметров р1=0.6, р2=0.7 по квадратурным формулам Ньютона-Котеса с автоматическим выбором шага с точностью до 10-5.

Слайд 28

Описание слайда:

Решение Решение

Слайд 29

Описание слайда:

Интегралы с переменным верхним пределом Пример 6 Вычислить интеграл с точностью 10-6.

Слайд 30

Описание слайда:

Решение Решение

Слайд 31

Описание слайда:

Численное решение дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения произвольного порядка имеет вид:

Слайд 32

Описание слайда:

Схема решения в MATLAB состоит из следующих этапов: Схема решения в MATLAB состоит из следующих этапов: 1. Приведение дифференциального уравнения к системе дифференциального уравнений первого порядка; 2. Написание специальной файл - функции для системы уравнений; 3. Вызов подходящего солвер (решателя); 4. Визуализация результата.

Слайд 33

Описание слайда:

Пример 7 Пример 7 Задача о колебаниях под воздействием внешней силы в среде, оказывающей сопротивление колебаниям: y''+2y'+10y=sin t - уравнение, описывающее движение. y(0)=1 – кордита точки в начальный момент времени. y'(0)=0 – начальная скорость. Первый этап. Для приведения задачи к системе дифференциальных уравнений вводим вспомогательные функции y1=y, y2=y'.

Слайд 34

Описание слайда:

Тогда система дифференциальных уравнений с начальными условиями принимает вид:

Слайд 35

Описание слайда:

Второй этап состоит в написании файл-функции имеющей два входных аргумента: переменную t и вектор, размер которого равен числу неизвестных функций системы. Второй этап состоит в написании файл-функции имеющей два входных аргумента: переменную t и вектор, размер которого равен числу неизвестных функций системы. Число и порядок аргументов фиксированы, даже если t явно не входит в систему. Выходным аргументом файл-функции является вектор правой части системы. Итак, function F=oscil(t,y) F=[y(2); -2*y(2)-10*y(1)+sin(t)];

Слайд 36

Описание слайда:

Третий шаг. Этот шаг состоит в решении задачи при помощи решателя или солвера (об их видах поговорим позже). Например, при помощи солвера ode45.

Слайд 37

Описание слайда:

Входными аргументами солверов являются: Входными аргументами солверов являются: Имя файл-функции в апострофах; 2. Вектор-строка с начальным и конечным значением времени наблюдения (например, [0, t0], где t0 произвольное число); 3. Вектор-столбец начальных условий (1).

Слайд 38

Описание слайда:

Выходных аргументов два: Выходных аргументов два: Вектор Т содержащий значение времени; 2. Матрица значений Y неизвестных функций в соответствующие моменты времени. В первом столбце - значения первой функции, во второй и т. д. В нашем случае: Y(:, 1) – значение функции y1, Y(:, 2) – значение функции y2. Как правило, размеры матрицы Y и вектора Т достаточно велики, поэтому лучше сразу отобразить результат на графике.

Слайд 39

$Итак, файл программа для 0≤ t≤ 15 имеет вид. Итак, файл программа для 0≤ t≤ 15 имеет вид. Y0= [1; 0]; [T, Y]=ode45('oscil', [0 15], Y0); plot(T, Y(:, 1), 'r') - график решения hold on plot (T, Y (:, 2), 'k--') - график производной title ('Решение {\ it y}\prime\prime+2 {\it y}\ prime+10{\it y} = sin {\it y}') xlabel ('\it t') ylabel ('{\it y}, {\it y}\prime') legend('координата', 'скорость', 4) – Легенда в нижний правый угол. grid on - сетка hold off$

Описание слайда:

Итак, файл программа для 0≤ t≤ 15 имеет вид. Итак, файл программа для 0≤ t≤ 15 имеет вид. Y0= [1; 0]; [T, Y]=ode45('oscil', [0 15], Y0); plot(T, Y(:, 1), 'r') - график решения hold on plot (T, Y (:, 2), 'k--') - график производной title ('Решение {\ it y}\prime\prime+2 {\it y}\ prime+10{\it y} = sin {\it y}') xlabel ('\it t') ylabel ('{\it y}, {\it y}\prime') legend('координата', 'скорость', 4) – Легенда в нижний правый угол. grid on - сетка hold off

Слайд 40

Описание слайда:

Рис.2 Решение дифференциального уравнения

Слайд 41

Описание слайда:

Замечание Замечание Здесь использовался солвер ode45, который применяет метод Рунге-Кутта четвертого порядка. При применении солвера очень важно учитывать свойства системы дифференциальных уравнений, иначе можно получить неточный результат или затратить много времени на решение.

Слайд 42

Описание слайда:

Жесткие дифференциальные системы Решение уравнений Лотка-Вольтерра Во многих приложениях встречаются так называемые «жесткие» системы дифференциальных уравнений. Строго общепринятого определение жестокости пока не существует, и под жесткими системами обычно понимают те системы, которые плохо решаются «стандартными» численными методами. В них часто встречается существенная разница по модулю между корнями λ характеристического уравнения.

Слайд 43

Описание слайда:

Например Например , причем, λ1, λ2>0 и >>1. Число s называют коэффициентом жесткости системы. Решение имеет вид:

Слайд 44

Описание слайда:

Отметим, что жесткость – это качество дифференциальной системы, а не разностного метода (обычно нелинейные системы). Отметим, что жесткость – это качество дифференциальной системы, а не разностного метода (обычно нелинейные системы). В качестве примера жесткой системы возьмем модель Лотка-Вольтерра борьбы за существование. Обозначим y1(t) – число жертв y2(t) – число хищников

Слайд 45

Описание слайда:

Число хищников и жертв в течение времени t изменяется по закону Число хищников и жертв в течение времени t изменяется по закону (2) где P – увеличение числа жертв в отсутствие хищников R – уменьшение числа хищников в отсутствие жертв. Вероятность поедание хищником жертвы пропорциональна их числу y1y2, при этом - py1y2 – соответствует вымиранию жертв; ry1y2 – появлению хищников.

Слайд 46

Описание слайда:

Решением системы (2) является замкнутая кривая. Возьмем для примера P=3, R=2, p=r=1 y1(0)=3 – в начальный момент 3 жертвы. y2(0)=4 – в начальный момент 4 хищника. t≤100 Решая эту систему солверами ode45 и ode23s, получаем:

Слайд 47

Описание слайда:

Рис.3 Решения солверами ode45 и ode23s Рис.3 Решения солверами ode45 и ode23s

Слайд 48

Описание слайда:

Вычисление, по умолчанию, в ode45 и ode23s происходит при одной точности, а приближенные решения сильно отличаются друг от друга, причем ode23s намного точнее. Более того, для уравнения Ван-дер-Поля с большим значением параметра α: y''=α(1-y2)y'-y солвер ode45 не может найти значения (см. справку по MATLAB).

Слайд 49

Описание слайда:

Управление процессом решения Для эффективного решения дифференциальных уравнений необходимо выбрать подходящий солвер в зависимости от свойств решаемой задачи, произвести необходимые установки, обеспечивающие получение приближенного решения с требуемыми свойствами, например с заданной точностью.

Слайд 50

Описание слайда:

Стратегия применения солверов MATLAB (см. справку по MATLAB). ode45 – дает хорошие результаты и основан на методе Рунге-Кутта четвертого и пятого порядков точности;

Слайд 51

Описание слайда:

ode23 – используется в задачах содержащих небольшую жесткость, когда требуется получить решение с невысокой степенью точности. Формулы Рунге-Кутта 2 и 3 порядка точности; ode113 – эффективен для нежестких систем дифференциальных уравнений, правые части которых вычисляются по сложным формулам, и решение выдается с высокой точностью. Метод переменного порядка Адамса-Бэшфорта-Милтона.

Слайд 52

Описание слайда:

Если все попытки применения этих солверов не приводят к успеху, то возможно решаемая система является жесткой и можно применить: Если все попытки применения этих солверов не приводят к успеху, то возможно решаемая система является жесткой и можно применить: ode15s – многошаговый метод Гира, допускающий изменения порядка; ode23s – для решения жестких систем с невысокой точностью. Реализуется одношаговый метод Розенброка второго порядка.

Слайд 53

Описание слайда:

Все солверы пытаются найти решение с относительной точностью 10-3. Все солверы пытаются найти решение с относительной точностью 10-3. Для задания другой точности используются дополнительный параметр options = odeset(…, вид контроля, значение, …) Его использование аналогично использованию optimset. Полный список параметров можно найти в справочной системе MATLAB.

Слайд 54

Описание слайда:

Слайд 55

Описание слайда:

Точное решение нашей системы будет Точное решение нашей системы будет Если воспользуемся ode45, то для 10-3 получим

Слайд 56

Описание слайда:

Слайд 57

Описание слайда:

Замечание Замечание Существует отдельный пакет для уравнений в частных производных Partial Diffential Equation ToolBOX.

Слайд 58

Описание слайда:

Решение граничных задач Рассмотрим граничную задачу общего вида для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка: где - заданные числа

Слайд 59

Описание слайда:

Решение задачи состоит из следующих этапов: Решение задачи состоит из следующих этапов: 1. Преобразование дифференциального уравнения второго порядка к системе двух уравнений первого порядка; 2. Написание файл-функции для вычисления правой части системы; 3. Написание файл-функции, определяющей граничные условия; 4. Формирование начального приближения при помощи специальной функции bvpinit; 5. Вызов солвера bvp4c для решения граничной задачи; 6. Визуализация результата.

Слайд 60

Описание слайда:

Первые два этапа выполняются практически так же, как и при решении задачи Коши. Для выполнения 3-го пункта граничные условия приводим к виду:

Слайд 61

Описание слайда:

Файл-функция описывающая граничные условия должна зависеть от двух аргументов – векторов ya, yb и иметь структуру: Файл-функция описывающая граничные условия должна зависеть от двух аргументов – векторов ya, yb и иметь структуру: function g=boun (ya, yb) g= [alpha*ya (1) +beta*ya (2)-А; gamma*yb (1) +delta*yb (2)-B]; Здесь вместо alpha, beta, А, gamma, delta, В следует подставить заданные числа.

Слайд 62

Описание слайда:

Выбор начального приближения может оказать влияние на решение солвером bvp4c. MATLAB находит приближенное решение граничных задач методом конечных разностей, то есть получающиеся решение есть вектор значений неизвестных функций в точках отрезка [a,b] (в узлах сетки). Вызов bvpinit выглядит так initsol=bvpinit(вектор сетки на [a, b], вектор постоянных значений функций y1 и y2)

Слайд 63

Описание слайда:

Пример 8 Пусть [a, b]= [0, 2*pi] и начальное приближение y1=1, y2=0, тогда initsol=bvpinit ([0: pi/10:2*pi], [1 0]);

Слайд 64

Описание слайда:

Замечание Заданная сетка может быть изменена солвером в процессе решения, для обеспечения требуемой точности.

Слайд 65

Описание слайда:

Следующим этапом мы должны вызвать солвер: sol=bvp4c('Функция правой части', 'bound', initsol); где структура sol имеет поля x, y, причем sol.x – координаты сетки полученной и возможно исправленной; sol.y(1, :) – соответствует значениям функции y1 в точках сетки sol.x; sol.y(2, :) – соответствует значениям функции y2 в точках сетки sol.x;