🗊Презентация Расчет надежности систем с восстановлением

НЭКИС РАСЧЕТ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ С ВОССТАНОВЛЕНИЕМ

Восстановление – процесс перевода объекта в работоспособное состояние из неработоспособного состояния. Восстановление – процесс перевода объекта в работоспособное состояние из неработоспособного состояния. Восстанавливаемый объект – объект, для которого в рассматриваемой ситуации проведение восстановления работоспособного состояния предусмотрено в нормативно – технической и (или) конструкторской (проектной) документации. Применительно к ИС это могут быть дисплей, блоки питания, множительная техника и т.д.. Невосстанавливаемый объект – объект, для которого в рассматриваемой ситуации проведение восстановления работоспособного состояния не предусмотрено в нормативно – технической и (или) конструкторской (проектной) документации. Применительно к ИС это могут быть все микросхемы, материнские платы, сетевые карты, видеоадаптеры, накопители на жестких дисках и т.д.

Показатели надежности восстанавливаемых объектов Средняя наработка на отказ объекта (наработка на отказ) определяется: где наработка между -м отказами, суммарное число отказов за время .

Время восстановления. Пояснение. Время восстановления – это время, затраченное на обнаружение, поиск причины отказа и устранения последствий отказа. Опыт показывает, что в сложных системах поиск отказавшего элемента 70-90% времени восстановления приходится на поиск отказавшего элемента.

Среднее время восстановления - это математическое ожидание времени восстановления работоспособного состояния объекта после отказа: где - число восстановлений, равное числу отказов; -время, затраченное на восстановление (обнаружение, поиск причины и устранение отказа), в часах.

В случае, если интенсивность восстановлений постоянна, то есть , вероятность восстановления за заданное время подчиняется экспоненциальному закону. Используя свойство этого распределения можно записать: Для восстанавливаемого объекта вводится характеристика надежности–коэффициент готовности:

Если известно время жизни, то Если известно время жизни, то - среднее время между отказами (математическое ожидание) и среднее время восстановления. Для показательного распределения времен отказов и восстановлений можно записать: где ,  - интенсивности отказов и восстановлений.

Коэффициент оперативной готовности где - коэффициент готовности; вероятность безотказной работы объекта в течение времени, необходимого для безотказного использования по назначению.

Марковский случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем Сложные, в большинстве случаев, ИС являются восстанавливаемыми системами. Для математического описания процессов функционирования ИС с точки зрения надежности, развивающихся в форме случайного процесса, может быть с успехом применен математический аппарат, разработанный в теории вероятностей для так называемых марковских случайных процессов. Поясним понятие марковского случайного процесса.

Пусть имеется некоторая физическая система S, состояние которой меняется с течением времени (под системой можно понимать что угодно: АСУ, АСУ ТП и т. д.). Например, отказ любого элемента ИС может произойти в любой момент времени; окончание ремонта (восстановление) этого элемента также может произойти в любой момент времени.

Пример 1 Пример 1. Технический агрегат (рис. 1) рассматривается как система S, за срок эксплуатации может находиться в следующих состояниях: S1 - работоспособен; S2 – состояние отказа, ожидание обслуживания; S3 – поиск неисправности, S4 – ремонт; S5 – списывается, заменяется новым.

Пример 2. Система S состоит из двух узлов (рис. 2), каждое из которых может в процессе работы отказать. Отказавший узел немедленно начинает ремонтироваться. Тогда состояния системы можно определить следующим образом: S1 – оба узла работоспособны; S2 - первый узел отказал и немедленно начинает ремонтироваться, второй работоспособен; S3 - второй узел отказал и немедленно начинает ремонтироваться, первый работоспособен; S4 – оба узла ремонтируются. Пример 2. Система S состоит из двух узлов (рис. 2), каждое из которых может в процессе работы отказать. Отказавший узел немедленно начинает ремонтироваться. Тогда состояния системы можно определить следующим образом: S1 – оба узла работоспособны; S2 - первый узел отказал и немедленно начинает ремонтироваться, второй работоспособен; S3 - второй узел отказал и немедленно начинает ремонтироваться, первый работоспособен; S4 – оба узла ремонтируются.

Для описания таких процессов в ряде случаев может быть с успехом применена схема марковского процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем, который мы будем для краткости называть непрерывной цепью Маркова. Случайный процесс, протекающий в системе S, называется марковским процессом, если он обладает следующим свойством: для каждого момента времени вероятность любого состояния системы в будущем зависит только от ее состояния в настоящем и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в это состояние (т.е. как развивался процесс в прошлом). Ясно, что в примере 1 и 2 в первом приближении характеристики работы системы в будущем (частота отказов, потребность в ремонте) зависят от состояния устройства в настоящий момент и не зависят от того, когда и как устройство достигло своего настоящего состояния. Для описания таких процессов в ряде случаев может быть с успехом применена схема марковского процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем, который мы будем для краткости называть непрерывной цепью Маркова. Случайный процесс, протекающий в системе S, называется марковским процессом, если он обладает следующим свойством: для каждого момента времени вероятность любого состояния системы в будущем зависит только от ее состояния в настоящем и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в это состояние (т.е. как развивался процесс в прошлом). Ясно, что в примере 1 и 2 в первом приближении характеристики работы системы в будущем (частота отказов, потребность в ремонте) зависят от состояния устройства в настоящий момент и не зависят от того, когда и как устройство достигло своего настоящего состояния.

Пусть система S в процессе эксплуатации может находиться в состояниях S1, S2, …, Sn. Переход системы S из состояния в состояние может осуществляться в любой момент времени.

Обозначим Pi (t) - вероятность того, что в момент времени t система будет находиться в состоянии Si (i=1, . . .,n). Очевидно, для любого момента t сумма вероятностей состояний равна единице: Обозначим Pi (t) - вероятность того, что в момент времени t система будет находиться в состоянии Si (i=1, . . .,n). Очевидно, для любого момента t сумма вероятностей состояний равна единице: так как события, состоящие в том, что в момент t система находится в состояниях S1,S2,..,Sn, несовместны и образуют полную группу.

Поставим задачу – определить для любого t вероятности состояний:

Для того, чтобы найти эти вероятности, необходимо знать характеристики процесса. В случае процесса с непрерывным временем нам не придется задавать определенные, отличные от нуля, переходные вероятности ; вероятность перехода системы из состояния в состояние в точно в момент времени будет равна нулю (т. к. вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины). Для того, чтобы найти эти вероятности, необходимо знать характеристики процесса. В случае процесса с непрерывным временем нам не придется задавать определенные, отличные от нуля, переходные вероятности ; вероятность перехода системы из состояния в состояние в точно в момент времени будет равна нулю (т. к. вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины).

Пусть система S в момент времени находится в состоянии Si . Рассмотрим элементарный промежуток времени  t , примыкающий к моменту: 0 t t + t

Назовем плотностью вероятности перехода предел отношения вероятности перехода системы за время t из состояния Si в состояние Sj к длине промежутка t: Назовем плотностью вероятности перехода предел отношения вероятности перехода системы за время t из состояния Si в состояние Sj к длине промежутка t: где – вероятность того, что система, находившаяся в момент в состоянии Si за время перейдет из него в состояние Sj (плотность вероятностей перехода определяется только для j  i).

Из формулы следует, что при малом t вероятность перехода равна с (точностью до бесконечно малых высшего порядков) равна :

Если все плотности вероятностей перехода не зависят от (т. е. от того, в какой момент начинается элементарный участок ), марковский процесс называют однородным; если эти плотности представляют собой какие-то функции времени , процесс называется неоднородным. При пользовании сокращенным названием «непрерывная марковская цепь» мы также будем различать однородные и неоднородные цепи. Если все плотности вероятностей перехода не зависят от (т. е. от того, в какой момент начинается элементарный участок ), марковский процесс называют однородным; если эти плотности представляют собой какие-то функции времени , процесс называется неоднородным. При пользовании сокращенным названием «непрерывная марковская цепь» мы также будем различать однородные и неоднородные цепи.

Предположим, что нам известны плотности вероятностей перехода для всех пар состояний Si , Sj . Такой граф, с проставленными у стрелок плотностями вероятностей перехода, мы будем называть размеченным графом состояний. Предположим, что нам известны плотности вероятностей перехода для всех пар состояний Si , Sj . Такой граф, с проставленными у стрелок плотностями вероятностей перехода, мы будем называть размеченным графом состояний. Оказывается, зная размеченный граф состояний, можно определить вероятности состояний: А именно, эти вероятности удовлетворяют определенного вида дифференциальным уравнениям, так называемым уравнениям Колмогорова

Поставим себе задачу: найти одну из вероятностей состояний, например, . Это есть вероятность того, что в момент времени t система будет находиться в состоянии S1. Придадим малое приращение и найдем вероятность того, что в момент система будет находиться в состоянии S1.

Вероятность первого варианта найдем как произведение вероятности того, что в момент система была в состоянии S1, на условную вероятность того, что будучи в состоянии S1, система не перейдет из него в S2. Эта условная вероятность (с точностью до малых высшего порядков) равна Вероятность первого варианта найдем как произведение вероятности того, что в момент система была в состоянии S1, на условную вероятность того, что будучи в состоянии S1, система не перейдет из него в S2. Эта условная вероятность (с точностью до малых высшего порядков) равна

Аналогично, вероятность второго варианта равна вероятности того, что в момент система была в состоянии S3, умноженной на условную вероятность перехода за время в состояние S1:

Применяя правило сложения вероятностей, получим: Применяя правило сложения вероятностей, получим: Раскроем скобки в правой части, перенесем в левую часть и разделим обе части равенства на ; получим:

Теперь устремим к нулю и перейдем к пределу: Левая часть не что иное, как производная функции

Эти уравнения для вероятностей состояний и называются уравнениями Колмогорова. Интегрирование этой системы уравнений даст нам искомые вероятности состояний как функции времени. Начальные условия берутся в зависимости от того, каково было начальное состояние S. Например, если в начальный момент времени ( ) система S находилась в состоянии S1, то надо принять начальные условия: Эти уравнения для вероятностей состояний и называются уравнениями Колмогорова. Интегрирование этой системы уравнений даст нам искомые вероятности состояний как функции времени. Начальные условия берутся в зависимости от того, каково было начальное состояние S. Например, если в начальный момент времени ( ) система S находилась в состоянии S1, то надо принять начальные условия:

Заметим, что всех четырех уравнений для Заметим, что всех четырех уравнений для можно было бы и не писать; действительно для всех , и любую из вероятностей можно выразить через три остальные. Например, можно выразить через остальные в виде

Правило записи уравнений Колмогорова В левой части каждого уравнения стоит производная вероятности состояния, а правая часть содержит столько членов, сколько стрелок связано с данным состоянием. Если стрелка направлена из состояния, соответствующий член имеет знак «минус»; если в состояние – знак «плюс». Каждый член равен произведению плотности вероятности перехода, соответствующей данной стрелке, умноженной на вероятность того состояния, из которого исходит стрелка.

 

НЭКИС РАСЧЕТ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ С ВОССТАНОВЛЕНИЕМ. МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ.

Некоторые цепи Маркова, удовлетворяющие определенным условиям имеют предельные вероятности равные константам. Пусть некая ИС с дискретными состояниями: S1 , S2 , . . ., Sn, в которой протекает марковский случайный процесс с непрерывным временем (непрерывная цепь Маркова). Предположим, что все интенсивности потоков событий, переводящих систему из состояние, постоянны: другими словами, все потоки событий – простейшие (стационарные пуассоновские) потоки.

Записав систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний и проинтегрировав эти уравнения при заданных начальных условиях, мы получим вероятности состояний, как функции времени, т.е. n функций: p1(t), p2(t), . . ., pn(t) при любых t дающих в сумме единицу: .

Поставим теперь следующий вопрос: что будет происходить с системой S при t  ? Будут ли функции p1(t), p2(t), . . ., pn(t) стремиться к каким-то пределам? Эти пределы, если они существуют, называются предельными вероятностями состояний. Можно доказать следующее общее положение. Если число состояний системы S конечно и из каждого состояния можно перейти (за то или иное число шагов) в каждое другое, то предельные вероятности состояний существуют и не зависят от начального состояния системы.

Графы, где есть предельные вероятности

Графы, где нет предельных вероятностей

Предположим, что поставленное условие выполнено, и предельные вероятности существуют:

Предельные вероятности мы будем обозначать теми же буквами p1, p2, . . ., pn , что и сами вероятности состояний, понимая под ними на этот раз не переменные величины (функции времени), а постоянные числа. Очевидно, предельные вероятности состояний, так же как и допредельные, в сумме должны давать единицу:

Таким образом, при t   в системе S устанавливается некоторый предельный стационарный режим: он состоит в том, что система случайным образом меняет свои состояния, но вероятность каждого из них уже не зависит от времени: каждое из состояний осуществляется с некоторой постоянной вероятностью.

Например, если у системы S состояния: S1, S2, S3, причем их предельные вероятности равны 0.2, 0.3 и 0.5 это означает, что после перехода к установившемуся режиму система S в среднем две десятых времени будет находиться в состоянии S1, три десятых – в состоянии S2, и половину времени – в состоянии S3. Например, если у системы S состояния: S1, S2, S3, причем их предельные вероятности равны 0.2, 0.3 и 0.5 это означает, что после перехода к установившемуся режиму система S в среднем две десятых времени будет находиться в состоянии S1, три десятых – в состоянии S2, и половину времени – в состоянии S3. Например, если вероятность отказа системы равна Рп=0.00001, то простой системы за 4 года составит: Тп = 4*365*24*Рп = 0.3504 (ч.) Для вычисления предельных вероятностей состояний p1, p2, . . ., pn в системе уравнений Колмогорова, описывающих вероятности состояний, нужно положить все левые части (производные) равными нулю и решить систему линейных уравнений.

Пример 1

Продолжение примера 1 Нормализация уравнений: P=A-1 *B

Пример 1. Матрица А

Пример 1. Матрица B

Для решения системы линейных уравнений, с использованием пакета Mathcad, применяется запись:

Пример 2

Процесс «гибели и размножения» Рассмотрим пример. Пусть система управления предприятия на верхнем уровне управления включает три одинаковых сервера, каждый из которых может отказывать; отказавший сервер немедленно начинает восстанавливаться. Обозначим соcтояния системы

Обозначим соcтояния системы S1 - все три сервера работоспособны; S2 - один сервер отказал (восстанавливается), два исправны; S3 - два сервера восстанавливаются, один исправен; S4 - все три сервера восстанавливаются.

Марковская непрерывная цепь называется «процессом гибели и размножения», если ее граф состояний имеет вид, представленный на рисунке, т.е. все состояния можно вытянуть в одну цепочку, в которой каждое из средних состояний (S2, . . . , Sn-1) связано прямой и обратной связью с каждым из соседних состояний, а крайние состояния (S1, . . . ,Sn) – только с одним соседним состоянием.

Итак, рассмотрим случайный процесс «гибели и размножения» с графом состояний, представленным на рис

Напишем уравнения для предельных вероятностей состояний. Для первого состояния S1 имеем: Отсюда следует

Для второго состояния S2 можем записать: Но, в силу , можно сократить справа и слева равные друг другу члены и ; получим: и далее, совершенно аналогично,

Одним словом, для схемы “гибели и размножения” члены, соответствующие стоящим друг над другом стрелкам, равны между собой: Одним словом, для схемы “гибели и размножения” члены, соответствующие стоящим друг над другом стрелкам, равны между собой: где k принимает все значения от 2 до n.

Итак, предельные вероятности состояний Итак, предельные вероятности состояний в любой схеме “гибели и размножения” удовлетворяют уравнениям: . . . . и нормировочному условию:

Будем решать эту систему следующим образом: из первого уравнения выразим P2: Будем решать эту систему следующим образом: из первого уравнения выразим P2: Эта формула справедлива для любого k от 2 до n.

Обратим внимание на ее структуру. В числителе стоит произведение всех плотностей вероятности перехода (интенсивностей) , стоящих у стрелок, направленных слева направо, с начала и вплоть до той, которая идет в состояние Sk ; в знаменателе – произведение всех интенсивностей , стоящих у стрелок, идущих справа налево, опять – таки, с начала и вплоть до стрелки, исходящей из состояния Sk . При k = n в числителе будет стоять произведение интенсивностей , стоящих у всех стрелок, идущих слева направо, а в знаменателе – у всех стрелок, идущих справа налево.

Подставим эти выражения в нормировочное условие: P1 + P2 +P3 + … + Pn = 1. Получим: откуда

Остальные вероятности выражаются через P1: . . . . . Таким образом, задача «гибели и размножения» решена в общем виде: найдены предельные вероятности состояний.

Пример Пример. Рассмотрим пример, приведенный в самом начале данного раздела. Система управления включает три одинаковых сервера; поток отказов – простейший, среднее время безотказной работы каждого сервера равна T0. Отказавший сервер сразу начинает восстанавливаться; среднее время ремонта (восстановления) узла равно Тв; закон распределения этого времени, т.е поток восстановлений – простейший. Система работоспособна, если работоспособны два любых сервера из трех. Рассчитать простой системы из–за отказов серверов за 4 года непрерывной и круглосуточной эксплуатации.

Решение. Состояние системы нумеруем: S1 - все три сервера работоспособны; S2 - один сервер отказал (восстанавливается), два исправны; S3 - два сервера восстанавливаются, один исправен; S4 - все три сервера восстанавливаются. Решение. Состояние системы нумеруем: S1 - все три сервера работоспособны; S2 - один сервер отказал (восстанавливается), два исправны; S3 - два сервера восстанавливаются, один исправен; S4 - все три сервера восстанавливаются.

Если система находится в состоянии S1, то работоспособны все три сервера; каждый из них подвергается потоку отказов с интенсивностью 1/T0. Следовательно, поток отказов, действующий на систему, в три раза более интенсивен: 12=3/T0. Соответственно, если система находится в состоянии S2, то работоспособны два сервера из трех. Значит, действующий на систему из двух серверов поток отказов имеет интенсивность: 23 = 2/T0. Аналогично 34 = 1/T0. Если система находится в состоянии S1, то работоспособны все три сервера; каждый из них подвергается потоку отказов с интенсивностью 1/T0. Следовательно, поток отказов, действующий на систему, в три раза более интенсивен: 12=3/T0. Соответственно, если система находится в состоянии S2, то работоспособны два сервера из трех. Значит, действующий на систему из двух серверов поток отказов имеет интенсивность: 23 = 2/T0. Аналогично 34 = 1/T0.

По стрелкам влево система переходит после восстановления работоспособности отказавшего сервера. Среднее время восстановления сервера Tв, следовательно интенсивность потока восстановлений, действующего на один восстанавливаемый сервер, равна =1/Tв (21 =1/Tв), на два восстанавливаемых сервера -  = 2/Tв (32 = 2/Tв), на три -  = 3/Tв (43 = 3/Tв). По стрелкам влево система переходит после восстановления работоспособности отказавшего сервера. Среднее время восстановления сервера Tв, следовательно интенсивность потока восстановлений, действующего на один восстанавливаемый сервер, равна =1/Tв (21 =1/Tв), на два восстанавливаемых сервера -  = 2/Tв (32 = 2/Tв), на три -  = 3/Tв (43 = 3/Tв).

Пользуясь полученными выше общим решением задачи гибели и размножения, имеем: Пользуясь полученными выше общим решением задачи гибели и размножения, имеем: 1 P1 = ------------------------------------------- ; 1 + 3(Tв /T0) + 3(Tв /T0)2 + (Tв /T0)3 P2 = 3(Tв /T0 ) P0 ; P3 = 3(Tв /T0 )2 P0 ; P4 = 3(Tв /T0 )3 P0 .

Найденные предельные вероятности представляют собой среднее относительное время пребывания системы в данном состоянии. Вероятность отказа системы определяется суммой P3 + P4 (простой системы, если отказали 2 или 3 сервера). Среднее время пребывания системы в неработоспособном состоянии Tн за время T можно рассчитать: Tн = T ( P3 + P4 )

Зададимся конкретными значениями: T0 - 40000 ч.. Отказавший сервер направляется немедленно направляется в фирменный сервисный центр (фирменные сервера Compaq, Intel оснащаются, как правило своими фирменными комплектующими). Пусть среднее время восстановление сервера составляет Tв – 48 ч. Подставляем заданные значения в полученные выше формулы: P1 = 0.996408623

P2 = 0,003587071 P3 = 1,43483E-06 P4 = 1,72179E-09 T = (4 года)*(365 дней)*(24 часа) = 35040 ч. Tн = T*( P3 + P4 ) = 9 (минут). Таким образом, за 4 года непрерывной эксплуатации системы простой из–за отказа двух и более серверов составит не более 9 минут. По зарубежным источникам, допустимое время простоя ответственных ИС (систем связи, банковских систем и т.д.) не должно превышать в год 5 минут (вероятность безотказной работы 0.99999) .

Конец

λ 1 λ 2, λ 3, λ 4, a λ 5 λ 1 λ 2, λ 3, λ 4, a λ 5 λ7 , λ8 , λ9

Задача. Наработка до отказа измерительного комплекса подчинена экспоненциальному закону с интенсивностью отказов λ = 1,5*10-4 ч-1, среднее время восстановления составляет 1,5 ч. Процесс измерений составляет 2,5 ч. Определить количественные характеристики надежности устройства P(t), Кг, Ког, T0 в течение года. Решение. 1. По формуле P ( t ) = exp (-λ t ) определяем Р(365*24) = EXP(-λ*365*24)=0,877. 2. Т0 = 1/ λ = 1/(1,5 *10 -5) = 6667 ч. 3. Кг = µ/(µ + λ)=(1/Тв)/(1/Тв + λ )=0,9998. 4. Ког = Кг * P(2,5)=0,9994.