🗊Презентация Мультимедийное пособие «Функция»

Муниципальное общеобразовательное учреждение – Лицей НГТУ МУЛЬТИМЕДИЙНОЕ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО ТЕМЕ «ФУНКЦИЯ» Новосибирск, 2008-09гг.

Пояснительная записка

Рецензия на «Мультимедийное пособие «Функция», разработанное учителем математики высшей квалификационной категории Кравец Ольгой Михайловной Мультимедийное пособие «Функция» является результатом обобщения многолетнего опыта работы учителя в 10-11-х классах средней школы, в том числе шестнадцати лет работы в профильных классах Аэрокосмического лицея и Лицея НГТУ. В ходе реализации метода проектов при изучении элективного курса «Компьютерный практикум по математике» лицеистами группы Л10-2 Лицея НГТУ в 2008-09 учебном году разработана компьютерная поддержка лекционного курса. В работе предложен лекционный материал, сопровождающийся большим количеством примеров и материалом для первичного закрепления, оставляя за кадром практическую часть, которую каждый учитель сформирует в зависимости от уровня подготовленности его класса. Названия тем в оглавлении работают как гиперссылки. Часть презентаций содержит анимацию, позволяющую наглядно представить и глубже усвоить материал по темам «Преобразования графиков», «Графики тригонометрических функций», «Обратная функция», «Функции, обратные тригонометрическим». Лекция «Определение и основные свойства функций» теоретически очень насыщена, поэтому она содержит собственное оглавление, отражающее ее структуру. Для первичного закрепления в нее встроены четыре обучающие работы, три из которых (определение функции, четность, монотонность) проводятся на общих чертежах, Самостоятельная работа «Экстремумы» содержит анимацию, позволяющую проработать определение точки экстремума. После выполнения каждой обучающей работы можно вернуться к тексту лекции.

Содержание

Содержание

ФУНКЦИЯ. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПОНЯТИЯ

I.Основные определения

I.Основные определения Функцией называется такая зависимость переменной Y от переменной X, при которой каждому значению переменной X соответствует единственное значениеY. X-независимая переменная(аргумент) Y-зависимая переменная Значения зависимой переменой называют значениями функции

I.Основные определения Нулями функции называют значения независимой переменной, при которых значение функции равно нулю. Областью определения функции называют множество всех значений независимой переменной Множество всех значений зависимой переменной, которые она принимает при изменении X на область определения называют областью значения функции

I.Основные определения Прямая называется асимптотой графика функции, если расстояние между произвольной точкой М этой прямой и графиком функции стремится к 0 при неограниченном удалении от точки М.

II. Свойства функции

II. Свойства функции 1.Четность и нечетность Функция y=f(x) называется четной, если выполняются два условия: а) D(f)-симметрична относительно 0 б) Для всех X, принадлежащих области определения функции верно равенство f(-x)=f(x)

II. Свойства функции 1.Четность и нечетность Функция y=f(x) называется нечетной, если выполняются два условия: а)D(f)-симметрична относительно 0 б)Для всех Х, принадлежащих области определения функции верно равенство f(-x)=-f(x) График нечетной функции симметричен относительно начала координат

Укажите какие функции: 1) четные 2) нечетные 3) общего вида

Функция y=f(x) называется возрастающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции, т.е. если для любых х1 и х2 из этого промежутка, таких что х1<х2 выполняется неравенство f(х2)>f(х1) Функция y=f(x) называется возрастающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции, т.е. если для любых х1 и х2 из этого промежутка, таких что х1<х2 выполняется неравенство f(х2)>f(х1) Функция называется возрастающей, если она возрастает во всей области определения Функция y=f(x) называется убывающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции, т.е. если для любых х1 и х2 из этого промежутка, таких что х2>х1 выполняется неравенство f(х2)<f(х1) Функция называется убывающей, если она убывает во всей области определения

Укажите какие функции: 1) убывают на некотором промежутке и возрастают на некотором промежутке 2) возрастающие 3) убывающие

Чтобы исследовать поведение функции вблизи некоторой точки нужно ввести понятие окрестности. Чтобы исследовать поведение функции вблизи некоторой точки нужно ввести понятие окрестности. Окрестностью точки А называется любой интервал, содержащий точку А. Примеры:

Рассмотрим поведение функции в окрестностях точек А, В, С, D: Рассмотрим поведение функции в окрестностях точек А, В, С, D: Слева от точек А и С находится участок возрастания, а справа убывания XA, ХC – точки максимума YA, YC – максимумы Слева от точек B и D находится участок убывания, а справа возрастания XB, XD – точки минимума YB, YD - минимумы

Точка Х0 называется точкой максимума функции f, если для любого Х из некоторой окрестности точки Х0 выполняется условие f(x)≤f(x0) Точка Х0 называется точкой максимума функции f, если для любого Х из некоторой окрестности точки Х0 выполняется условие f(x)≤f(x0) Значение функции в точке максимума называется максимумом функции Точка Х0 называется точкой минимума функции f, если для любого Х из некоторой окрестности точки Х0 выполняется условие f(x)≥f(x0) Значение функции в точке минимума называется минимумом функции Точки минимума и максимума называются точками экстремума, минимумы и максимумы функции - экстремумы

Функция f называется периодической, если выполняются условия: Функция f называется периодической, если выполняются условия: 1) (х±Т)єD(f) 2) Для всех Х, принадлежащих области определения верно равенство f(x+T)=f(x-T)=f(x)

Для построения графика периодичной функции с периодом Т достаточно провести построение на отрезке длины Т, а затем полученный график перенести параллельно на расстояние nТ влево и вправо вдоль Ох (nєN) Для построения графика периодичной функции с периодом Т достаточно провести построение на отрезке длины Т, а затем полученный график перенести параллельно на расстояние nТ влево и вправо вдоль Ох (nєN)

Свойства периодов Свойства периодов 1)Если Т – период функции f, то –Т тоже период 2)Если Т1 и Т2 – периоды функции f, то Т1+ Т2 – тоже период 3)Если Т – период функции f, то nT (nєZ, n≠0) – тоже период 4)Если Т – период функций f и g, то функции f+g, f·g, f:g имеют тот же период 5)Если Т1 – период функции f, Т2 – период функции g, то НОК (Т1 и Т2 ) – период функций f+g, f·g, f:g 6)Если Тосн. – наименьший положительный период функции f, то период функции y=f(kx) равен Тосн/|k|

III.Схема исследования функции

1)Область определения 1)Область определения 2)Область значения 3)Четность, нечетность 4)Периодичность 5)Нули функции 6)Точки пересечения с Oy 7)Точки экстремума 8)Асимптоты 9)Наибольшее и наименьшее значение

IV. График функции с ограниченной областью определения

1)Найти область определения 1)Найти область определения 2)Упростить выражение 3)Записать функцию вместе с областью определения Пример: y=6-x-x2/x-2 ОДЗ: X≠2 6-x-x2/x-2=-(x+3)(x-3)/x-2=-x-3 y=-x-3; x≠2

V. Преобразования графиков

y=f(-x) y=f(-x) с осью Oy

y=f(x+a)+c – параллельный перенос на вектор k с координатами{-a;с} y=f(x+a)+c – параллельный перенос на вектор k с координатами{-a;с} а)Провести дополнительные оси так, чтобы О→(-а;с) b) «Привязать» к ним исходный график c)Если у функции есть асимптоты, то сначала переносят асимптоты

y=kf(x) y=kf(x) вдоль Оy (фиксировать нули) k>1 – растяжение 0<k<1 – сжатие y=2f(x)

VI.Построение графиков функций, содержащих модуль

y=|f(x)| - неотрицательная y=|f(x)| - неотрицательная 1)Часть выше Ох обвести (сохранить) 2)Часть ниже Ох отобразить симметрично Ох

y=x|x-2| y=x|x-2|

y=|x+2|+|X-3|+|X-1| y=|x+2|+|X-3|+|X-1| Нули подмодульных выражений: -2, 1, 3

I. Линейная функция

Общий вид линейной функции y=k x + b K-tg угла наклона. (0;b) – пересечение с осью ОY

Условие параллельности прямых Y1= k1x+b1, Y2= k2x+b2, Y1|| Y2 , если k1= k2

Условия перпендикулярности прямых Y1= k1x+b1,Y2= k2x+b2, Y1 Y2 , если k1х k2 = -1

II. Функции вида y=x2 и y=x3

III. Показательная и Логарифмическая функция

y = ax y = ax a > 1 Свойства: D(y) ( -∞; ∞); E(y) ( 0; ∞); Возрастающая; Асимптота y = 0;

y = ax y = ax 0 < a < 1 Свойства: D(y) ( -∞; ∞); E(y) ( 0; ∞); Убывающая; Асимптота y = 0;

Логарифмическая функция, ее свойства и график y = logах a >1 Свойства: D(y) (0; ∞); E(y) (-∞; ∞); Возрастающая; Асимптота x = 0;

y = logах y = logах 0 < a <1 Свойства: D(y) (0; ∞); E(y) (-∞; ∞); Убывающая; Асимптота x = 0;

ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ ФУНКЦИИ. ГРАФИКИ . СВОЙСТВА.

Графики основных тригонометрических функции

Симметрия

Параллельный перенос y=sin(x + π/6) + 1

Растяжение и сжатие y=2sin3x

Преобразования с модулем вида y=|f(x)| y=|f(x)| - неотрицательная функция y=|sin(x)|

Преобразования с модулем вида y=f(|x|) y=f(|x|) - четная y=sin(|x|)

Преобразования с модулем вида |y|=f(x) |y|=f(x) – не функция |y|=sin(x)

Комплексные преобразования

Комплексные преобразования

Комплексные преобразования

ФУНКЦИИ ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМ. ГРАФИКИ. СВОЙСТВА.

Функции y=sinx и y=arcsinx

Функции y=cosx и y=arccosx

Функции y=tgx и y=arctgx

Функции y=ctgx и y=arcсtgx

СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ С ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ ГРАФИКИ. СВОЙСТВА.

Степенная функция с действительным показателем

n=0 y=1; D(y)=(-; 0) (0; +) E(y)=1;

n>0, натуральное n – четное (n=2, y=x2) D(y)=R E(y)=[0; +)

n<0, целое n – четное (n=-2, y= ) D(y)=(-; 0) (0; +) E(y)=(0; +)

n – не целое число Свойства n>1; (n= ; 7) D(y)=[0; +) E(y)= [0; +)

Сравнение графиков степенной функции и функции y= n – четное

Сравнение графиков степенной функции

Содержание разработано с использованием литературы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ