🗊Презентация Классификация функций. Предел функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. (Лекция 3)

Лекция 3. Общие понятия и определения. Классификация функций. Предел функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Основные теоремы о бесконечно малых функциях. Лекция 3. Общие понятия и определения. Классификация функций. Предел функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Основные теоремы о бесконечно малых функциях. Функция При решении различных задач обычно приходится иметь дело с постоянными и переменными величинами. Определение Постоянной величиной называется величина, сохраняющая одно и тоже значение или вообще или в данном процессе: в последнем случае она называется параметром. Переменной величиной называется величина, которая может принимать различные числовые значения. Понятие функции При изучении различных явлений обычно имеем дело с совокупностью переменных величин, которые связаны между собой так, что значения одних величин (независимые переменные) полностью определяют значения других (зависимые переменные и функции). Определение Переменная величина y называется функцией (однозначной) от переменной величины x, если они связаны между собой так, что каждому рассматриваемому значению x соответствует единственное вполне определенное значение величины y (сформулировал Н.И.Лобачевский). Обозначение y=f(x) (1) x – независимая переменная или аргумент; y – зависимая переменная (функция); f – характеристика функции.

Совокупность всех значений независимой переменной, для которых функция определена, называется областью определения или областью существования этой функции. Областью определения функции может быть: отрезок, полуинтервал, интервал, вся числовая ось. Совокупность всех значений независимой переменной, для которых функция определена, называется областью определения или областью существования этой функции. Областью определения функции может быть: отрезок, полуинтервал, интервал, вся числовая ось. Примеры: 1. Формула площади круга Каждому значению радиуса соответствует значение площади круга. Площадь – функция от радиуса, определенная в бесконечном интервале 2. Функция (2). Функция определена при Для наглядного представления поведения функции строят график функции. Определение Графиком функции y=f(x) называется множество точек M(x,y) плоскости OXY, координаты которых связаны данной функциональной зависимостью. Или график функции – это линия, уравнением которой служит равенство, определяющее функцию. Например, график функции (2) – полуокружность радиуса 2 с центром в начале координат.

Простейшие функциональные зависимости Простейшие функциональные зависимости Рассмотрим несколько простейших функциональных зависимостей 1. Прямая функциональная зависимость Определение Две переменные величины называются прямо пропорциональными, если при изменении одной из них в некотором отношении, другая изменяется в том же соотношении. y=kx, где k – коэффициент пропорциональности. График функции

2. Линейная зависимость 2. Линейная зависимость Определение Две переменные величины связаны линейной зависимостью, если , где - некоторые постоянные величины. График функции

3. Обратная пропорциональная зависимость 3. Обратная пропорциональная зависимость Определение Две переменные величины называются обратно пропорциональными, если при изменении одной из них в некотором отношении, другая изменяется в обратном отношении.

4. Квадратичная зависимость 4. Квадратичная зависимость Квадратичная зависимость в простейшем случае имеет вид , где k – некоторая постоянная величина. График функции – парабола. 5. Синусоидальная зависимость. При изучении периодических явлений важную роль играет синусоидальная зависимость - функция называется гармоникой. A – амплитуда; - частота; - начальная фаза.

Функция периодическая с периодом . Значения функции в точках x и x+T, отличающихся на период, одинаковы. Функцию можно привести к виду , где . Отсюда получаем, что графиком гармоники является деформированная синусоида с амплитудой A периодом T, сдвинутая по оси ОХ на величину

Способы задания функции Способы задания функции Обычно рассматривают три способа задания функции: аналитический, табличный, графический. 1. Аналитический способ задания функции Если функция выражена при помощи формулы, то она задана аналитически. Например Если функция y=f(x) задана формулой, то ее характеристика f обозначает ту совокупность действий, которую нужно в определенном порядке произвести над значением аргумента x, чтобы получить соответствующее значение функции. Пример . Выполняется три действия над значением аргумента. 2. Табличный способ задания функции Этот способ устанавливает соответствие между переменными с помощью таблицы. Зная аналитическое выражение функции, можно представить эту функцию для интересующих нас значений аргумента при помощи таблицы. Можно ли от табличного задания функции перейти к аналитическому выражению? Заметим, что таблица дает не все значения функции, причем промежуточные значения функции могут быть найдены лишь приближенно. Это, так называемое интерполирование функции. Поэтому, в общем случае найти точное аналитическое выражение функции по табличным данным нельзя. Однако всегда можно построить формулу, и при том не одну, которая для значений аргумента, имеющихся в таблице, будет давать соответствующие табличные значения функции. Такого рода формула называется интерполяционной. 3. Графический способ задания функции Аналитический и табличный способы не дают наглядного представления о функции.

Этого недостатка лишен графический способ задания функции y=f(x), когда соответствие между аргументом x и функцией y устанавливается с помощью графика. Этого недостатка лишен графический способ задания функции y=f(x), когда соответствие между аргументом x и функцией y устанавливается с помощью графика. Понятие неявной функции Функция называется явной, если она задана формулой, правая часть которой не содержит зависимой переменной. Функция y от аргумента x называется неявной, если она задана уравнением F(x,y)=0 (1) неразрешенным относительно зависимой переменной. Пример. Понятие обратной функции Пусть задана функция y=f(x) (1). Задавая значения аргумента х, получаем значения функции y. Можно, считая y аргументом, а х – функцией, задавать значения y и получать значения x. В таком случае уравнение (1) будет определять x, как неявную функцию от y. Эта последняя функция называется обратной по отношению к данной функции y. Предполагая, что уравнение (1) разрешено относительно x, получаем явное выражение обратной функции (2), где функция для всех допустимых значений y удовлетворяет условию Пример Замечание Обратная функция однозначной функции может быть многозначной, то есть данному значению y может соответствовать несколько значений обратной функции . Например, тригонометрические функции и обратные тригонометрические функции. Или - двузначная.

Классификация функций одного аргумента Классификация функций одного аргумента Принята следующая классификация: 1. Целая рациональная функция или многочлен Над аргументом выполняются действия: сложение, вычитание, умножение, возведение в целую положительную степень. 2. Дробно-рациональная функция 1) и 2) – класс рациональных функций. 3. Иррациональная функция Над аргументом х помимо вышеперечисленных операций производится операция извлечения корня конечное число паз и при этом результат не является рациональной функцией. Пример Совокупность рациональных и иррациональных функций образует класс явных алгебраических функций 4. Многозначная неявная функция Это - более общий случай алгебраических функций , где n – целое положительное число - целые рациональные функции от х. Пример

5. Трансцендентные функции 5. Трансцендентные функции Всякая неалгебраическая функция называется трансцендентной. Элементарные трансцендентные функции: а) показательная ; b) логарифмическая функция ; c) тригонометрические функции sinx, cosx, tgx, ctgx; d) обратные тригонометрические функции arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx. Предел функции В математическом анализе, как правило, рассматриваются безразмерные величины, то есть величины, лишенные физического содержания. Совокупность значений таких величин представляют собой некоторые числовые множества. Формализуем определение функции. Определение 1 Пусть X и Y – данные числовые множества. Если в силу некоторого соответствия f, сопоставляющего элементам множества X элементы множества Y, (единственный), то y называется функцией от х, определенной на множестве Y. Обозначение y=f(x) (1) Множество значений функции (1), по смыслу определения, содержится в Y, то есть . Можно сказать, что функция f отображает множество X в множество Y. Графическая интерпретация.

Пример f(x)=sinx отображает интервал на отрезок [-1,1]. Пример f(x)=sinx отображает интервал на отрезок [-1,1]. Пусть между элементами множеств X и Y функция y=f(x) устанавливает взаимнооднозначное соответствие, то есть существует один и только один его образ и обратно, найдется единственный прообраз такой, что f(x)=y. Тогда функция , устанавливающая соответствие между элементами множеств Y и X называется обратной для функции y=f(x). Иными словами обратная функция является отображением множества Y на множество X. y=f(x) и - взаимно обратные. Определение 2 Под окрестностью точки а (а – действительное число) будем понимать любой интервал , окружающий эту точку , из которого удалена точка а.

Пусть функция f(x) задана на множестве X. Точка а называется предельной точкой (точкой накопления) этого множества, если в любой ее - окрестности содержится бесконечно много элементов , то есть . Пусть функция f(x) задана на множестве X. Точка а называется предельной точкой (точкой накопления) этого множества, если в любой ее - окрестности содержится бесконечно много элементов , то есть .

Определение 3 Определение 3 Число А называется пределом функции f(x) при , то есть , если - окрестность , что |f(x)-A|< при (2) Неравенство (2) должно выполняться для всех тех х, для которых определена функция f(x), то есть для ; согласно определению предельной точки в каждой окрестности множество таких точек не пусто. Замечание 1 По смыслу определения предела функции, числа можно полагать достаточно малыми. Определение 4 Утверждение (3) эквивалентно следующему |f(x)-A|< при . Множество всех точек х, для которых , очевидно, является симметричной окрестностью символа ; при этом предполагается, что для любой точки окрестности , условно можно сказать, что - есть предел множества Х – области определения функции f(x). Объединяя определения 3 и 4 получим общее определение предела функции при , которое справедливо как для конечного значения а, так и для . Общее определение предела функции Пусть f(x) – функция, определенная на множестве X, и а – предельная точка этого множества. Число А является пределом функции f(x) при тогда и только тогда, когда - окрестность , что |f(x)-A|< при (4). Короткая запись (5) или при (5’). Теорема 1 Если функция f(x)=c постоянна в некоторой окрестности точки а, то , причем с является единственным пределом этой функции при .

Определение 5 Определение 5 Функция f(x) называется ограниченной на данном множестве Х, если существует такое положительное число М, что при (6). Если такого числа М нет, то функция f(x) называется неограниченной. Лемма Функция f(x), имеющая предел А при , ограничена в некоторой окрестности точки а. Доказательство Пусть при , где - соответствующая окрестность точки а. Отсюда для всех допустимых значений аргумента х получаем , если только . Отметим еще одну теорему, устанавливающую связь между границами функции и ее пределом. Теорема 2 Пусть существует и M<f(x)<N (7) в некоторой окрестности точки а. Тогда (8) Доказательство Пусть A<M. Полагая , в некоторой окрестности будем иметь |f(x)-A|<M-A, то есть –(M-A)<f(x)<M-A. Отсюда, выбирая , получаем, что f(x)<M, что противоречит левому неравенству (7). Аналогично опровергается предположение A>N. Таким образом, неравенство (8) доказано. Следствие Положительная функция не может иметь отрицательного предела. Односторонние пределы функции В приложениях математического анализа встречаются так называемые односторонние пределы.

Введем понятия левой и правой окрестностей точки а (а – число). Введем понятия левой и правой окрестностей точки а (а – число). Определение 1 1) любой интервал , правым концом которого является точка а, называется ее левой окрестностью. 2) любой интервал , левым концом которого является точка а, называется ее правой окрестностью. Запись означает, что х принимает лишь значения, принадлежащие некоторой левой окрестности точки а, то есть Запись означает, что х принимает лишь значения, принадлежащие некоторой правой окрестности точки а, то есть Определение 2 1) Формула , где функция f(x) определена на множестве Х и а – предельная точка этого множества, а А – число, обозначает, что , такая, что |f(x)-A|< при (1) 2) Формула , где функция f(x) определена на множестве Х и а – предельная точка этого множества, а B – число, обозначает, что , такая, что |f(x)-B|< при (2) Для чисел A и B используется следующая символическая запись A=f(a-0), B=f(a+0)

Замечание Замечание Для существования предела функции f(x) при (а – число) необходимо и достаточно выполнение равенства f(a-0)=f(a+0).

Бесконечно малые функции Бесконечно малые функции Определение Функция называется бесконечно малой при (а – вещественное число или символ ), если , что . Это эквивалентно (2) или (3). Аналогично определяется бесконечно малая функция при , , , . Замечание Если (4), то в силу определения предела функции получаем, что f(x)-A – бесконечно малая функция. Таким образом, из (4) получаем представление функции f(x), имеющей предел А при в виде (5), где . Обратно, если для функции f(x) справедлива формула (5), то число А является пределом функции при . Из формулы (5) вытекает важная лемма о сохранении знака функции. Лемма Если , то в некоторой окрестности знак функции f(x) совпадает со знаком числа А. Действительно, пусть . Выбирая окрестность так, чтобы при в силу равенства (5) будем иметь , где Sgn x=+1, при x>0 Sgn 0=0 Sgn x=-1, при x<0 Замечание Функция в некоторой окрестности по смыслу определения (1) является бесконечно малой при .

Бесконечно большие функции Бесконечно большие функции Определение Функция f(x) называется бесконечно большой при (а – число или символ при (1), если для точки a, что |f(x)|>E при (2) для всех допустимых значений аргумента х. Если функция f(x) - бесконечно большая при , то условно пишут (3) Пример при Записи и соответственно означают при и при Лемма 1. Если при , то при 2. Если при , то при Основные теоремы о бесконечно малых функциях Теорема 1 Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций при есть функция бесконечно малая при . Доказательство Для простоты ограничимся тремя функциями при . Рассмотрим их алгебраическую сумму .

Пусть . В силу определения бесконечно малой функции существуют три, характеризуемые окрестности , такие что при (1) при (2) при (3) представляет окрестность точки а, в которой одновременно будут выполнены неравенства (1),(2),(3). Таким образом, если Теорема доказана. В частности разность двух бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая. Определение Функция f(x) ограничена при , если она ограничена в некоторой окрестности . Теорема 2 Произведение ограниченной при функции на бесконечно малую при функцию, есть функция бесконечно малая функция при . Доказательство Пусть при , где - некоторая окрестность точки а и при . Тогда , что при Отсюда имеем , если Таким образом, при .

Доказательство Доказательство Пусть при , где - некоторая окрестность точки а и при . Тогда , что при Отсюда имеем , если Таким образом, при . Теорема 3 Произведение конечного числа бесконечно малых функций при есть функция бесконечно малая при . Доказательство Рассмотрим сначала две функции при . Полагая и рассуждая также как в теореме 1, можно сказать, что , что и при Отсюда , если Следовательно, при . Если имеем три функции при , то, используя первую часть доказательства, имеем при . Следствие Целая положительная степень бесконечно малой функции при есть бесконечно малая функция. Замечание Отношение двух бесконечно малых функций при может быть функцией произвольного поведения.

Пример Пример С помощью действия деления можно сравнивать между собой бесконечно малые. Определение 1 Две бесконечно малые функции при имеют одинаковый порядок при , если их отношение имеет конечный предел, отличный от нуля, то есть Определение 2 При порядок бесконечно малой функции выше порядка бесконечно малой функции , если отношение есть бесконечно малая функция при , то есть . В этом случае пишут при . Определение 3 При бесконечно малая функция имеет порядок n (n – натуральное число) относительно бесконечно малой функции при , если