🗊Презентация Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика Криковцева Татьяна Георгиевна

Схема курса Схема курса Введение. Определение вероятности. Классическая теория вероятностей: теоремы сложения, умножения, полная вероятность. Схема Бернулли. Случайные величины и их числовые характеристики. Статистическое изучение одномерной выборки

Основные понятия. Основные понятия. Наблюдение явления, опыт, эксперимент, которые можно провести многократно, в теории вероятностей принято называть испытанием. Результат, исход испытания называется событием. Примеры. Сдача экзамена - это испытание; получение определенной отметки - событие. Выстрел - это испытание; попадание в определенную область мишени - событие. Бросание игрального кубика - это испытание; появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости - событие.

Attention! Attention! Закономерное событие – событие, которое всегда осуществляется, как только создаются определенные условия. Случайные - события, которые при одних и тех же условиях иногда происходят, а иногда - нет.

Статистическая устойчивость. Статистическая устойчивость. Пусть эксперимент провели N раз, случайное событие А осуществилось N(А) раз. Определения: N(А) - частота события. Отношение N(А) / N – относительная частота события

(Выпадение орла во всех случаях близко к ½.) (Выпадение орла во всех случаях близко к ½.) Статистическое определение вероятности: если вероятность события А равна р, то При достаточно большом количестве испытаний в качестве статистической вероятности события принимают относительную частоту или число, близкое к ней.

Впервые такую устойчивость обнаружили в демографии. Впервые такую устойчивость обнаружили в демографии. Например, установлено, что вероятность рождения мальчика равна а девочки −

Формализация эксперимента Формализация эксперимента 1. описание множества элементарных исходов 2. задание событий на этом множестве 3. расчет вероятности событий

Основные понятия Основные понятия Одним из основных понятий теории вероятностей являются множество элементарных исходов и события как некоторые подмножества этого множества. Выбирается из практических соображений Примеры. Вытаскиваем карту из колоды карт – 36 элементарных исходов Бросаем монетку – два элементарных исхода Стреляем в мишень : Событие – попал/не попал – два элементарных исхода Событие – Число очков (0-10) – 11 элементарных исходов Введем в мишени систему координат – событие = координата точки попадания –бесконечно много исходов (следует заметить что в последних примерах исходы не равновероятны.)

Все события могут быть описаны как подмножества множества элементарных событий Все события могут быть описаны как подмножества множества элементарных событий Задача. Подбросили игральную кость. Пусть Х – число выпавших очков. Описать мн-во элем. исходов и указать состав подмножеств, соответствующих следующим событиям: A = {Х кратно трем} B = {Х нечетно} C = {Х > 3} D = {Х < 7} E = {X дробно} Е – невозможное событие F = {0,5 < Х < 1,5}

Определение1. Два события совместны, если соответствующие мн-ва имеют общие элементы, иначе – несовместны. Определение1. Два события совместны, если соответствующие мн-ва имеют общие элементы, иначе – несовместны. Определение2. События А и В несовместны, если наступление одного из них исключает наступление другого. A = {Х кратно трем} B = {Х нечетно} C = {Х > 3} D = {Х < 7} E = {X дробно} Е – невозможное событие F = {0,5 < Х < 1,5}

Определение вероятности Определение вероятности р(А) – числовая ф-ция, определенная для любого события А, удовлетворяющая трем аксиомам:

Алгебраические операции над событиями Операция сложения, произведения, взятие противоположного Пример. Из колоды в 36 карт достают карту. События: A = {выпала дама} ; В = {выпала пиковая карта} (прим. сам прямоугольник – мн-во элем. исходов )

Сложные события. Сложные события. Задача. Два стрелка произвели по одному выстрелу по одной и той же мишени в одинаковых и независимых условиях. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго - 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадет только один из стрелков. H= {при одном залпе в мишень попадет только один из стрелков} р(H) -?

1). Формулировки «хотя бы один (или n)» - ≥ 1). Формулировки «хотя бы один (или n)» - ≥ H = {при одном залпе в мишень попадет хотя бы один из стрелков} р(H) -?

Классическое определение вероятности Классическое определение вероятности Если число исходов конечно и любой исход равновозможен, то вероятность события А может быть определена как отношение числа исходов, благоприятствующих событию А, к общему числу элементарных исходов: Пример 1. Вероятность выпадения орла 1/2 Для сравнения. Для статистического определения проводили N испытаний и тоже получили колебания отн.частоты около значения 1/2 Пример 2. Вероятность из колоды в 36 карт вынуть даму. Пример 3. Вероятность из колоды в 36 карт вынуть пиковую карту.

Элементы комбинаторики Неупорядоченный выбор без повторений (число сочетаний из n по m)

Задача 2. В конверте среди 100 фотографий находится одна разыскиваемая. Из конверта на удачу извлекается 10 фотографий. Найти вероятность того, что среди них окажется нужная. Задача 2. В конверте среди 100 фотографий находится одна разыскиваемая. Из конверта на удачу извлекается 10 фотографий. Найти вероятность того, что среди них окажется нужная.

Вероятность выйграть в лотерею «6 из 36» А ={отгадать все 6 цифр}; В={отгадать 5 цифр} и тд

Задача 4.В коробке 5 изделий, из которых 3 бракованные. Наудачу извлекаются 2 изделия. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы одно бракованное изделие. Задача 4.В коробке 5 изделий, из которых 3 бракованные. Наудачу извлекаются 2 изделия. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы одно бракованное изделие.

Задача 3 (Классическая схема Бернулли предполагает независимость испытаний! Студент знает ответы на 45 из 60 вопросов программы. Каждый экзаменационный билет содержит три вопроса. Найти вероятность того, что студент, взявший экзаменационный билет ответит: а)на все три вопроса; б) на два вопроса из трёх; в) только на один вопрос экзаменационного билета.

Задача 5. Из колоды достали 5 карт. Какова вероятность, что в получившемся наборе будет 2 короля или 4 бубновые карты. H = {2 короля или 4 бубновые карты} p(H)-? Задача 5. Из колоды достали 5 карт. Какова вероятность, что в получившемся наборе будет 2 короля или 4 бубновые карты. H = {2 короля или 4 бубновые карты} p(H)-?

Условные вероятности. Независимость событий Определение 1. Условная вероятность события А при условии В равна Определение 2. Событие А не зависит от события В, если p(АВ) = p(A)·p(B) для независимых событий p(АВ) ≠ p(A)·p(B) для зависимых событий

Задача. Из колоды в 36 карт на удачу извлекается одна карта A={вынутая карта туз}; B={вынутая черной масти}; C={вынутая карта картинка}. Установить (не)зависимость Задача. Из колоды в 36 карт на удачу извлекается одна карта A={вынутая карта туз}; B={вынутая черной масти}; C={вынутая карта картинка}. Установить (не)зависимость А и С, А и В

Формула полной вероятности. Формула полной вероятности.

Задача. Схема дорог.

Задача 1. В первой урне 10 шаров, из них 8 белых. Во второй 20 – из них 4 белых. Из каждой урны извлекли по одному шару, затем из этих двух шаров на удачу взяли один. Какова вероятность, что этот шар белый. Задача 1. В первой урне 10 шаров, из них 8 белых. Во второй 20 – из них 4 белых. Из каждой урны извлекли по одному шару, затем из этих двух шаров на удачу взяли один. Какова вероятность, что этот шар белый.

Формула Байеса

Задача 2. При разрыве снаряда образуются осколки трех весовых категорий: крупные, средние и мелкие, причем их число составляет 0,1; 0,3 и 0,6 общего числа осколков соответственно. При попадании в броню крупный осколок пробивает ее с вероятностью 0,9, средний с вероятностью 0,4 и мелкий - с вероятностью 0,1. В результате подрыва снарядав броню попал один осколок и пробил ее. Найти вероятность того, что пробоина причинена крупным осколком. Задача 2. При разрыве снаряда образуются осколки трех весовых категорий: крупные, средние и мелкие, причем их число составляет 0,1; 0,3 и 0,6 общего числа осколков соответственно. При попадании в броню крупный осколок пробивает ее с вероятностью 0,9, средний с вероятностью 0,4 и мелкий - с вероятностью 0,1. В результате подрыва снарядав броню попал один осколок и пробил ее. Найти вероятность того, что пробоина причинена крупным осколком.

Задача 3. Литье в болванках поступает из двух заготовленных цехов: 70% из первого цеха, 30% из второго цеха. Литье первого цеха имеет 10% брака, второго - 20 % брака. Взятая наудачу болванка оказалась без дефекта. Какова вероятность её изготовления первым цехом. Задача 3. Литье в болванках поступает из двух заготовленных цехов: 70% из первого цеха, 30% из второго цеха. Литье первого цеха имеет 10% брака, второго - 20 % брака. Взятая наудачу болванка оказалась без дефекта. Какова вероятность её изготовления первым цехом.

Задача 3. В кармане лежат батарейки трех типов. Вероятность того, что батарейка разряжена соответственно равна 0,6; 0,2; 0,8. После установки наудачу выбранной батарейки часы пошли в ход. Найти вероятность того, что была выбрана батарейка 1) третьего типа, 2) второго типа. Задача 3. В кармане лежат батарейки трех типов. Вероятность того, что батарейка разряжена соответственно равна 0,6; 0,2; 0,8. После установки наудачу выбранной батарейки часы пошли в ход. Найти вероятность того, что была выбрана батарейка 1) третьего типа, 2) второго типа.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Задача. Вероятность отказа каждого прибора не зависит от отказов остальных приборов и равна 0,2. испытано 9 приборов . Найти вероятности следующих событий: Задача. Вероятность отказа каждого прибора не зависит от отказов остальных приборов и равна 0,2. испытано 9 приборов . Найти вероятности следующих событий: А ={откажет ровно один прибор} B ={откажет хотя бы один прибор} C ={откажет не более одного прибора} D ={все приборы}

Формула Пуассона n ->∞ p ->0 npq ≤ 10 Задача. Аппаратура состоит из 1000 элементов, каждый из которых независимо от остальных выходит из строя за время Т с вероятностью р=0,0005 А = {за время Т откажет ровно 3 элемента} В = {хотя бы один} С = {не более трех элементов}

Локальная и интегральная теоремы Лапласа-Муавра npq > 10 Задача. Вероятность рождения мальчика p=0,512. Считая приемлемой локальную и интегральную теорему Лапласа-Муавра (npq = 100*0,512=24,98 >10) вычислить вер-ти событий А= {среди 100 новорожденных будет 51 мальчик} В = {среди 100 новорожденных будет больше мальчиков, чем девочек}

Плотность вероятности нормального распределения

Функция Лапласа

Задача. Вероятность наступления события А в каждом из независимых испытаний равна р. Найти вероятность того, что событие А наступит к раз в n испытаниях. а) Задача. Вероятность наступления события А в каждом из независимых испытаний равна р. Найти вероятность того, что событие А наступит к раз в n испытаниях. а) б)

Литература Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике : учеб. пособие / В. Е. Гмурман. – 11-е изд., перераб. и доп. – М. : Издательство Юрайт; ИД Юрайт, 2011. – 404 с. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам / Д.Т. Письменный. – 7-е изд. - Москва : Айрис-пресс, 2015. – 287 с. Вентцель, Е.С. Теория вероятностей и ее инженерные приложения : учебное пособие / Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров. – 5-е изд., стер. – М. : КНОРУС, 2010. – 480 с Сборник задач по математике для втузов. В 4 частях. Ч. 4: учеб. пособие для втузов / Под общ. Ред. А.В. Ефимова и А.С. Поспелова. – 3-е изд. перераб. и доп. – М.:Издательство Физико-математической литературы, Физматлит, 2004 – 432 с. Андрухаев, Х.М. Сборник задач по теории вероятностей: учеб. пособие / Х.М. Андрухаев; Под ред.А.С.Солодовникова. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: Высш. Шк., 2005. – 174 с. Колемаев, В.А. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие / В.А. Колемаев, О.В. Староверов, В.Б. Турундаевский; Под ред. В.А. Колемаева. – М.: Высш. шк., 1991. – 400 с.