🗊Презентация Алгебра. Лекция 6. Классы вычетов

Категория: Математика
Нажмите для полного просмотра!
Алгебра. Лекция 6. Классы вычетов, слайд №1Алгебра. Лекция 6. Классы вычетов, слайд №2Алгебра. Лекция 6. Классы вычетов, слайд №3Алгебра. Лекция 6. Классы вычетов, слайд №4Алгебра. Лекция 6. Классы вычетов, слайд №5Алгебра. Лекция 6. Классы вычетов, слайд №6Алгебра. Лекция 6. Классы вычетов, слайд №7Алгебра. Лекция 6. Классы вычетов, слайд №8Алгебра. Лекция 6. Классы вычетов, слайд №9Алгебра. Лекция 6. Классы вычетов, слайд №10Алгебра. Лекция 6. Классы вычетов, слайд №11Алгебра. Лекция 6. Классы вычетов, слайд №12Алгебра. Лекция 6. Классы вычетов, слайд №13Алгебра. Лекция 6. Классы вычетов, слайд №14Алгебра. Лекция 6. Классы вычетов, слайд №15Алгебра. Лекция 6. Классы вычетов, слайд №16Алгебра. Лекция 6. Классы вычетов, слайд №17Алгебра. Лекция 6. Классы вычетов, слайд №18
Скачать
Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Алгебра. Лекция 6. Классы вычетов. Доклад-сообщение содержит 18 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1


Лекция 6 Классы вычетов
Описание слайда:
Лекция 6 Классы вычетов

Слайд 2


Класс чисел Целые числа, сравнимые с a по модулю m (m ϵ N, m>1) образуют класс чисел по модулю m и он обозначается Любое число класса называется вычетом этого класса по модулю m Например
Описание слайда:
Класс чисел Целые числа, сравнимые с a по модулю m (m ϵ N, m>1) образуют класс чисел по модулю m и он обозначается Любое число класса называется вычетом этого класса по модулю m Например

Слайд 3


Свойства классов вычетов Если два класса имеют хотя бы один общий элемент, то они совпадают По модулю m существует ровно m классов вычетов
Описание слайда:
Свойства классов вычетов Если два класса имеют хотя бы один общий элемент, то они совпадают По модулю m существует ровно m классов вычетов

Слайд 4


Полные и приведённые системы вычетов Определение 1 Полной системой вычетов по модулю m называется совокупность чисел, взятых по одному из каждого класса вычетов по модулю m Пример m=6. Так как остатки при делении на 6 могут быть 0, 1, 2, 3, 4, 5, то по модулю 6 имеется шесть классов вычетов: 12, 7, 8, -3, 10, 17 – полная система вычетов по модулю шесть, т.к.
Описание слайда:
Полные и приведённые системы вычетов Определение 1 Полной системой вычетов по модулю m называется совокупность чисел, взятых по одному из каждого класса вычетов по модулю m Пример m=6. Так как остатки при делении на 6 могут быть 0, 1, 2, 3, 4, 5, то по модулю 6 имеется шесть классов вычетов: 12, 7, 8, -3, 10, 17 – полная система вычетов по модулю шесть, т.к.

Слайд 5


Теорема 1 (признак полной системы вычетов) Любая система m чисел, попарно не сравнимых по модулю m, является полной системой вычетов по модулю m Доказательство По условию числа попарно не сравнимы по модулю m, т.е. взяты из разных классов Т.к. чисел m, то вычет каждого класса присутствует в системе Значит, это система – полная система вычетов по модулю m
Описание слайда:
Теорема 1 (признак полной системы вычетов) Любая система m чисел, попарно не сравнимых по модулю m, является полной системой вычетов по модулю m Доказательство По условию числа попарно не сравнимы по модулю m, т.е. взяты из разных классов Т.к. чисел m, то вычет каждого класса присутствует в системе Значит, это система – полная система вычетов по модулю m

Слайд 6


Теорема 2 Теорема 2 Если и x пробегает полную систему вычетов по модулю m, то , где , тоже пробегает полную систему вычетов по модулю m
Описание слайда:
Теорема 2 Теорема 2 Если и x пробегает полную систему вычетов по модулю m, то , где , тоже пробегает полную систему вычетов по модулю m

Слайд 7


Определение 2 Определение 2 Пусть Функцией Эйлера называется функция натурального аргумента , которая определена как количество натуральных чисел, не превосходящих m и взаимно простых с m Примеры Заметим, что в полной системе вычетов по модулю m: 1, 2, 3, 4, …, m ровно вычетов, взаимно простых с m (согласно определению )
Описание слайда:
Определение 2 Определение 2 Пусть Функцией Эйлера называется функция натурального аргумента , которая определена как количество натуральных чисел, не превосходящих m и взаимно простых с m Примеры Заметим, что в полной системе вычетов по модулю m: 1, 2, 3, 4, …, m ровно вычетов, взаимно простых с m (согласно определению )

Слайд 8


Определение 3 Приведённой системой вычетов по модулю m называется совокупность вычетов, взятых по одному из каждого класса, взаимно простого с модулем Заметим, что если (a, m)=1, то ( , m)=1 Примеры 1) 1, 2, 3, 4 – приведенная система вычетов по модулю 5 2) 1, 3, -3, -1 – приведенная система вычетов по модулю 10
Описание слайда:
Определение 3 Приведённой системой вычетов по модулю m называется совокупность вычетов, взятых по одному из каждого класса, взаимно простого с модулем Заметим, что если (a, m)=1, то ( , m)=1 Примеры 1) 1, 2, 3, 4 – приведенная система вычетов по модулю 5 2) 1, 3, -3, -1 – приведенная система вычетов по модулю 10

Слайд 9


Теорема 3 (признак приведённой системы вычетов) Совокупность чисел, попарно не сравнимых по модулю m и взаимно простых с m, образует приведённую систему вычетов по модулю m Доказательство Поскольку числа попарно не сравнимы, то они взяты из различных классов Т.к. они взаимно просты с модулем, то взяты из классов, взаимно простых с модулем Поскольку их штук, т.е. столько же, сколько классов вычетов взаимно простых с модулем, то вычет каждого такого класса присутствует в системе Значит, это приведенная система вычетов по модулю m
Описание слайда:
Теорема 3 (признак приведённой системы вычетов) Совокупность чисел, попарно не сравнимых по модулю m и взаимно простых с m, образует приведённую систему вычетов по модулю m Доказательство Поскольку числа попарно не сравнимы, то они взяты из различных классов Т.к. они взаимно просты с модулем, то взяты из классов, взаимно простых с модулем Поскольку их штук, т.е. столько же, сколько классов вычетов взаимно простых с модулем, то вычет каждого такого класса присутствует в системе Значит, это приведенная система вычетов по модулю m

Слайд 10


Теорема 4 Пусть . Если и в выражении ax, переменная x пробегает приведённую систему вычетов по модулю m, то и само выражение ax пробегает приведённую систему вычетов по модулю m
Описание слайда:
Теорема 4 Пусть . Если и в выражении ax, переменная x пробегает приведённую систему вычетов по модулю m, то и само выражение ax пробегает приведённую систему вычетов по модулю m

Слайд 11


Понятие кольца Не пустое множество К называют кольцом, если на нём определены две бинарные алгебраические операции сложения и умножения, т.е. если a, b ϵ K, то (a+b) ϵ K, a ∙ b ϵ K и выполняются свойства:  a, b, c ϵ K a+b=b+a; (a+b)+c=a+(b+c)  a ϵ K существует относительно сложения нейтральный элемент – 0, т.е. a+0=a  a ϵ K существует противоположный (симметричный) элемент – a', т.е. a+a' =0  a, b, c ϵ K (a∙b)∙c=a∙(b∙c)  a, b,c ϵ K a∙(b+c)=a∙b+b∙c, (a+b)∙c=a∙c+b∙c Примеры: N – не кольцо; Z – кольцо; Q – кольцо; R – кольцо
Описание слайда:
Понятие кольца Не пустое множество К называют кольцом, если на нём определены две бинарные алгебраические операции сложения и умножения, т.е. если a, b ϵ K, то (a+b) ϵ K, a ∙ b ϵ K и выполняются свойства:  a, b, c ϵ K a+b=b+a; (a+b)+c=a+(b+c)  a ϵ K существует относительно сложения нейтральный элемент – 0, т.е. a+0=a  a ϵ K существует противоположный (симметричный) элемент – a', т.е. a+a' =0  a, b, c ϵ K (a∙b)∙c=a∙(b∙c)  a, b,c ϵ K a∙(b+c)=a∙b+b∙c, (a+b)∙c=a∙c+b∙c Примеры: N – не кольцо; Z – кольцо; Q – кольцо; R – кольцо

Слайд 12


Кольцо классов вычетов Zm - множество классов вычетов по модулю m В Zm определим операции сложения и умножения: Примеры По модулю 5 , т.к. , т.к.
Описание слайда:
Кольцо классов вычетов Zm - множество классов вычетов по модулю m В Zm определим операции сложения и умножения: Примеры По модулю 5 , т.к. , т.к.

Слайд 13


Теорема 5 Множество классов вычетов по модулю m, относительно сложения и умножения образует коммутативное кольцо с 1
Описание слайда:
Теорема 5 Множество классов вычетов по модулю m, относительно сложения и умножения образует коммутативное кольцо с 1

Слайд 14


Доказательство теоремы 5 Сложение классов ассоциативно и коммутативно 2. Роль нейтрального элемента выполняет класс 3. Для каждого класса противоположным классом является , т.е. класс, содержащий ; 4. Умножение коммутативно и ассоциативно 5. Умножение и сложение связаны дистрибутивно 6. Роль единицы играет класс
Описание слайда:
Доказательство теоремы 5 Сложение классов ассоциативно и коммутативно 2. Роль нейтрального элемента выполняет класс 3. Для каждого класса противоположным классом является , т.е. класс, содержащий ; 4. Умножение коммутативно и ассоциативно 5. Умножение и сложение связаны дистрибутивно 6. Роль единицы играет класс

Слайд 15


Cвойства функции Эйлера Если р – простое, то Функция Эйлера мультипликативна, т.е. если ,то Определение Функция , определенная на множестве натуральных чисел, называется мультипликативной, если для любых взаимно простых натуральных чисел a и b
Описание слайда:
Cвойства функции Эйлера Если р – простое, то Функция Эйлера мультипликативна, т.е. если ,то Определение Функция , определенная на множестве натуральных чисел, называется мультипликативной, если для любых взаимно простых натуральных чисел a и b

Слайд 16


Cвойства функции Эйлера 4. Пусть каноническое разложение натурального числа, тогда
Описание слайда:
Cвойства функции Эйлера 4. Пусть каноническое разложение натурального числа, тогда

Слайд 17


Теорема Эйлера Если , то
Описание слайда:
Теорема Эйлера Если , то

Слайд 18


Пьер де Ферма (1601-1665) – французкий математик, один из создателей аналитической геометрии, математического анализа, теории вероятностей и теории чисел. По профессии юрист, советник парламента в Тулузе Теорема Ферма Пусть , р – простое. Если ,то Следствие Для любого целого a и простого p
Описание слайда:
Пьер де Ферма (1601-1665) – французкий математик, один из создателей аналитической геометрии, математического анализа, теории вероятностей и теории чисел. По профессии юрист, советник парламента в Тулузе Теорема Ферма Пусть , р – простое. Если ,то Следствие Для любого целого a и простого p

Скачать

Похожие презентации
Mypresentation.ru
Загрузить презентацию