🗊Презентация Симплекс-метод

Симплекс-метод Впервые симплексный метод был предложен американским ученым Дж. Данцигом в 1949 году, однако еще в 1939 году идеи метода были разработаны российским ученым А.В. Канторовичем. СМ решения задачи ЛП основан на переходе от одного допустимого решения к другому, при котором значение ЦФ возрастает. Указанный переход возможен, если известно какое-нибудь допустимое решение.

Из линейной алгебры известно: Из линейной алгебры известно: Равенства называются линейно независимыми, если никакое из них нельзя получить из других путем умножения на какие-то коэффициенты и суммирования, т.е. никакое из них не является следствием остальных. В линейной алгебре доказывается, что максимальное число линейно независимых равенств, связывающих n переменных x1 …xn, равно n . В линейной алгебре доказывается, что систему из r независимых равенств с n переменными всегда можно разрешить относительно каких-то r переменных (называемых базовыми) и выразить через них остальные n-r переменных (называемых свободными). Свободным переменным можно придавать какие угодно значения. Теорема1 Любому допустимому решению задачи ЛП соответствует по крайней мере хотя бы одна угловая точка многоугольника решений, и наоборот, любой угловой точке многогранника решений соответствует допустимое базисное решение.

Для реализации СМ необходимо 3 основных момента: Для реализации СМ необходимо 3 основных момента: Необходимо отыскать способ отыскания исходного допустимого решения. Должен быть описан механизм перехода от одного допустимого решения к другому (к другой вершине многоугольника). Должен быть сформулирован критерий, с помощью которого можно проверить на оптимальность: остановить процесс поиска или идти дальше.

Алгоритм решения задачи : Стандартная задача ЛП сводится к основной задаче. F= c1x1+…+cnxnmax a11x1+…+a1nxn+xn+1=b1 a11x1+…+a1nxn +xn+2=b2 …. am1x1+…+amnxn+ xn+m=bm xj  0 j=1,n

Определяется начальное допустимое решение Для этого запишем систему ограничений в векторной форме x1A1+x2A2+…+ xnAn+xn+1An+1+…+ xn+mAn+m =A0 , где

По данным задачи составляется симплекс-таблица:

В (m+1) –й строке в столбцах векторов Aj записываются значения В (m+1) –й строке в столбцах векторов Aj записываются значения

Полученное допустимое решение проверяется на оптимальность (в случае максимизации). Полученное допустимое решение проверяется на оптимальность (в случае максимизации). Используются теоремы: Теорема2 Если для некоторого опорного плана x* выполняются неравенства Δj ≥0, то этот план оптимальный . Теорема3 Если для опорного плана Х задачи ЛП существует хотя бы один элемент j , для которого Δj < 0 и среди коэффициентов разложения j-го вектора есть хотя бы один аij >0, то существует такой опорный план Х’, для которого F(x’)>F(x). Если хотя бы для одной отрицательной оценки ∆j < 0. коэффициенты разложения aij соответствующего вектора неположительные, то линейная функция не ограничена на многограннике решений, и следовательно, задача не имеет решения.

Наличие оптимальности проверяется по следующему признаку: Наличие оптимальности проверяется по следующему признаку: Согласно теорем выясняется, имеется ли хотя бы одно отрицательное ∆j (ЦФ исследуется на максимум). Если нет, то найденное решение является оптимальным. Если же среди чисел ∆j имеются отрицательные, то либо устанавливается неразрешимость задачи, либо переходят к новому допустимому решению.

В случае исследования целевой функции на минимум допустимое решение является оптимальным, если все разности ∆j ≤ 0 . Если хотя бы одно ∆j>0 , тогда в базис включается вектор, соответствующий этой оценке, и вычисляется новое допустимое решение, при котором линейная целевая функция будет принимать меньшее значение. В случае исследования целевой функции на минимум допустимое решение является оптимальным, если все разности ∆j ≤ 0 . Если хотя бы одно ∆j>0 , тогда в базис включается вектор, соответствующий этой оценке, и вычисляется новое допустимое решение, при котором линейная целевая функция будет принимать меньшее значение. Если положительных элементов в последней строке симплекс-таблицы, несколько, то в базис должен быть включен вектор, которому соответствует максимальный положительный ∆j .> 0. Если имеется несколько одинаковых максимальных значений ∆j , то из соответствующих им векторов включается в базис вектор, которому соответствует минимальное Сj . Если хотя бы для одной положительной оценки ∆j> 0. коэффициенты разложения aij соответствующего вектора неположительные, то линейная функция не ограничена на многограннике решений, и следовательно, задача не имеет решения.

Находится направляющий столбец и направляющая строка. Находится направляющий столбец и направляющая строка. Направляющий столбец определяется наибольшим по абсолютной величине отрицательным числом ∆j , а направляющая строка – минимальным отношением компонент столбца вектора А0 к положительным компонентам направляющего столбца Выбор максимального по модулю отрицательного элемента ∆j означает включение в базис переменной, увеличение которой приводит к максимальному росту ЦФ

Определяются положительные компоненты нового допустимого решения и коэффициенты разложения векторов Aj по векторам нового базиса и числа F0 ∆j по следующим формулам: Определяются положительные компоненты нового допустимого решения и коэффициенты разложения векторов Aj по векторам нового базиса и числа F0 ∆j по следующим формулам:

Полученные данные записываются в новую симплекс–таблицу:

Проверяют найденное допустимое решение на оптимальность Проверяют найденное допустимое решение на оптимальность Если решение не является оптимальным то возвращаются к п.5 , если оптимальное или установлена неразрешимость задачи процесс решения заканчивается.

Пример Для изготовления изделий A, B и C предприятие использует три вида сырья. Составить план производства изделий, при котором общая стоимость всей произведенной предприятием продукции является максимальной

Составим математическую модель задачи.

Запишем эту задачу в форме основной задачи линейного программирования.

Полученную систему уравнений запишем в векторной форме:

Среди векторов имеются три единичных вектора , которые образуют базис трехмерного векторного пространства. Среди векторов имеются три единичных вектора , которые образуют базис трехмерного векторного пространства.

Составим первую симплексную таблицу и проверим исходное решение на оптимальность.

Значения, стоящие в четвертой строке симплексной таблицы вычисляются следующим образом:

Исходное решение не является оптимальным, т.к. в 4-й строке таблицы имеются три отрицательных числа: Исходное решение не является оптимальным, т.к. в 4-й строке таблицы имеются три отрицательных числа: -9, -10, -16.

Составим новую симплексную таблицу:

Заполняем строку A3, разделив все элементы на разрешающий а22 =8

Вычисление остальных элементов таблицы производим по рекуррентным формулам:

Тогда компоненты вектора A0 находятся

Вычислим компоненты вектора A1:

Аналогично находятся элементы столбцов векторов A2, A5.

Теперь заполним четвертую строку симплексной таблицы.

Решение X2 не является оптимальным, т.к. в 4-ой строке последней симплекс–таблице в столбце вектора A2 стоит отрицательное число –2. В базис вводится вектор A2,

Ответ Это решение соответствует плану выпуска продукции, включающего изготовление 8 изделий B и 20 изделий C. При этом сырье I и II видов используется полностью и остается неиспользованным 96 кг сырья III вида. Стоимость производимой продукции равна 400 рублей.

Вопросы В чем смысл симплекс-метода? Что необходимо для реализации СМ? Теорема о соответствии допустимых решений задачи и многоугольника решений. С чего начинается решение задачи СМ? Как определяется начальное допустимое решение (опорный план)? Что такое оценка плана? Теоремы, позволяющие проверить решение на оптимальность (при максимизации).

Что меняется при определении минимального решения? Что меняется при определении минимального решения? Как определяется направляющий столбец? Как определяется направляющая строка? Как рассчитать следующую симплекс-таблицу? Когда задача не имеет решения?