🗊Презентация Ekonometria- wykład 2, 3. Estymacja i weryfikacja modelu

Ekonometria- wykład 2, 3 Estymacja i weryfikacja modelu

ROWNOWAŻNE POJĘCIA EKONOMETRYCZNE • Zmienna Y nazywana jest : – Zmienną zależną – Zmienną objaśnianą – Regresantem – Zmienną endogeniczną • Zmienna X nazywana jest – Zmienną niezależną – Zmienną objaśniającą – Regresorem – Zmienną egzogeniczną

Interpretacja: Jeżeli zmienna egzogeniczna xt1 wzrośnie o 1 jednostkę, a pozostałe zmienne objaśniające nie ulegną zmianie, to oczekujemy, że zmienna endogeniczna yt wzrośnie (spadnie) średnio o jednostek. Parametry strukturalne w modelu linowym są przyrostami krańcowymi.

Estymacja modelu - MNK Oszacować (estymować) model oznacza znaleźć oceny parametrów strukturalnych na podstawie konkretnej próby Jeżeli dysponujemy zbiorem (próbą) n obserwacji (x1i, x2i, ... xki, yi) – wartości zmiennych objaśniających i objaśnianych, to na jego podstawie możemy próbować znaleźć oszacowania a0, a1, ... ak parametrów funkcji regresji. Wielkości będziemy nazywać wartościami teoretycznymi zmiennej y odpowiadającymi i-tej obserwacji, i=1, 2, ... , n.  Natomiast ei resztami modelu

Metody szacowania parametrów strukturalnych: - Metoda Najmniejszych Kwadratów (MNK) Metoda Momentów (MM), Metoda Największej Wiarygodności (MNW), i wiele innych. Twierdzenie Gaussa-Markowa: W klasycznym modelu regresji liniowej najlepszym nieobciążonym estymatorem linowym parametrów jest estymator uzyskany MNK

Postać funkcji regresji jest liniowa i stała, tzn. relacja między zmiennymi jest stabilna, Postać funkcji regresji jest liniowa i stała, tzn. relacja między zmiennymi jest stabilna, Zmienne objaśniające (egzogeniczne) są nielosowe, ich wartości są ustalonymi liczbami rzeczywistymi, zmienne objaśniające nie są współliniowe, czyli nie występuje między nimi dokładna zależność liniowa Przykład współlinowości zmiennych: X1-liczba pracowników w przedsiębiorstwie, X2-liczba pracowników na stanowiskach kierowniczych, X3-liczba pracowników na stanowiskach niekierowniczych. X1=X2+X3, liczba obserwacji przekracza liczbę szacowanych parametrów modelu (n>k)

Składnik losowy ma rozkład normalny o średniej równej 0 i stałym odchyleniu standardowym, nie występuje autokorelacja składnika losowego, nie występuje korelacja składnika losowego ze zmiennymi objaśniającymi, Informacje zawarte w próbie są jedynymi informacjami, na podstawie których dokonuje się szacowania (estymacji) parametrów modelu.  

Metoda Najmniejszych Kwadratów (MNK) Im mniejsza jest odległość wartości rzeczywistych od teoretycznych tym lepszy model estymatory parametrów modelu minimalizują sumę odległości yi od i yiˆ Estymatorem metody najmniejszych kwadratów (MNK-estymatorem) wektora  jest wektor a wyznaczony jako  

Własności estymatorów MNK - Nieobciążoność - Efektywność - Zgodność

ocena merytoryczna (stwierdzenie, czy otrzymane wyniki estymacji zgodne są z pewnymi założeniami i oczekiwaniami, a także z teorią ekonomii), ocena merytoryczna (stwierdzenie, czy otrzymane wyniki estymacji zgodne są z pewnymi założeniami i oczekiwaniami, a także z teorią ekonomii), weryfikacja statystyczna

Weryfikacja merytoryczna 1. określenie poprawności znaków przy parametrach; 2. interpretacja wartości oszacowanych parametrów (inaczej interpretuje się parametry w równaniu liniowym niż nieliniowym).

Weryfikacja statystyczna

Współczynnik determinacji: określa, jaka część zmienności cechy zależnej jest wyjaśniona zmiennością cech niezależnych. Współczynnik determinacji: określa, jaka część zmienności cechy zależnej jest wyjaśniona zmiennością cech niezależnych. Pewna część zmienności zmiennej objaśnianej pozostaje niewyjaśniona: ◦nieuwzględnienie pewnych zmiennych objaśniających ◦losowy charakter czynników wpływających na zmienną objaśnianą Czasami wyznacza się także wartość tzw. skorygowanego współczynnika determinacji: Wartość jest interpretowana tak, jak zwykłego współczynnika determinacji. Współczynnik skorygowany ma zastosowanie do porównywania stopnia dopasowania modeli o różnej liczbie

- wariancja resztowa Miarą przeciętnej wielkości błędu dopasowania jest wariancja resztowa, która jest oceną wariancji składnika losowego: . Pierwiastek z wariancji reszt Se (reprezentujący odchylenie standardowe reszt) jest przeciętnym (standardowym) błędem szacunku zmiennej objaśnianej

Ocena istotności Sprawdzianem jest statystyka: Statystyka ma rozkład t-Studenta o n-k-1 stopniach swobody.

1. Jeżeli t(aj) > tkryt wówczas (przy przyjętym z góry poziomie istotności) odrzucamy H0 na korzysc H1. Zmienna objaśniająca w istotny sposób wpływa na zmienną objaśnianą. 2. Jeżeli t(aj) < tkryt wówczas (przy przyjętym z góry poziomie istotności) nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, uznajemy dany parametr za nieistotny statystycznie.

Modele nieliniowe Model potęgowy Ogólny zapis statycznego modelu potęgowego

Parametry strukturalne w modelu potęgowym są elastycznościami cząstkowymi. Jest to model o stałych elastycznościach. Interpretacja: Jeżeli zmienna egzogeniczna xt1 wzrośnie o 1%, a pozostałe zmienne objaśniające nie ulegną zmianie, to oczekujemy, że zmienna endogeniczna yt wzrośnie (spadnie) średnio o  %.

Linearyzacja modelu potęgowego

Funkcja potęgowa to często wykorzystywany model: -ekonometryczna funkcja produkcji Cobba-Douglasa - ekonometryczna funkcja popytu

Jest to potęgowa postać funkcji produkcji. Dla dwóch czynników produkcji K i L mamy model: Jest to potęgowa postać funkcji produkcji. Dla dwóch czynników produkcji K i L mamy model: . Funkcję tę przekształcamy do postaci liniowej przez logarytmowanie: Elastyczność funkcji Cobba-Douglasa względem K i L jest stała i równa odpowiednio: Parametry funkcji - odpowiednie elastyczności. Jeśli wielkość kapitału wzrasta o 1%, to wielkość produkcji wzrasta o %, zaś przy wzroście nakładów pracy o 1% wielkość produkcji wzrasta o %.

Funkcja popytu wyraża zależność poziomu popytu od czynników ekonomicznych i pozaekonomicznych. Funkcja popytu wyraża zależność poziomu popytu od czynników ekonomicznych i pozaekonomicznych. Główne czynniki ekonomiczne: dochody (potencjalnych konsumentów) i ceny (dobra badanego, dóbr substytucyjnych). Wśród czynników pozaekonomicznych wymienia się czynniki demograficzne i psychologiczno-socjologiczne.

Elastyczności (E) Elastyczność dochodowa popytu jest zwykle dodatnia, elastyczność cenowa (względem ceny badanego produktu) jest zazwyczaj ujemna. Przyjmuje się, że jeśli |E|>1, to popyt jest doskonale elastyczny (charakterystyczne dla dóbr luksusowych). Jeśli |E|=1, to popyt reaguje proporcjonalnie do czynnika 0<|E|<1 mówi się o popycie mało elastycznym przy E=0 popyt jest sztywny

makro- i mikroekonomiczne funkcje popytu

wyrażają zależność popytu na określony produkt dla pojedynczych konsumentów lub gospodarstw w zależności od (zazwyczaj): wyrażają zależność popytu na określony produkt dla pojedynczych konsumentów lub gospodarstw w zależności od (zazwyczaj): dochodu na osobę składu demograficznego oraz profilu zawodowego i społecznego. Mają one często kształt krzywych potrzeb (krzywych Engla), mierzących zależność między popytem i dochodem. Do krzywych Engla należą: funkcja liniowa, potęgowa, hiperboliczna, wykładnicza z odwrotnością, funkcje Törnquista.

Weryfikacja stochastyczna- Własności składnika losowego Weryfikacja stochastyczna- Własności składnika losowego brak autokorelacji składników losowych. stałość wariancji składników losowych. normalność rozkładu składnika losowego. Jeżeli powyższe hipotezy są prawdziwe wówczas: estymator MNK parametrów strukturalnych liniowego modelu ekonometrycznego jest estymatorem nieobciążonym, zgodnym i najbardziej efektywnym w klasie estymatorów nieobciążonych – BLUE.

Własności składnika losowego Złamanie założeń o własnościach składnika losowego może mieć postać: autokorelacji, czyli korelacji między składnikami losowymi modelu, heteroskedastyczności, czyli zmiennej wariancji składnika losowego Rozkład skł. Losowego nie jest normalny Estymatory MNK pozostają wprawdzie nieobciążone, ale są nieefektywne (nie mają najmniejszej wariancji w klasie liniowych estymatorów nieobciążonych).

Autokorelacja autokorelacja składnika losowego to korelacja między składnikami losowymi modelu autokorelacja między εt a εt-k określana jest mianem autokorelacji rzędu k i oznaczana przez ρ(k)

Autokorelacja: przyczyny natura procesów gospodarczych: skutki decyzji i zdarzeń ekonomicznych często rozciągają się na wiele miesięcy lub lat; procesy ekonomiczne, zwłaszcza w skali makro, cechują się pewną inercją błędy specyfikacji modelu: niepoprawna postać analityczna niepełny zestaw zmiennych objaśniających niewłaściwa struktura dynamiczna

jeżeli spełnione są założenia KMNK, w szczególności założenie o normalności rozkładu składnika losowego, reszty powinny być niezależne od siebie jeżeli spełnione są założenia KMNK, w szczególności założenie o normalności rozkładu składnika losowego, reszty powinny być niezależne od siebie jeżeli reszty są niezależne od siebie, to zachowują się w sposób czysto losowy. Znając wartość reszty z okresu t nie jesteśmy w stanie nic powiedzieć o wartości reszty w okresie t + 1. Inaczej zachowują się reszty, które są skorelowane:

A) Autokorelacja składników losowych Autokorelacja w modelu może być autokorelacją dodatnią: Wtedy, gdy obok siebie występować będą seriami składniki losowe takich samych znaków

A) Autokorelacja składników losowych Autokorelacja w modelu może być autokorelacją ujemną: Wtedy, gdy obok siebie występują składniki losowe o różnych znakach.

dodatnia autokorelacja jest znacznie częściej występującą formą autokorelacji, niż autokorelacja ujemna. Jest ona powszechnym zjawiskiem w przypadku modeli szacowanych na szeregach czasowych dodatnia autokorelacja jest znacznie częściej występującą formą autokorelacji, niż autokorelacja ujemna. Jest ona powszechnym zjawiskiem w przypadku modeli szacowanych na szeregach czasowych ujemna autokorelacja składnika losowego powoduje, ze większe jest prawdopodobieństwo zmiany znaku przez składnik losowy. Jeżeli w okresie t jest on dodatni, to w okresie t + 1 ze znacznie większym prawdopodobieństwem będzie on ujemny niż dodatni.

Autokorelacja: test Durbina-Watsona (DW) bardzo prosty test autokorelacji obciążony licznymi wadami: można go zastosować wyłącznie do modeli z wyrazem wolnym, bez opóźnionej zmiennej objaśnianej oraz o normalnym rozkładzie składnika losowego nie pozwala wykryć autokorelacji rzędu wyższego niż 1 nie zawsze prowadzi do uzyskania jednoznacznego wyniku

Autokorelacja: test DW – cd. H0: ρ =0 H1: ρ >0, lub ρ <0 statystyka empiryczna: z tablic testu DW odczytujemy dL i dU d >dU – brak autokorelacji; d < dL – a. występuje; d(dL, dU) – obszar niekonkluzywności d > 2 – a. ujemna; jw. dla 4-d

Autokorelacja: test mnożnika Lagrange’a (LM) bardzo ogólny test; nie dotyczą go ograniczenia testu DW procedura dwustopniowa; wymaga oszacowania modelu pomocniczego ma charakter asymptotyczny, tzn. można go stosować w dużych próbach (n > 30) statystyka (T-1)R2 ma rozkład χ2 z jednym stopniem swobody; (T-1)R2 > χkryt2 – odrzucamy H0 o braku autokorelacji

Autokorelacja: co dalej? dodanie zmiennych objaśniających zmiana postaci analitycznej modelu zmiana metody estymacji – Uogólniona Metoda Najmniejszych Kwadratów (UMNK), albo jej równoważniki: metoda Cochrane’a –Orcutta metoda Hildretha –Lu metoda Praisa - Winstena

D) Stałość wariancji składników losowych D) Stałość wariancji składników losowych Homoskedastyczność – składniki losowe w modelu mają stałą wariancję. Heteroskedastyczność – składniki losowe w modelu nie mają stałej wariancji. .

Heteroskedastyczność skutki heteroskedastyczności składnika losowego dla estymatorów MNK: estymatory są nieefektywne statystyki oparte na wariancjach (a więc i odchyleniach standardowych) estymatorów są niewiarygodne

Heteroskedastyczność: przyczyny wśród podmiotów zróżnicowanych między sobą można się spodziewać dużej zmienności zachowań, co może znaleźć odzwierciedlenie w kształtowaniu się składnika losowego udoskonalanie technik gromadzenia i przetwarzania informacji może spowodować, że wariancja składnika losowego modelu będzie maleć z upływem czasu test heteroskedastyczności może „wyłapać” błędną postać funkcyjną lub pominięte zmienne objaśniające

Heteroskedastyczność: test White’a procedura dwustopniowa: wymaga oszacowania modelu pomocniczego statystyka testowa (postaci T⋅R2, gdzie R2 jest współczynnikiem determinacji równania pomocniczego) ma rozkład χ2 o liczbie stopni swobody równej liczbie zmiennych objaśniających równania pomocniczego hipoteza zerowa: homoskedastyczność; T⋅R2> χkryt2 to odrzucamy H0

Heteroskedastyczność: test Goldfelda-Quandta test dla modeli z 1 zmienną objaśniającą x wymaga arbitralnego podziału zbioru obserwacji na dwie podpróby: jedną odpowiadającą dużym wartościom zmiennej x, a drugą – małym wartościom, a następnie porównania ich wariancji za pomocą testu F w celu łatwiejszego rozróżnienia pomiędzy wariancjami małymi i dużymi pomija się niekiedy „środkowe” wartości zmiennej

Heteroskedastyczność: co dalej? zmiana metody estymacji: Uogólniona Metoda Najmniejszych Kwadratów (UMNK), albo jej równoważnik ważona MNK: wartości każdej zmiennej mnoży się przez tzw. wagi (zależne od postaci heteroskedastyczności)

C) Normalność rozkładu składnika losowego Stosując wszystkie powyższe testy zakładaliśmy, że badana zmienna, a zatem składnik losowy, ma rozkład normalny. Testowanie normalności rozkładu Test Jarque’a-Bery, test Doornika-Hansena

Do wszystkich testów statystycznych Prawdopodobieństwo empiryczne – p-value, wartość-p Jest to prawdopodobieństwo przyjęcia przez statystykę wartości nie mniejszej od uzyskanej wartości statystyki z próby, przy założeniu, że hipoteza zerowa jest prawdziwa. Reguła decyzyjna: - brak podstaw do odrzucenia H0. - odrzucamy H0. Inaczej p value oznacza poziom istotności powyżej którego należy odrzucić hipotezę zerową.

Model tendencji rozwojowej Funkcja tendencji rozwojowej (trendu) należy do szczególnej klasy modeli, w których w roli zmiennej objaśniającej występuje czas. Zastosowanie tych modeli do analizy szeregów czasowych pozwala często wykryć pewne prawidłowości, które mogą determinować rozwój badanego zjawiska.

Składowe szeregów czasowych Wyróżnia się cztery składowe mające wpływ na zmienność zjawiska w ujęciu dynamicznym: trend (tendencja rozwojowa) – ciągłe i regularne zmiany jakim podlega dane zjawisko w długim okresie, wahania okresowe (często sezonowe) – odchylenia od wartości trendu powtarzające się regularnie co pewien okres, w przybliżeniu stały, wahania koniunkturalne – zmiany rozwoju gospodarki obserwowane w okresach kilku lub kilkunastoletnich, wahania przypadkowe – inne uboczne zmiany mające charakter całkowicie nieregularny.

Najczęściej stosowaną metodą wyodrębniania trendów jest metoda analityczna. funkcja matematyczna, w której zmienną zależną jest poziom obserwowanego w czasie zjawiska a zmienną niezależną – zmienna czasowa. Model szeregu czasowego ma wówczas postać

Model trendu liniowego Najczęściej spotykaną w praktyce funkcją tendencji rozwojowej jest funkcja liniowa. Model szeregu czasowego ma wówczas postać:

Aby wykonac prognoze na podstawie jednorównaniowego modelu opisowego, musi on charakteryzowac Aby wykonac prognoze na podstawie jednorównaniowego modelu opisowego, musi on charakteryzowac sie dobrymi własnosciami. Jego jakosc ocenia sie przy pomocy miar takich jak współczynnik determinacji czy istotnosc oszacowan. Równie wazna jest weryfikacja merytoryczna, czyli znaki a w przypadku modeli nieliniowych wartosci elastycznosci. Same prognozy moga miec charakter punktowy (wynikiem jest konkretna wartosc liczbowa) lub przedziałowy (otrzymujemy przedział, który z okreslonym prawdopodobienstwem zawiera przyszła realizacje zmiennej prognozowanej). Dodatkowo zakładamy, ze relacje miedzy zmiennymi pozostana stałe w czasie. Oznacza to, ze postac funkcyjna modelu oraz wzajemne oddziaływanie zmiennych sa stałe z okresem prognozy włacznie. To załozenie (szczególnie w realiach ekonomicznych) jest bardzo silne. Podobne załozenia czynimy w przypadku omawianych ponizej modeli trendu. Składnik losowy równiez pozostaje stały w czasie co oznacza, ze nie powinny pojawic sie nowe zmienne wpływajace na prognozowane zjawisko przy okazji zmieniajac juz ustalone relacje. W okresie prognozowanym musimy znac wartosci zmiennych objasniajacych. Kiedy nie jest mozliwe, w sukurs przychodza metody prognozowania szeregów czasowych. Mozna równiez konstruowac dodatkowe równania, słuzace otrzymaniu przyszłych wartosci pozadanych zmiennych. Zazwyczaj takie postepowanie prowadzi do otrzymania układu powiazanych ze soba równan. Niekiedy zas (w analizach okreslonych scenariuszy) zakłada sie z góry wartosci zmiennych egzogenicznych co upodabnia postepowanie do analizy mnoznikowej. Prognozy na podstawie modeli ekonometrycznych, w których uwzglednia sie fakt sezonowosci zmiennych, zakładaja istnienie sezonowosci równiez w okresie prognozy. Sezonowosc ta ma zachowany dotychczasowy okres wahan.

Same prognozy moga miec charakter punktowy (wynikiem jest konkretna wartosc liczbowa) lub przedziałowy (otrzymujemy przedział, który z okreslonym prawdopodobienstwem zawiera przyszła realizacje zmiennej prognozowanej). Dodatkowo zakładamy, ze relacje miedzy zmiennymi pozostana stałe w czasie. Oznacza to, ze postac funkcyjna modelu oraz wzajemne oddziaływanie zmiennych sa stałe z okresem prognozy włacznie. To załozenie (szczególnie w realiach ekonomicznych) jest bardzo silne. Podobne załozenia czynimy w przypadku omawianych ponizej modeli trendu.

Składnik losowy równiez pozostaje stały w czasie co oznacza, ze nie powinny pojawic sie nowe Składnik losowy równiez pozostaje stały w czasie co oznacza, ze nie powinny pojawic sie nowe zmienne wpływajace na prognozowane zjawisko przy okazji zmieniajac juz ustalone relacje. W okresie prognozowanym musimy znac wartosci zmiennych objasniajacych. Kiedy nie jest mozliwe, w sukurs przychodza metody prognozowania szeregów czasowych. Mozna równiez konstruowac dodatkowe równania, słuzace otrzymaniu przyszłych wartosci pozadanych zmiennych. Zazwyczaj takie postepowanie prowadzi do otrzymania układu powiazanych ze soba równan. Niekiedy zas (w analizach okreslonych scenariuszy) zakłada sie z góry wartosci zmiennych egzogenicznych co upodabnia postepowanie do analizy mnoznikowej. Prognozy na podstawie modeli ekonometrycznych, w których uwzglednia sie fakt sezonowosci zmiennych, zakładaja istnienie sezonowosci równiez w okresie prognozy. Sezonowosc ta ma zachowany dotychczasowy okres wahan.