🗊Презентация Алгебра и геометрия. Основные понятия

Категория: Математика
Нажмите для полного просмотра!
Алгебра и геометрия. Основные понятия, слайд №1Алгебра и геометрия. Основные понятия, слайд №2Алгебра и геометрия. Основные понятия, слайд №3Алгебра и геометрия. Основные понятия, слайд №4Алгебра и геометрия. Основные понятия, слайд №5Алгебра и геометрия. Основные понятия, слайд №6Алгебра и геометрия. Основные понятия, слайд №7Алгебра и геометрия. Основные понятия, слайд №8Алгебра и геометрия. Основные понятия, слайд №9Алгебра и геометрия. Основные понятия, слайд №10Алгебра и геометрия. Основные понятия, слайд №11Алгебра и геометрия. Основные понятия, слайд №12Алгебра и геометрия. Основные понятия, слайд №13Алгебра и геометрия. Основные понятия, слайд №14Алгебра и геометрия. Основные понятия, слайд №15Алгебра и геометрия. Основные понятия, слайд №16Алгебра и геометрия. Основные понятия, слайд №17Алгебра и геометрия. Основные понятия, слайд №18Алгебра и геометрия. Основные понятия, слайд №19Алгебра и геометрия. Основные понятия, слайд №20Алгебра и геометрия. Основные понятия, слайд №21Алгебра и геометрия. Основные понятия, слайд №22Алгебра и геометрия. Основные понятия, слайд №23Алгебра и геометрия. Основные понятия, слайд №24Алгебра и геометрия. Основные понятия, слайд №25Алгебра и геометрия. Основные понятия, слайд №26Алгебра и геометрия. Основные понятия, слайд №27Алгебра и геометрия. Основные понятия, слайд №28Алгебра и геометрия. Основные понятия, слайд №29Алгебра и геометрия. Основные понятия, слайд №30Алгебра и геометрия. Основные понятия, слайд №31Алгебра и геометрия. Основные понятия, слайд №32Алгебра и геометрия. Основные понятия, слайд №33Алгебра и геометрия. Основные понятия, слайд №34Алгебра и геометрия. Основные понятия, слайд №35Алгебра и геометрия. Основные понятия, слайд №36Алгебра и геометрия. Основные понятия, слайд №37Алгебра и геометрия. Основные понятия, слайд №38Алгебра и геометрия. Основные понятия, слайд №39Алгебра и геометрия. Основные понятия, слайд №40Алгебра и геометрия. Основные понятия, слайд №41Алгебра и геометрия. Основные понятия, слайд №42Алгебра и геометрия. Основные понятия, слайд №43Алгебра и геометрия. Основные понятия, слайд №44Алгебра и геометрия. Основные понятия, слайд №45Алгебра и геометрия. Основные понятия, слайд №46Алгебра и геометрия. Основные понятия, слайд №47Алгебра и геометрия. Основные понятия, слайд №48Алгебра и геометрия. Основные понятия, слайд №49Алгебра и геометрия. Основные понятия, слайд №50Алгебра и геометрия. Основные понятия, слайд №51
Скачать

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Алгебра и геометрия. Основные понятия. Доклад-сообщение содержит 51 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1


АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (учебная дисциплина) Составители доценты кафедры математики и моделирования ВГУЭС Шуман Галина Ивановна Волгина Ольга Алексеевна
Описание слайда:
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (учебная дисциплина) Составители доценты кафедры математики и моделирования ВГУЭС Шуман Галина Ивановна Волгина Ольга Алексеевна

Слайд 2


Элементы векторной алгебры
Описание слайда:
Элементы векторной алгебры

Слайд 3


Содержание § 1. Основные понятия § 2. Линейные операции над векторами § 3. Проекция вектора на ось § 4. Координаты вектора § 5. Скалярное произведение векторов § 6. Векторное произведение векторов § 7. Смешанное произведение векторов
Описание слайда:
Содержание § 1. Основные понятия § 2. Линейные операции над векторами § 3. Проекция вектора на ось § 4. Координаты вектора § 5. Скалярное произведение векторов § 6. Векторное произведение векторов § 7. Смешанное произведение векторов

Слайд 4


§ 1. Основные понятия Вектор – это направленный прямолинейный отрезок, то есть отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление. Если точка А – начало вектора, а точка В – его конец, то вектор обозначается символом или . Вектор (у него начало в точке В, а конец в точке А) называется противоположным вектору . Вектор, противоположный вектору и обозначается .
Описание слайда:
§ 1. Основные понятия Вектор – это направленный прямолинейный отрезок, то есть отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление. Если точка А – начало вектора, а точка В – его конец, то вектор обозначается символом или . Вектор (у него начало в точке В, а конец в точке А) называется противоположным вектору . Вектор, противоположный вектору и обозначается .

Слайд 5


§ 1. Основные понятия Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной или модулем и обозначается . Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается . Нулевой вектор не имеет определенного направления.
Описание слайда:
§ 1. Основные понятия Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной или модулем и обозначается . Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается . Нулевой вектор не имеет определенного направления.

Слайд 6


§ 1. Основные понятия Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается . Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора , называется ортом (орт) вектора и обозначается .
Описание слайда:
§ 1. Основные понятия Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается . Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора , называется ортом (орт) вектора и обозначается .

Слайд 7


§ 1. Основные понятия Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых, обозначается коллинеарность . Коллинеарные векторы могут быть сонаправлены () и противоположно направлены ().
Описание слайда:
§ 1. Основные понятия Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых, обозначается коллинеарность . Коллинеарные векторы могут быть сонаправлены () и противоположно направлены ().

Слайд 8


§ 1. Основные понятия Два вектора называются равными, если они коллинеарные, одинаково направлены и имеют равные длины.
Описание слайда:
§ 1. Основные понятия Два вектора называются равными, если они коллинеарные, одинаково направлены и имеют равные длины.

Слайд 9


§ 1. Основные понятия Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Описание слайда:
§ 1. Основные понятия Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Слайд 10


§ 2. Линейные операции над векторами Линейными операциями над векторами называют операции сложения, вычитания векторов и умножение вектора на число. Пусть и - два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку О и построим вектор . От точки А отложим вектор . Вектор , соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммой векторов и : .
Описание слайда:
§ 2. Линейные операции над векторами Линейными операциями над векторами называют операции сложения, вычитания векторов и умножение вектора на число. Пусть и - два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку О и построим вектор . От точки А отложим вектор . Вектор , соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммой векторов и : .

Слайд 11


§ 2. Линейные операции над векторами Это правило сложения векторов называют правилом треугольника.
Описание слайда:
§ 2. Линейные операции над векторами Это правило сложения векторов называют правилом треугольника.

Слайд 12


§ 2. Линейные операции над векторами Правило треугольника можно применять для любого конечного числа складываемых векторов. Сумму двух векторов можно построить и по правилу параллелограмма.
Описание слайда:
§ 2. Линейные операции над векторами Правило треугольника можно применять для любого конечного числа складываемых векторов. Сумму двух векторов можно построить и по правилу параллелограмма.

Слайд 13


§ 2. Линейные операции над векторами Разностью векторов и называется вектор такой, что .
Описание слайда:
§ 2. Линейные операции над векторами Разностью векторов и называется вектор такой, что .

Слайд 14


§ 2. Линейные операции над векторами Таким образом, если на векторах и , отложенных из общей точки О, построить параллелограмм ОАСВ, то вектор , совпадающий с одной диагональю, равен сумме , а второй , совпадающий с другой диагональю, - разности .
Описание слайда:
§ 2. Линейные операции над векторами Таким образом, если на векторах и , отложенных из общей точки О, построить параллелограмм ОАСВ, то вектор , совпадающий с одной диагональю, равен сумме , а второй , совпадающий с другой диагональю, - разности .

Слайд 15


§ 2. Линейные операции над векторами
Описание слайда:
§ 2. Линейные операции над векторами

Слайд 16


§ 2. Линейные операции над векторами Произведением вектора на число (скаляр) называется вектор , который имеет длину , коллинеарный вектору , имеет направление вектора , если и противоположное направление, если .
Описание слайда:
§ 2. Линейные операции над векторами Произведением вектора на число (скаляр) называется вектор , который имеет длину , коллинеарный вектору , имеет направление вектора , если и противоположное направление, если .

Слайд 17


§ 2. Линейные операции над векторами Из определения следует: два вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда имеет место равенство : .
Описание слайда:
§ 2. Линейные операции над векторами Из определения следует: два вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда имеет место равенство : .

Слайд 18


§ 2. Линейные операции над векторами Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами: 1) ; 2) ; 3) ;
Описание слайда:
§ 2. Линейные операции над векторами Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами: 1) ; 2) ; 3) ;

Слайд 19


§ 2. Линейные операции над векторами 4) ; 5) ; 6) 7) .
Описание слайда:
§ 2. Линейные операции над векторами 4) ; 5) ; 6) 7) .

Слайд 20


§ 3. Проекция вектора на ось Пусть в пространстве задана ось l, то есть направленная прямая. Проекцией точки М на ось l называется основание перпендикуляра , опущенного из точки М на ось.
Описание слайда:
§ 3. Проекция вектора на ось Пусть в пространстве задана ось l, то есть направленная прямая. Проекцией точки М на ось l называется основание перпендикуляра , опущенного из точки М на ось.

Слайд 21


§ 3. Проекция вектора на ось Пусть - произвольный вектор ( ). Обозначим через и проекции на ось l соответственно начала А и конца В вектора . Вектор называется составляющей вектора по оси l и обозначается .
Описание слайда:
§ 3. Проекция вектора на ось Пусть - произвольный вектор ( ). Обозначим через и проекции на ось l соответственно начала А и конца В вектора . Вектор называется составляющей вектора по оси l и обозначается .

Слайд 22


§ 3. Проекция вектора на ось Проекцией вектора на ось l называется положительное число , если вектор и ось l сонаправлены, отрицательное число -, если вектор и ось l противоположно направлены и 0, если . Проекция вектора на ось l обозначается .
Описание слайда:
§ 3. Проекция вектора на ось Проекцией вектора на ось l называется положительное число , если вектор и ось l сонаправлены, отрицательное число -, если вектор и ось l противоположно направлены и 0, если . Проекция вектора на ось l обозначается .

Слайд 23


§ 3. Проекция вектора на ось Основные свойства проекций: 1. Проекция вектора на ось l равна произведению модуля вектора на косинус угла между вектором и осью, то есть . Следствие 1. Проекция вектора на ось положительна, если вектор образует с осью острый угол, отрицательна, если этот угол – тупой, и равна нулю, если этот угол – прямой.
Описание слайда:
§ 3. Проекция вектора на ось Основные свойства проекций: 1. Проекция вектора на ось l равна произведению модуля вектора на косинус угла между вектором и осью, то есть . Следствие 1. Проекция вектора на ось положительна, если вектор образует с осью острый угол, отрицательна, если этот угол – тупой, и равна нулю, если этот угол – прямой.

Слайд 24


§ 3. Проекция вектора на ось Следствие 2. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой. 2. Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось равна сумме их проекций на эту ось .
Описание слайда:
§ 3. Проекция вектора на ось Следствие 2. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой. 2. Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось равна сумме их проекций на эту ось .

Слайд 25


§ 3. Проекция вектора на ось 3. При умножении вектора на число его проекция на ось также умножается на это число, то есть . Заметем, что проекция вектора на ось l и его составляющая связаны соотношением .
Описание слайда:
§ 3. Проекция вектора на ось 3. При умножении вектора на число его проекция на ось также умножается на это число, то есть . Заметем, что проекция вектора на ось l и его составляющая связаны соотношением .

Слайд 26


§ 4. Координаты вектора Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. Выделим на координатных осях Ox, Oy и Oz единичные векторы соответственно, - произвольный вектор. Обозначим , тогда .
Описание слайда:
§ 4. Координаты вектора Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. Выделим на координатных осях Ox, Oy и Oz единичные векторы соответственно, - произвольный вектор. Обозначим , тогда .

Слайд 27


§ 4. Координаты вектора Полученная формула является основной в векторном исчислении и называется разложением вектора по ортам координатных осей. Числа называются координатами вектора , то есть координаты вектора – это его проекции на соответствующие координатные оси.
Описание слайда:
§ 4. Координаты вектора Полученная формула является основной в векторном исчислении и называется разложением вектора по ортам координатных осей. Числа называются координатами вектора , то есть координаты вектора – это его проекции на соответствующие координатные оси.

Слайд 28


§ 4. Координаты вектора Модуль вектора (длина вектора) равен квадратному корню из суммы квадратов координат (проекцией) этого вектора . Пусть вектор образует с осями Ox, Oy, Oz углы соответственно. По свойству проекции вектора на ось имеем .
Описание слайда:
§ 4. Координаты вектора Модуль вектора (длина вектора) равен квадратному корню из суммы квадратов координат (проекцией) этого вектора . Пусть вектор образует с осями Ox, Oy, Oz углы соответственно. По свойству проекции вектора на ось имеем .

Слайд 29


§ 4. Координаты вектора Или, что то же самое, . Числа называются направляющими косинусами вектора. , то есть сумма квадратов направляющих косинусов ненулевого вектора равна единице.
Описание слайда:
§ 4. Координаты вектора Или, что то же самое, . Числа называются направляющими косинусами вектора. , то есть сумма квадратов направляющих косинусов ненулевого вектора равна единице.

Слайд 30


§ 4. Координаты вектора Заметим, что координатами единичного вектора являются числа , то есть .
Описание слайда:
§ 4. Координаты вектора Заметим, что координатами единичного вектора являются числа , то есть .

Слайд 31


§ 4. Координаты вектора Из свойств проекций (а координаты вектора – это его проекции на оси координат) следует: если , то 1) тогда и только тогда, когда - равные векторы имеют соответственно равные координаты;
Описание слайда:
§ 4. Координаты вектора Из свойств проекций (а координаты вектора – это его проекции на оси координат) следует: если , то 1) тогда и только тогда, когда - равные векторы имеют соответственно равные координаты;

Слайд 32


§ 4. Координаты вектора 2) - при сложении векторов соответствующие координаты складываются, при вычитании – вычитаются; 3) - при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число;
Описание слайда:
§ 4. Координаты вектора 2) - при сложении векторов соответствующие координаты складываются, при вычитании – вычитаются; 3) - при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число;

Слайд 33


§ 4. Координаты вектора 4) , то есть или условие коллинеарности двух векторов в координатной форме.
Описание слайда:
§ 4. Координаты вектора 4) , то есть или условие коллинеарности двух векторов в координатной форме.

Слайд 34


§ 4. Координаты вектора Говорят, что точка М делит отрезок в отношении , если , или где .
Описание слайда:
§ 4. Координаты вектора Говорят, что точка М делит отрезок в отношении , если , или где .

Слайд 35


§ 4. Координаты вектора Векторы и коллинеарны , поэтому . После преобразований получим формулы вычисления координат точки М, делящей отрезок в данном отношении :
Описание слайда:
§ 4. Координаты вектора Векторы и коллинеарны , поэтому . После преобразований получим формулы вычисления координат точки М, делящей отрезок в данном отношении :

Слайд 36


§ 4. Координаты вектора Если точка М делит отрезок пополам, то , тогда
Описание слайда:
§ 4. Координаты вектора Если точка М делит отрезок пополам, то , тогда

Слайд 37


§ 5. Скалярное произведение векторов Скалярным произведением двух ненулевых векторов и ( ) называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Обозначается . , где .
Описание слайда:
§ 5. Скалярное произведение векторов Скалярным произведением двух ненулевых векторов и ( ) называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Обозначается . , где .

Слайд 38


§ 5. Скалярное произведение векторов Пусть заданы два вектора и . Тогда
Описание слайда:
§ 5. Скалярное произведение векторов Пусть заданы два вектора и . Тогда

Слайд 39


§ 5. Скалярное произведение векторов Свойства скалярного произведения: 1) ; 2) ; 3) ; 4) тогда и только тогда, когда , или , или ; 5) - скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.
Описание слайда:
§ 5. Скалярное произведение векторов Свойства скалярного произведения: 1) ; 2) ; 3) ; 4) тогда и только тогда, когда , или , или ; 5) - скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

Слайд 40


§ 6. Векторное произведение векторов Три некомпланарных вектора , и , взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если смотреть с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой. Три некомпланарных вектора , и , взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора кратчайший по ворпроооот от первого вектора ко второму вектору виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой.
Описание слайда:
§ 6. Векторное произведение векторов Три некомпланарных вектора , и , взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если смотреть с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой. Три некомпланарных вектора , и , взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора кратчайший по ворпроооот от первого вектора ко второму вектору виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой.

Слайд 41


§ 6. Векторное произведение векторов Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , который: 1) перпендикулярен векторам и , то есть , ; 2) имеет длину , где ; 3) векторы , и образуют правую тройку.
Описание слайда:
§ 6. Векторное произведение векторов Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , который: 1) перпендикулярен векторам и , то есть , ; 2) имеет длину , где ; 3) векторы , и образуют правую тройку.

Слайд 42


§ 6. Векторное произведение векторов Векторное произведение обозначается , то есть . Из условия (2) следует, что длина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и , как на сторонах: , .
Описание слайда:
§ 6. Векторное произведение векторов Векторное произведение обозначается , то есть . Из условия (2) следует, что длина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и , как на сторонах: , .

Слайд 43


§ 6. Векторное произведение векторов
Описание слайда:
§ 6. Векторное произведение векторов

Слайд 44


§ 6. Векторное произведение векторов Свойства векторного произведения: 1) ; 2) ); 3) ; 4) тогда и только тогда, когда , или , или ; 5) .
Описание слайда:
§ 6. Векторное произведение векторов Свойства векторного произведения: 1) ; 2) ); 3) ; 4) тогда и только тогда, когда , или , или ; 5) .

Слайд 45


§ 6. Векторное произведение векторов Пусть заданы два вектора и . Тогда векторное произведение этих векторов может быть найдено с помощью определителя третьего порядка
Описание слайда:
§ 6. Векторное произведение векторов Пусть заданы два вектора и . Тогда векторное произведение этих векторов может быть найдено с помощью определителя третьего порядка

Слайд 46


§ 7. Смешанное произведение векторов Смешанным или векторно-скалярным произведением трех векторов (обозначается ) называется произведение вида . Пусть заданы векторы , и . Векторное произведение векторов и - это вектор, равный
Описание слайда:
§ 7. Смешанное произведение векторов Смешанным или векторно-скалярным произведением трех векторов (обозначается ) называется произведение вида . Пусть заданы векторы , и . Векторное произведение векторов и - это вектор, равный

Слайд 47


§ 7. Смешанное произведение векторов = а вектор , тогда скалярное произведение векторов и имеет вид
Описание слайда:
§ 7. Смешанное произведение векторов = а вектор , тогда скалярное произведение векторов и имеет вид

Слайд 48


§ 7. Смешанное произведение векторов смешанное произведение трех векторов в координатной форме.
Описание слайда:
§ 7. Смешанное произведение векторов смешанное произведение трех векторов в координатной форме.

Слайд 49


§ 7. Смешанное произведение векторов Свойства смешанного произведения: 1) смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, то есть ; 2) смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест любых двух векторов - сомножителей, то есть , ,
Описание слайда:
§ 7. Смешанное произведение векторов Свойства смешанного произведения: 1) смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, то есть ; 2) смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест любых двух векторов - сомножителей, то есть , ,

Слайд 50


§ 7. Смешанное произведение векторов 3) смешанное произведение ненулевых векторов , и равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны, то есть векторы , , -компланарны ();
Описание слайда:
§ 7. Смешанное произведение векторов 3) смешанное произведение ненулевых векторов , и равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны, то есть векторы , , -компланарны ();

Слайд 51


§ 7. Смешанное произведение векторов 4) смешанное произведение трех векторов с точностью до знака равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах. Можно записать: Объем тетраэдра (треугольной пирамиды), построенного на векторах , , равен
Описание слайда:
§ 7. Смешанное произведение векторов 4) смешанное произведение трех векторов с точностью до знака равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах. Можно записать: Объем тетраэдра (треугольной пирамиды), построенного на векторах , , равен

Скачать

Похожие презентации
Mypresentation.ru
Загрузить презентацию