🗊Презентация Алгебра. Исторический очерк

Научная работа Алгебра- часть математики посвещенная изучению алгебраических операции Санивская Вероника 10-А

Исторический очерк

А. пред­ше­ст­во­ва­ла ариф­ме­ти­ка, опе­ра­ция­ми ко­то­рой бы­ли сло­же­ние, вы­чи­та­ние, ум­но­же­ние и де­ле­ние чи­сел, cначала толь­ко це­лых, а за­тем и дроб­ных. Вна­ча­ле от­ли­чие А. от ариф­ме­ти­ки за­клю­ча­лось в том, что в А. вво­ди­лась не­из­вест­ная ве­ли­чи­на, дей­ст­вия над ко­то­рой, дик­туе­мые ус­ло­вия­ми за­да­чи, при­во­ди­ли к урав­не­нию, из ко­то­ро­го на­хо­ди­лась эта не­из­вест­ная ве­ли­чи­на. Эле­мент та­кой трак­тов­ки ариф­ме­тич. за­дач со­дер­жит­ся в др.-егип. па­пи­ру­се Ах­ме­са (см. в ст. Па­пи­ру­сы ма­те­ма­ти­че­ские), где ис­ко­мая ве­ли­чи­на обо­зна­ча­ет­ся со­от­вет­ст­вую­щим иеро­гли­фом. Древ­ние егип­тя­не ре­ша­ли и дос­таточ­но слож­ные за­да­чи (свя­зан­ные, напр., с ариф­ме­тич. и гео­мет­рич. про­грес­сия­ми). Как фор­му­ли­ров­ка за­дач, так и ре­ше­ния да­ва­лись в сло­вес­ной фор­ме и толь­ко в ви­де кон­крет­ных чис­лен­ных при­ме­ров. В нач. 20 в. бы­ли рас­шиф­ро­ва­ны кли­но­пис­ные ма­те­ма­ти­че­ские тек­сты и дру­гой древ­ней­шей куль­ту­ры – ва­ви­лон­ской. Ва­ви­ло­ня­не уже за 4000 лет до на­ших дней с по­мо­щью спец. таб­лиц уме­ли ре­шать раз­но­об­раз­ные за­да­чи; не­ко­то­рые из них рав­но­силь­ны ре­ше­нию квад­рат­ных урав­не­ний и да­же од­но­го ви­да урав­не­ний 3-й сте­пе­ни.

Ло­гич. до­ка­за­тель­ст­ва в ма­те­ма­ти­ку впер­вые вве­ли др.-греч. гео­мет­ры. В рам­ках гео­мет­рич. ме­то­да мн. ма­те­ма­тич. во­про­сы пе­ре­во­ди­лись на язык гео­мет­рии: ве­ли­чи­ны трак­то­ва­лись как дли­ны, про­из­ве­де­ние двух ве­ли­чин – как пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка и т. д. В совр. ма­те­ма­тич. язы­ке со­хра­ни­лось, напр., назв. «квад­рат» для про­из­ве­де­ния ве­ли­чи­ны на са­моё се­бя. К дру­гой, не­гео­мет­рич. ли­нии раз­ви­тия др.-греч. ма­тема­ти­ки от­но­сит­ся трак­тат Дио­фан­та «Ариф­ме­ти­ка», в ко­то­ром он до­воль­но сво­бод­но опе­ри­ру­ет с урав­не­ния­ми 1-й, 2-й и бо­лее вы­со­ких сте­пе­ней. В этом трак­та­те мож­но най­ти по­пыт­ки упот­реб­ле­ния бу­к­вен­ной сим­во­ли­ки и от­ри­ца­тель­ных чи­сел. На кон­крет­ных при­ме­рах пред­вос­хи­ща­ют­ся ме­то­ды ре­ше­ния в ра­цио­наль­ных чис­лах урав­не­ний 3-й сте­пе­ни с дву­мя не­из­вест­ны­ми. Дос­ти­же­ния др.-греч. нау­ки раз­ви­ва­лись учё­ны­ми ср.-век. Вос­то­ка, в т. ч. аль-Хо­рез­ми и Би­ру­ни. Учё­ные Вос­то­ка пе­ре­да­ли Ев­ро­пе из­вест­ную им ма­те­ма­ти­ку в сво­ей ори­ги­наль­ной пе­ре­ра­бот­ке, при­чём осо­бен­но мно­го они за­ни­ма­лись имен­но А. Тер­мин «А.» про­ис­хо­дит от на­зва­ния со­чи­не­ния аль-Хо­рез­ми «Аль-джебр аль-му­ка­ба-ла», оз­на­чаю­ще­го один из приё­мов пре­об­ра­зо­ва­ния урав­не­ний. Со вре­ме­ни аль-Хо­рез­ми А. мож­но рас­смат­ри­вать как отд. раз­дел ма­те­ма­ти­ки.

Математики ср.-век. Востока все действия излагали словами. Дальнейший прогресс А. стал возможным только после появления удобных символов для обозначения действий (см. Математические знаки). Этот процесс шёл очень медленно, и только в конце 15 в. появились принятые теперь знаки + и –. Затем были введены и получили всеобщее признание знаки, обозначающие степень, корень, а также скобки. К сер. 17 в. полностью сложился аппарат символов совр. А. – употребление букв для обозначения не только искомого неизвестного, но и всех вообще входящих в задачу величин. До этого в А. и арифметике как бы не было общих правил и доказательств; рассматривались исключительно численные примеры, почти невозможно было высказать к.-л. общие суждения. Даже элементарные учебники того времени давали десятки частных правил вместо одного общего. Ф. Виет (1591) первым начал писать задачи в общем виде, обозначая неизвестные величины гласными A,E,I,…,A,E,I,…, а известные – согласными B,C,D,….B,C,D,…. Эти буквы он соединял имевшимися в то время знаками математич. операций, т. о. впервые возникли буквенные формулы, характерные для совр. А. Начиная с Р. Декарта для неизвестных употребляют, как правило, последние буквы лат. алфавита x,y,zx,y,z.

Введение символич. обозначений и операций над буквами, заменяющими конкретные числа, имело исключительно важное значение. Без этого языка формул было бы немыслимо бурное развитие математики начиная с 17 в., создание математич. анализа, математич. выражения законов механики и физики и пр. Исторически первой задачей А. было решение алгебраич. уравнений, т. е. нахождение их корней. Важную роль в решении уравнений сыграло появление отрицательных чисел. Они были введены инд. математиками в 10 в., но учё- ные ср.-век. Востока их не использовали. С отрицательными числами свыкались постепенно; этому способствовали коммерч. вычисления, в которых отрицательные числа имеют наглядный смысл, напр. убытка, недостатка, долга. Окончательно отрицательные числа вошли в употребление только в 17 в., после того как Р. Декарт предложил их наглядное геометрич. представление. При решении алгебраических уравнений возникла потребность расширения числовой области. Так, при решении уравнений 2-й степени появляются иррациональные числа (см. также Алгебраическое число). С извлечением корней сталкивались ещё др.-греч. и ср.-азиат. математики, которые предложили остроумные способы их приближённого вычисления. Взгляд на иррациональность как на число установился значительно позже. Введение комплексных чисел относится к 18 в.

Любое уравнение nn-й степени имеет nn корней, вообще говоря комплексных, причём это верно и для уравнений с комплексными коэффициентами. Эта важная теорема, носящая название основной теоремы А., была впервые сформулирована в 17 в., её доказательство было дано в кон. 18 в. К. Гауссом. Все известные доказательства должны были в той или иной форме использовать непрерывность; т. о., доказательство основной теоремы А. выходило за пределы А., демонстрируя неразрывность математики в целом. Многие теоретич. и практич. вопросы приводят не к одному уравнению, а к системам уравнений с неск. неизвестными. Особенно важен случай систем линейных уравнений. К этим простейшим системам сводятся системы уравнений, встречающихся на практике. Решение систем линейных уравнений составляет существенную часть при численном решении разнообразных прикладных задач. Г. Лейбниц (1693) обратил внимание на то, что при изучении систем линейных уравнений важную роль играет матрица, составленная из их коэффициентов. Впоследствии матрицы стали предметом самостоят. изучения в А., т. к. их роль не исчерпывается приложениями к теории систем линейных уравнений. Появление аналитической геометрии тесно связано с А. Если у древних греков чисто алгебраич. задачи облекались в геометрич. форму, то теперь алгебраич. средства выражения оказались настолько удобными и наглядными, что геометрич. задачи переводились на язык алгебраич. формул.

В кон. 17 – нач. 18 вв. был создан и быстро распространился анализ бесконечно малых, сыгравший важнейшую роль в развитии математики и её приложений, что во многом было подготовлено развитием А. В частности, буквенные выражения и действия над ними способствовали зарождению ещё в 16–17 вв. взгляда на математич. величины как на переменные, что характерно для анализа бесконечно малых, где непрерывному изменению одной величины обычно соответствует непрерывное изменение другой (функции от этой переменной). А. и математич. анализ развивались в 17–18 вв. в тесной связи. В А. проникали понятия и методы анализа, в этом направлении её обогатил И. Ньютон. С др. стороны, А. дала анализу развитый набор формул и преобразований, сыгравших большую роль в начальный период развития интегрального исчисления и теории дифференциальных уравнений. Крупным событием в А. этого периода было появление учебника Л. Эйлера. Отличие А. от анализа в 18–19 вв. характеризуется тем, что А. имеет своим осн. предметом дискретное, конечное. Осн. операции, напр. сложение, производятся в А. конечное число раз. Эту особенность А. подчеркнул в 1-й пол. 19 в. Н. И. Лобачевский, назвав одну из своих книг «Алгебра, или Вычисление конечных» (1834). К 18 в. А. сложилась примерно в том объёме, который до наших дней преподаётся в средней школе. Эта А. охватывает действия сложения, умножения с обратными им действиями вычитания и деления, а также возведение в степень и обратное ему извлечение корня. Эти действия проводятся над числами или буквами, которые могут обозначать положительные или отрицательные, рациональные или иррациональные числа. На рус. языке изложение элементарной А. в виде, сложившемся к нач. 18 в., было впервые дано в «Арифметике…» Л. Ф. Магницкого.

А. 18–19 вв. есть прежде всего А. многочленов. Предмет А., таким образом, оказывается значительно уже, чем предмет анализа. Вместе с тем А. и математич. анализ продолжают иметь много точек соприкосновения, и разграничение между ними не является жёстким. Во многих случаях изучение многочленов как довольно простых функций помогало развитию общей теории функций. Через всю историю математики проходит тенденция сведения изучения более сложных функций к изучению многочленов или рядов. С др. стороны, А. начинает всё больше пользоваться идеями непрерывности и бесконечности, характерными для математич. анализа.

Современное состояние алгебры Для совр. А. характерно то, что в центре внимания оказываются свойства операций, а не объектов, над которыми производятся эти операции. Простой пример даёт возможность проследить, как это происходит. Известна формула (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)2=a2+2ab+b2. Её выводом является цепочка равенств: (a+b)2=(a+b)(a+b)==(a+b)a+(a+b)b=(a2+ba)+(ab+b2)==a2+(ba+ab)+b2=a2+2ab+b2. (a+b)2=(a+b)(a+b)==(a+b)a+(a+b)b=(a2+ba)+(ab+b2)==a2+(ba+ab)+b2=a2+2ab+b2. Здесь дважды использован закон дистрибутивности, закон ассоциативности при сложении позволяет перегруппировать слагаемые, наконец, используется закон коммутативности ba=abba=ab. Что представляют собой объекты, обозначенные буквами aa и bb, не имеет значения; важно, чтобы они принадлежали множеству, в котором определены две операции, сложение и умножение, удовлетворяющие перечисленным требованиям, касающимся свойств операций, а не объектов. Формула останется верной, если aa и bb означают векторы, в этом случае сложение в левой части – это сложение векторов, а в правой части формулы – сложение чисел; под умножением понимается скалярное умножение векторов. В этой формуле вместо aa и bb можно подставить также коммутирующие матрицы (т. е. такие, что ab=baab=ba, что для матриц может не выполняться), операторы дифференцирования по двум независимым переменным и др.

Предмет алгебры Предметом изучения современной алгебры являются множества с заданными на них алгебраическими операциями. При этом если между такими множествами можно установить изоморфизм (взаимно-однозначное соответствие, сохраняющее операции), то множества считаются одинаковыми, и поэтому природа множеств безразлична. Следовательно, объектом изучения алгебры являются сами алгебраические операции. Примером изучаемого в рамках алгебры множества с операцией является группа: множество с одной ассоциативной бинарной операцией, содержащее единицу и для каждого элемента — обратный элемент. Понятие группы появилось в теории Галуа в 19 веке, в которой группы сопоставлялись уравнениям, а условием разрешимости уравнения в радикалах оказалась разрешимость соответствующей группы. В дальнейшем были изучены такие обобщения групп, как полугруппы, квазигруппы и лупы. В рамках алгебры изучаются такие алгебраические множества с двумя бинарными операциями как кольца и поля. В этих структурах одна из операций называется сложением (она коммутативна и каждый элемент имеет обратный), а другая операция — умножением (обычно, она предполагается ассоциативной, хотя могут изучаться и неассоциативные кольца). В рамках линейной алгебры изучается линейное пространство с операцией сложения, а также с умножением на элементы основного поля (скаляры). Модуль — обобщение линейного пространства, в нем вместо поля скаляров элементы модуля умножаются на элементы кольца, которое берется вместо основного поля.

Основные разделы алгебры : а) Алгебраическое выражение

составленное из букв и цифр, соединённых знаками действий сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в целую степень и извлечения корня (показатели степени и корня должны быть постоянными числами). А. в. называется рациональным относительно некоторых букв, в него входящих, если оно не содержит их под знаком извлечения корня, например  рационально относительно a, b и с. А. в. называется целым относительно некоторых букв, если оно не содержит деления на выражения, содержащие эти буквы, например 3а/с + bc2 - 3ас/4 является целым относительно а и b. Если некоторые из букв (или все) считать переменными, то А. в. есть Алгебраическая функция.

Алгебраическое выражение пример :

Алгебраическое выражение пример:

б) Функции и их графики

Понятие функции Зависимость одной переменной у от другой х, при которой каждому значению переменной х из определенного множества D соответствует единственное значение переменной у, называется функцией. Общий вид функции: у = f(х), где х – независимая переменная (аргумент), у – зависимая переменная (функция). Область определения функции D(f)- множество, на котором задаётся функция. Другими словами: множество значений, которые может принимать аргумент. Область значений функции E(f)- множество, состоящее из всех значений, которые принимает функция. График функции – множество точек на координатной плоскости, координатами которых являются пары чисел (х; у), где х – значение аргумента, у – соответствующее ему значение функции. Нули функции – значения аргумента, при которых функция равна 0

Виды функций и их графики линейная функция и её графики

Виды функций и их графики линейная функция и её графики

Виды функций и их графики обратная пропорциональность

Виды функций и их графики обратная пропорциональность

Виды функций и их графики квадратичная

Виды функций и их графики квадратичная

Виды функций и их графики кубическая

Виды функций и их графики кубическая

в) уравнение и системы уравнения

Уравнение и системы уравнения линейное уравнение

Уравнение и системы уравнения линейное уравнение

г)квадратное уравнение

квадратное уравнение

д) неравенство и системы неравенства

Неравенство и системы неравенства

е) решение строгих квадратных неравенств

Решение строгих квадратных неравенств

Решение строгих квадратных неравенств

Решение строгих квадратных неравенств

СВЯЗЬ МАТЕМАТИКИ С ДРУГИМИ НАУКАМИ

СВЯЗЬ МАТЕМАТИКИ С ДРУГИМИ НАУКАМИ

СВЯЗЬ МАТЕМАТИКИ С ДРУГИМИ НАУКАМИ

СВЯЗЬ МАТЕМАТИКИ С ДРУГИМИ НАУКАМИ

СВЯЗЬ МАТЕМАТИКИ С ДРУГИМИ НАУКАМИ

СВЯЗЬ МАТЕМАТИКИ С ДРУГИМИ НАУКАМИ

СВЯЗЬ МАТЕМАТИКИ С ДРУГИМИ НАУКАМИ

СВЯЗЬ МАТЕМАТИКИ С ДРУГИМИ НАУКАМИ

СВЯЗЬ МАТЕМАТИКИ С ДРУГИМИ НАУКАМИ

Спасибо за внимание