Алгебра. Лекция 3. Простые и составные числа. Основная теорема арифметики

Нажмите для полного просмотра!

Алгебра. Лекция 3. Простые и составные числа. Основная теорема арифметики, слайд №2

Алгебра. Лекция 3. Простые и составные числа. Основная теорема арифметики, слайд №3

Алгебра. Лекция 3. Простые и составные числа. Основная теорема арифметики, слайд №4

Алгебра. Лекция 3. Простые и составные числа. Основная теорема арифметики, слайд №5

Алгебра. Лекция 3. Простые и составные числа. Основная теорема арифметики, слайд №6

Алгебра. Лекция 3. Простые и составные числа. Основная теорема арифметики, слайд №7

Алгебра. Лекция 3. Простые и составные числа. Основная теорема арифметики, слайд №8

Алгебра. Лекция 3. Простые и составные числа. Основная теорема арифметики, слайд №9

Алгебра. Лекция 3. Простые и составные числа. Основная теорема арифметики, слайд №10

Алгебра. Лекция 3. Простые и составные числа. Основная теорема арифметики, слайд №11

Алгебра. Лекция 3. Простые и составные числа. Основная теорема арифметики, слайд №12

Алгебра. Лекция 3. Простые и составные числа. Основная теорема арифметики, слайд №13

Алгебра. Лекция 3. Простые и составные числа. Основная теорема арифметики, слайд №14

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Алгебра. Лекция 3. Простые и составные числа. Основная теорема арифметики. Доклад-сообщение содержит 14 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Лекция 3 Простые и составные числа. Основная теорема арифметики

Слайд 2

Описание слайда:

Определение 1 Определение 1 Натуральное число p называется простым, если p>1 и p не имеет натуральных делителей, отличных от 1 и p Определение 2 Натуральное число n>1 называется составным, если n имеет по крайней мере один натуральный делитель, отличный от 1 и n Примеры 2, 3, 5, 7 – простые числа 6, 8, 10, 15 – составные

Слайд 3

Описание слайда:

Слайд 4

Описание слайда:

Если n – составное число, то из определения следует, что оно имеет натуральный делитель, отличный от 1 и n Если n – составное число, то из определения следует, что оно имеет натуральный делитель, отличный от 1 и n Пусть это a (аϵN, a≠1, a≠n) Тогда n=ab, bϵN, b≠1, b≠n Так как 1

Слайд 5

Описание слайда:

Свойства простых чисел Если натуральное число n>1, то наименьший натуральный делитель его, отличный от 1, - простое число Доказательство Пусть a – наименьший натуральный делитель n, a≠1 (n имеет натуральные делители, отличные от 1, например, само n) Предположим, что a – составное, тогда a⁞b 1

Слайд 6

Описание слайда:

Свойства простых чисел 2. Если a – целое, p – простое, то a⁞p или (a, p)=1 Доказательство Так как число р имеет только 2 натуральных делителя: р и 1, то возможны две ситуации: 1) (а, р)=р, тогда а⁞р или 2) (а, р)=1, тогда а и р – взаимно простые числа

Слайд 7

Описание слайда:

Свойства простых чисел 3. (основное свойство простых чисел) Если произведение целых чисел ab делится на простое число р, то хотя бы один из сомножителей делится на р Доказательство Пусть ab⁞р Предположим, что а не ⁞ р, тогда (а, р)=1 (свойство 2) По свойству взаимно простых чисел b⁞р Заметим, что свойство может быть распространено на любое конечное число сомножителей.

Слайд 8

Описание слайда:

Теорема (основная теорема арифметики) Любое натуральное число, большее 1, либо является простым, либо может быть представлено в виде произведения простых чисел, причём единственным образом с точностью до порядка сомножителей Доказательство Пусть n – составное число и p1 - простой, отличный от 1, наименьший натуральный делитель числа n n= p1 n1 , n1 < n Если n1 ≠ 1, то n1 = p2 n2 , n2 < n1 n= p1 p2 n2 Если n2 ≠ 1, то n2 = p3 n3 , n3 < n2 n= p1 p2 p3 n3 ………………………………. Так как число шагов конечно n> n1 > n2 > … > nk , то когда – нибудь nk+1 =1 n= p1 p2 p3 … pk

Слайд 9

Описание слайда:

Докажем единственность представления Докажем единственность представления Пусть n=p1p2…pk и n=q1q2…qs , где pi, qj – простые числа p1p2…pk=q1q2…qs Так как p1p2…pk⁞q1, то (по свойству простых чисел 3) хотя бы один из сомножителей делится на q1 Пусть, например, p1⁞q1 Так как оба числа простые, то p1 = q1 После сокращения равенства на p1 = q1 получим: p2…pk=q2…qs p2…pk⁞q2, то пусть, например, p2⁞q2 => p2 = q2 и т.д. Если k>s, тогда ps+1…pk =1, что невозможно, т.к. у 1 нет простых делителей, следовательно, k=s p1 = q1 , p2 = q2 , pk= qk= qs

Слайд 10

Описание слайда:

Всякое составное число n может быть представимо в виде произведения простых чисел Всякое составное число n может быть представимо в виде произведения простых чисел Среди этих простых множителей могут встречаться одинаковые Пусть, например, p1 встречается α1 раз, p2 - α2 раз, …, ps - αs раз Тогда разложение числа n на простые множители можно записать следующим образом: Такое представление числа называют каноническим Примеры: 60=22∙3∙5 81=34 666=2∙32∙37

Слайд 11

Описание слайда:

Следствие 1 Пусть - каноническое разложение натурального числа n. Все делители n исчерпываются числами вида , где Доказательство Действительно, с одной стороны, всякое число d такого вида делит n. С другой стороны, всякое число, которое делит n, имеет указанный вид, так как по свойствам делимости оно не может иметь других простых сомножителей, кроме p1, p2, …, ps, а их показатели β1, β2, …, βs не могут противоречить условиям (1)

Слайд 12

Описание слайда:

Заметим, что натуральные числа a и b всегда можно записать в виде Заметим, что натуральные числа a и b всегда можно записать в виде Здесь предполагается, что αi и βi могут принимать и нулевые значения Это позволит писать в обоих разложениях одни и те же простые числа p1, p2, …, ps, а именно простые числа, которые входят в разложение хотя бы одного из чисел a и b Пример 30 = 2∙3∙5∙7º 42= 2∙3∙5º∙7

Слайд 13

Описание слайда:

Следствие 2 где γi=min(αi , βi), μi=max(αi , βi). Справедливость этих равенств следует из того, что наибольший общий делитель чисел a и b делится на любой их общий делитель, а наименьшее общее кратное чисел a и b делит любое их общее кратное Пример 30 = 2∙3∙5∙7º 42= 2∙3∙5º∙7 (30, 42) = 2∙3 [30, 42] = 2∙3∙5∙7

Слайд 14

Описание слайда:

Следствие 3 [a, b]∙(a, b)=ab Действительно где δi=max(αi , βi)+min (αi , βi) Но одно из этих слагаемых равно αi , а другое – βi Следовательно, δi=αi + βi и [a, b]∙(a, b)=ab Пример 30 = 2∙3∙5∙7º 42= 2∙3∙5º∙7 [30, 42] ∙(30, 42) = 2∙3∙5∙7∙2∙3