🗊Презентация Алгоритм построения графиков функции, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины

«Исследовательская работа по построению графиков функции, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины»

Содержание 1.Историческая справка 2.Геометрическая интерпретация понятия |а| 3.График функции у = f |(х)| 4.График функции у = | f (х)| 5.График функции у = | f |(х)| | 6.Выводы. 7.Список литературы.

В первой половине XVII века начинает складываться представление о функции как о зависимости одной переменной величины от другой. Так, французские математики Пьер Ферма(1601-1665) и Рене Декарт (1596-1650) представляли себе функцию как зависимость ординаты точки кривой от её абсциссы. А английский ученый Исаак Ньютон(1643-1727) понимал функцию как изменяющуюся в зависимости от времени координату движущейся точки.

Термин "функция" (от латинского function – исполнение , совершение) впервые ввел немецкий математик Готфрид Лейбниц(1646-1716). У него функция связывалась с геометрическим образом (графиком функции). Термин "функция" (от латинского function – исполнение , совершение) впервые ввел немецкий математик Готфрид Лейбниц(1646-1716). У него функция связывалась с геометрическим образом (графиком функции). В дальнейшем швейцарский математик Иоганн Бернулли(1667-1748) и член Петербургской Академии наук знаменитый математик XVIII века Леонард Эйлер(1707-1783) рассматривали функцию как аналитическое выражение. У Эйлера имеется и общее понимание функции как зависимости одной переменной величины от другой.

Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это многозначное слово(омоним),которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, технике, программировании и других точных науках. В архитектуре - это исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных соотношений его составных элементов. В технике - это термин, применяемый в различных областях техники, не имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например модуль зацепления, модуль упругости и .т.п. Модуль объемного сжатия( в физике)-отношение нормального напряжения в материале к относительному удлинению.

Исследование графиков функции: Исследование графиков функции: 1. График функции у = f |(х)| 2. График функции у = | f (х)| 3. График функции у = | f |(х)| |

Выдвижение гипотезы: Из сопоставления двух графиков: у = х и у = -х, я выдвинул гипотезу, что график функции у = f(|х|) получается из графика у = f (x) при х≥0 симметричным отображением относительно оси ОУ.

Проверка гипотезы Проверка гипотезы Можно ли применять этот метод построения графиков для любой функции, содержащей абсолютную величину? Для этого я рассмотрел несколько функций, и сделала для себя выводы.

1. Построить график функции у=0,5 х² - 2|х| - 2,5 1) Поскольку |х| = х при х≥0, требуемый график совпадает с параболой у=0,5 х² - 2х - 2,5 . Если х<0, то поскольку х² = |х| ², |х|=-х и требуемый график совпадает с параболой у=0,5 х² + 2х - 2,5. 2) Если рассмотрим график у=0,5 х² -2х - 2,5 при х≥0 и отобразить его относительно оси ОУ мы получим тот же самый график.

2. Построить график функции у=0,25 х² - |х| -3. 2. Построить график функции у=0,25 х² - |х| -3. 1) Поскольку |х| = х при х≥0, требуемый график совпадает с параболой у=0,25 х² - х - 3. Если х<0, то поскольку х² = |х|², |х|=-х и требуемый график совпадает с параболой у=0,25 х² + х - 3. 2) Если рассмотрим график у=0,25 х² - х - 3 при х≥0 и отобразить его относительно оси ОУ мы получим тот же самый график.

Доказательство гипотезы: Доказательство гипотезы: Докажем, что график функции у = f |(х)| совпадает с графиком функции у = f (х) на множестве неотрицательных значений аргумента и симметричен ему относительно оси ОУ на множестве отрицательных значений аргумента. Доказательство: Если х≥0, то f |(х)|= f (х), т.е. на множестве неотрицательных значений аргумента графики функции у = f (х) и у = f |(х)| совпадают. Так как у = f |(х)| - чётная функция, то её график симметричен относительно ОУ. Таким образом, график функции у = f |(х)| можно получить из графика функции у = f (х) следующим образом: 1. построить график функции у = f(х) для х>0; 2. Для х<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ.

График функции у = f |(х)|

График функции График функции у = | f (х)|

Построить график функции у = |х² - 2х| Построить график функции у = |х² - 2х| Освободимся от знака модуля по определению Если х² - 2х≥0, т.е. если х≤0 и х≥2, то |х² - 2х|= х² - 2х Если х² - 2х<0, т.е. если 0<х< 2, то |х² - 2х|=- х² + 2х Я вижу, что на множестве х≤0 и х≥2 графики функции у = х² - 2х и у = |х² - 2х| совпадают, а на множестве (0;2) графики функции у = -х² + 2х и у = |х² - 2х| совпадают. Построю их.

Выдвижение гипотезы: Выдвижение гипотезы: График функции у = | f (х)| состоит из части графика функции у = f(х) при у ≥0 и симметрично отражённой части у = f(х) при у <0 относительно оси ОХ.

Вывод: Гипотеза верна, действительно для построения графика функции Вывод: Гипотеза верна, действительно для построения графика функции у = |f(х) | достаточно: 1.Построить график функции у = f(х) ; 2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f(х) <0, симметрично отражаем относительно оси абсцисс.

Проверка истинности гипотез для графика функции у=|f |(х)| | Применяя, определение абсолютной величины и ранее рассмотренные примеры построила графики функции: у = |2|х| - 3| у = |х² – 5|х|| у = | |х³| - 2| и сделала выводы. Для того чтобы построить график функции у = | f |(х)| надо: 1. Строим график функции у = f(х) для х>0. 2. Строим вторую часть графика, т. е. построенный график симметрично отражаем относительно ОУ, т.к. данная функция четная. 3. Участки получившегося графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовываем на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ.

Построить график функции у = | 2|х | - 3| Построить график функции у = | 2|х | - 3| 1. Строю у = 2|х | - 3 , для 2 |х| - 3 > 0 , |х |>1,5 т.е. х< -1,5 и х>1,5 а) у = 2х - 3 , для х>0 б) для х<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ. 2. Строю у = -2 |х| + 3 , для 2|х | - 3 < 0. т.е. -1,5<х<1,5 а)у = -2х + 3 , для х>0 б) для х<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ.

1. у = | 2|х | - 3| 1. у = | 2|х | - 3| 1) Строю у = 2х-3, для х>0. 2) Строю прямую, симметричную построенной относительно оси ОУ. 3) Участки графика, расположенные в нижней полуплоскости, отображаю симметрично относительно оси ОХ. Сравнивая оба графика, видим что они одинаковые.

у = | х² – 5|х| | у = | х² – 5|х| | 1. Строю у = х² – 5 |х|, для х² – 5 |х| > 0 т.е. х >5 и х<-5 а) у = х² – 5 х , для х>0 б) для х<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ. 2. Строю у = - х² + 5 |х| , для х² – 5 |х| < 0. т.е. -5≤х≤5 а) у = - х² + 5 х , для х>0 б) для х<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ.

2. у = | х² – 5|х| | 2. у = | х² – 5|х| | а) Строю график функции у = х² – 5 х для х>0. б) Строю часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ в) Часть графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовываю на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ. Сравнивая оба графика, видим что они одинаковые.

3. у =| |х|³ - 2 | 3. у =| |х|³ - 2 | 1). Строю у = |х|³ - 2 , для |х|³ - 2 > 0, x> и x< - а) у = х³ - 2 , для х>0 б) для х<0, симметрично отражаю построенную часть относительно оси ОУ. 2). Строю у = - |х|³ + 2 , для |х|³ - 2 < 0. т.е. - < x< а) у = -х³ + 2 , для х>0 б) для х<0, симметрично отражаю построенную часть относительно оси ОУ.

3. у = ||х|³ - 2 | 3. у = ||х|³ - 2 | а) Строю у = х³ -2 для х > 0. б) Строю часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ в) Часть графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовываю на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ. Сравнивая оба графика, видим что они одинаковые.

Заключение При выполнении исследовательской работы я cделал такие выводы: - сформировал алгоритмы построения графиков функций, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины; - приобрел опыт построения графиков таких функций, как: у = f |(х)|; у = | f (х)|; у = |f |(х)||; - научился работать с дополнительной литературой и материалами, производить отбор научных сведений; выдвигал гипотезы и доказала истинность гипотез, сделал выводы; - приобрел опыт выполнения графических работ на компьютере.

Для построения графика функции у = f |(х)|: Для построения графика функции у = f |(х)|: 1.Построить график функции у = f(х) для х>0; 2.Построить для х<0 часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ. Для построения графика функции у = | f(х) | 1.Построить график функции у = f(х) ; 2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f(х) <0, строить кривые, симметричные построенным графикам относительно оси абсцисс. Для построения графика функции у = | f |(х)| | 1. Построить график функции у = f(х) для х>0. 2. Строим вторую часть графика, т. е. построенный график симметрично отражаем относительно ОУ 3. Участки получившегося графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовываем на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ.

Список литературы: И. М.Гельфанд, Е.Г. Глаголева. Функции и графики. Издательство «Наука» Р.А. Калнин. Алгебра и элементарные функции. Издательство «Наука» М.К. Потапов, С.Н. Олехник. Конкурсные задачи по математики, Москва. «Наука» Ю. Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк. Дополнительные главы к школьному учебнику. Москва, «Просвещение».