🗊Презентация Аппроксимация функций

Аппроксимация функций Выполнили: Студенты группы Эс/б-33-о Велиляев А. С. Лыжин А. И.

Аппроксимация Аппроксимация (от лат. proxima — ближайшая) или приближение — научный метод, состоящий в замене одних объектов другими, в каком-то смысле близкими к исходным, но более простыми. Аппроксимацией называется процесс подбора эмпирической формулы φ(x) для установленной из опыта функциональной зависимости y=f(x). Эмпирические формулы служат для аналитического представления опытных данных. Аппроксимация позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов (например, таких, характеристики которых легко вычисляются или свойства которых уже известны)

Обычно задача аппроксимации распадается на две части. Сначала устанавливают вид зависимости у=f(x) и, соответственно, вид эмпирической формулы, то есть решают, является ли она линейной, квадратичной, логарифмической или какой-либо другой. После этого определяются численные значения неизвестных параметров выбранной эмпирической формулы, для которых приближение к заданной функции оказывается наилучшим. Если нет каких-либо теоретических соображений для подбора вида формулы, обычно выбирают функциональную зависимость из числа наиболее простых, сравнивая их графики с графиком заданной функции.

После выбора вида формулы определяют ее параметры. Для наилучшего выбора параметров задают меру близости аппроксимации экспериментальных данных. Во многих случаях, в особенности, если функция f(x) задана графиком или таблицей (на дискретном множестве точек), для оценки степени приближения рассматривают разности f(xi) - φ(xi) для точекx0, x1,..., xn. Обычно определение параметров при известном виде зависимости осуществляют по методу наименьших квадратов. При этом функция φ(x) считается наилучшим приближением к f(x), если для нее сумма квадратов невязок δi или отклонений «теоретических» значений φ(xi), найденных по эмпирической формуле, от соответствующих опытных значений y n имеет наименьшее значение по сравнению с другими функциями, из числа которых выбирается искомое приближение.

Аппроксимация в Matlab Относительно интерполяции, аппроксимация получила более широкое распространение. Сущность этого метода состоит в том, что табличные данные аппроксимируют кривой, которая не обязательно должна пройти через все узловые точки, а должна как бы сгладить все случайные помехи табличной функции. 

МНК (Метод Наименьших Квадратов) Одним из самых популярных методов аппроксимации в Matlab и в других средах, это Метод Наименьших Квадратов ( МНК ). В этом методе при сглаживании опытных данных аппроксимирующую кривую стремятся провести так, чтобы её отклонения от табличных данных по всем узловым точкам были минимальными. Суть МНК заключается в следующем: для табличных данных, полученных в результате эксперимента, отыскать аналитическую зависимость, сумма квадратов уклонений которой от табличных данных во всех узловых точках была бы минимальной. Аппроксимация в Matlab по МНК осуществляется с помощью функции polyfit. Функция p = polyfit(x, y, n) находит коэффициенты полинома p(x) степени n, который аппроксимирует функцию y(x) в смысле метода наименьших квадратов. Выходом является строка pдлины n+1, содержащая коэффициенты аппроксимирующего полинома.

Пример использования в Mathlab Найти у(0.25) путём построения аппроксимирующего полинома методом наименьших квадратов согласно данным: x: 0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.5 y: 3, 4.5, 1.7, 0.7, -1 p: 0.5, 0.8, 1.6, 0.8, 0.1 Построить этот полином без учёта весовых коэффициентов с использованием определителя Вандермонда и стандартных \ операторов.

Существует также возможность реализации всего алгоритма через одну функцию, но для преподавателей студентов она скорее всего будет не приемлема. С помощью функции lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata), где: xdata,ydata– табличные значения аппроксимируемой функции; x0 –стартовое значение параметров функции; fun – функция аппроксимации, задаваемая пользователем С аналитически-теоретической стороны, существуют такие виды аппроксимации: Аппроксимация ортогональными классическими полиномами. Аппроксимация каноническим полиномом Но на практике их реализацию требуют редко.

Спасибо за внимание!