Частные производные функции - презентация, доклад, проект скачать

Нажмите для полного просмотра!

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Частные производные функции. Доклад-сообщение содержит 79 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Пример. Найти частные производные функции Пример. Найти частные производные функции

Слайд 2

Описание слайда:

Решение. Полагая y = const, находим Решение. Полагая y = const, находим

Слайд 3

Описание слайда:

Полагая x = const, находим Полагая x = const, находим

Слайд 4

Описание слайда:

Пример. Найти значения частных производных функции Пример. Найти значения частных производных функции в точке M(1, –1, 0).

Слайд 5

Описание слайда:

Решение. Полагая y = const, z = const, находим Решение. Полагая y = const, z = const, находим

Слайд 6

Описание слайда:

Аналогично находим Аналогично находим

Слайд 7

Описание слайда:

Геометрическим смыслом частной производной (например, ) является тангенс угла наклона касательной, проведенной в точке M0(x0, y0, z0) к сечению поверхности плоскостью у = у0. Геометрическим смыслом частной производной (например, ) является тангенс угла наклона касательной, проведенной в точке M0(x0, y0, z0) к сечению поверхности плоскостью у = у0.

Слайд 8

Описание слайда:

Предположим, что функция z = f(x, y) имеет непрерывные частные производные Предположим, что функция z = f(x, y) имеет непрерывные частные производные

Слайд 9

Описание слайда:

Эти производные в свою очередь являются функциями независимых переменных x и y. Будем называть Эти производные в свою очередь являются функциями независимых переменных x и y. Будем называть и частными производными 1-го порядка.

Слайд 10

Описание слайда:

Частными производными 2-го порядка называются частные производные от частных производных 1-го порядка. Частными производными 2-го порядка называются частные производные от частных производных 1-го порядка. Для функции z = f(x, y) двух переменных можно найти четыре частные производные 2-го порядка, которые обозна-чаются следующим обр-м:

Слайд 11

Описание слайда:

Слайд 12

Описание слайда:

В общем случае смешанные частные производные могут не совпадать, однако для них справедлива теорема: В общем случае смешанные частные производные могут не совпадать, однако для них справедлива теорема: Теорема. Если смешанные частные производные и непрерывны в некоторой точке M(x, y), то они равны, т. е.

Слайд 13

Описание слайда:

Частными производными n–го порядка называются частные производные от частных производных (n – 1)–го порядка. Частными производными n–го порядка называются частные производные от частных производных (n – 1)–го порядка. Их обозначают и т. д.

Слайд 14

Описание слайда:

Частные производные любого порядка, взятые по различным переменным, называются смешанными. Частные производные любого порядка, взятые по различным переменным, называются смешанными.

Слайд 15

Описание слайда:

Пример. Найти частные производные 2-го порядка функции Пример. Найти частные производные 2-го порядка функции

Слайд 16

Описание слайда:

Решение. Последовательно находим Решение. Последовательно находим

Слайд 17

Описание слайда:

Слайд 18

Описание слайда:

Слайд 19

Описание слайда:

§ 5. Дифференциал функции нескольких переменных

Слайд 20

Описание слайда:

Рассмотрим функцию z = f(x, y). Дадим аргументу x приращение Δx, а аргументу y приращение Δy. Тогда z получит приращение Рассмотрим функцию z = f(x, y). Дадим аргументу x приращение Δx, а аргументу y приращение Δy. Тогда z получит приращение которое называется полным приращением функции z.

Слайд 21

Описание слайда:

Предположим, что f(x, y) в точке M(x, y) имеет непрерывные частные производные. Предположим, что f(x, y) в точке M(x, y) имеет непрерывные частные производные.

Слайд 22

Описание слайда:

Определение. Дифференциалом 1-го порядка функции z = f(x, y) называется главная часть полного приращения Δz этой функции, линейная относительно Δx и Δy, обозначается символом dz или df и вычисляется по формуле Определение. Дифференциалом 1-го порядка функции z = f(x, y) называется главная часть полного приращения Δz этой функции, линейная относительно Δx и Δy, обозначается символом dz или df и вычисляется по формуле

Слайд 23

Описание слайда:

Так как дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями, т.е. dx = Δx, dy = Δy, то эту формулу можно записать в виде: Так как дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями, т.е. dx = Δx, dy = Δy, то эту формулу можно записать в виде:

Слайд 24

Описание слайда:

Геометрическим смыслом полного дифференциала функции двух переменных f(x, y) в точке (х0, у0) является приращение аппликаты (координаты z) касательной плоскости к поверхности при переходе от точки (х0, у0) к точке (х0+х, у0+у). Геометрическим смыслом полного дифференциала функции двух переменных f(x, y) в точке (х0, у0) является приращение аппликаты (координаты z) касательной плоскости к поверхности при переходе от точки (х0, у0) к точке (х0+х, у0+у).

Слайд 25

Описание слайда:

Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных является пространственным аналогом геометрического смысла дифференциала функции одной переменной. Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных является пространственным аналогом геометрического смысла дифференциала функции одной переменной.

Слайд 26

Описание слайда:

Дифференциалом 2-го порядка функции z = f(x, y) называется дифференциал от ее дифференциала 1-го порядка и обозначается Дифференциалом 2-го порядка функции z = f(x, y) называется дифференциал от ее дифференциала 1-го порядка и обозначается

Слайд 27

Описание слайда:

Если все частные производные 2-го порядка функции z = f(x, y) непрерывны, то имеет место формула: Если все частные производные 2-го порядка функции z = f(x, y) непрерывны, то имеет место формула:

Слайд 28

Описание слайда:

Аналогично определяется дифференциал n–го порядка: Аналогично определяется дифференциал n–го порядка:

Слайд 29

Описание слайда:

Пример. Найти дифференциалы 1-го и 2-го порядков функции Пример. Найти дифференциалы 1-го и 2-го порядков функции

Слайд 30

Описание слайда:

Решение. Найдем частные производные 1-го и 2-го порядков: Решение. Найдем частные производные 1-го и 2-го порядков:

Слайд 31

Описание слайда:

Слайд 32

Описание слайда:

Следовательно, дифференциалы 1-го и 2-го порядков запишутся в виде: Следовательно, дифференциалы 1-го и 2-го порядков запишутся в виде:

Слайд 33

Описание слайда:

Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала

Слайд 34

Описание слайда:

Пусть функция f(x, y) дифференцируема в точке (х, у). Найдем полное приращение этой функции: Пусть функция f(x, y) дифференцируема в точке (х, у). Найдем полное приращение этой функции:

Слайд 35

Описание слайда:

Если подставить в эту формулу выражение Если подставить в эту формулу выражение то получим приближенную формулу:

Слайд 36

Описание слайда:

Пример. Вычислить приближенно значение Пример. Вычислить приближенно значение исходя из значения функции при x = 1, y = 2, z = 1

Слайд 37

Описание слайда:

Решение. Из заданного выражения определим Решение. Из заданного выражения определим x = 1,04 – 1 = 0,04, y = 1,99 – 2 = -0,01, z = 1,02 – 1 = 0,02. Найдем значение функции u(x, y, z) =

Слайд 38

Описание слайда:

Находим частные производные: Находим частные производные:

Слайд 39

Описание слайда:

Полный дифференциал функции u равен: Полный дифференциал функции u равен:

Слайд 40

Описание слайда:

Слайд 41

Описание слайда:

Точное значение этого выражения: 1,049275225687319176. Точное значение этого выражения: 1,049275225687319176.

Слайд 42

Описание слайда:

§ 6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Слайд 43

Описание слайда:

Касательной плоскостью к поверхности в ее точке M0 называется плоскость, которая содержит все касательные к кривым, проведенным на поверхности через эту точку. Касательной плоскостью к поверхности в ее точке M0 называется плоскость, которая содержит все касательные к кривым, проведенным на поверхности через эту точку.

Слайд 44

Описание слайда:

Нормалью к поверхности в точке M0 называется прямая, проходящая через эту точку и перпендикулярная касательной плоскости, проведенной в данной точке. Нормалью к поверхности в точке M0 называется прямая, проходящая через эту точку и перпендикулярная касательной плоскости, проведенной в данной точке.

Слайд 45

Описание слайда:

Слайд 46

Описание слайда:

Если поверхность задана уравнением F(x, y, z) = 0 то уравнение касательной плоскости в точке M0(x0, y0, z0) имеет вид: Если поверхность задана уравнением F(x, y, z) = 0 то уравнение касательной плоскости в точке M0(x0, y0, z0) имеет вид:

Слайд 47

Описание слайда:

Уравнения нормали, проведенной к поверхности в точке M0(x0, y0, z0), запишутся следующим образом: Уравнения нормали, проведенной к поверхности в точке M0(x0, y0, z0), запишутся следующим образом:

Слайд 48

Описание слайда:

Если поверхность задана уравнением z = f(x, y), то уравнение касательной плоскости в точке M0(x0, y0, z0) имеет вид: Если поверхность задана уравнением z = f(x, y), то уравнение касательной плоскости в точке M0(x0, y0, z0) имеет вид:

Слайд 49

Описание слайда:

а уравнения нормали запишутся так: а уравнения нормали запишутся так:

Слайд 50

Описание слайда:

Пример. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности Пример. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке M0(x0, y0, z0), если

Слайд 51

Описание слайда:

Решение. Подставляя x0 и y0 в уравнение поверхности, находим значение z0: Решение. Подставляя x0 и y0 в уравнение поверхности, находим значение z0: откуда находим z0 = 1. Следовательно, M0(2, –1, 1) – точка касания.

Слайд 52

Описание слайда:

По условию задачи поверхность задана неявно. Обозначим По условию задачи поверхность задана неявно. Обозначим и найдем частные производные в точке M0(2, –1, 1):

Слайд 53

Описание слайда:

Слайд 54

Описание слайда:

Подставляем найденные значения частных производных в уравнение касательной плоскости Подставляем найденные значения частных производных в уравнение касательной плоскости

Слайд 55

Описание слайда:

и получаем искомое уравнение касательной плоскости: и получаем искомое уравнение касательной плоскости:

Слайд 56

Описание слайда:

Уравнения нормали имеют вид Уравнения нормали имеют вид

Слайд 57

Описание слайда:

§ 7. Экстремум функции двух переменных

Слайд 58

Описание слайда:

Определение. Функция z = f(x, y) имеет максимум в точке M0(x0, y0), если существует такая окрестность этой точки, что для любых точек M(x, y) из этой окрестности выполняется неравенство Определение. Функция z = f(x, y) имеет максимум в точке M0(x0, y0), если существует такая окрестность этой точки, что для любых точек M(x, y) из этой окрестности выполняется неравенство

Слайд 59

Описание слайда:

Слайд 60

Описание слайда:

Определение. Функция z = f(x, y) имеет минимум в точке M0(x0, y0), если существует такая окрестность этой точки, что для любых точек M(x, y) из этой окрестности выполняется неравенство Определение. Функция z = f(x, y) имеет минимум в точке M0(x0, y0), если существует такая окрестность этой точки, что для любых точек M(x, y) из этой окрестности выполняется неравенство

Слайд 61

Описание слайда:

Слайд 62

Описание слайда:

Точки максимума и минимума называют точками экстремума, а значения функции в этих точках называются экстремальными. Точки максимума и минимума называют точками экстремума, а значения функции в этих точках называются экстремальными.

Слайд 63

Описание слайда:

Слайд 64

Описание слайда:

Теорема 1 (необходимые условия экстремума). Если дифференцируемая функция z = f(x, y) имеет экстремум в точке M0(x0, y0), то ее частные производные в этой точке равны нулю, т. е. Теорема 1 (необходимые условия экстремума). Если дифференцируемая функция z = f(x, y) имеет экстремум в точке M0(x0, y0), то ее частные производные в этой точке равны нулю, т. е.

Слайд 65

Описание слайда:

Функция z = f(x, y) может иметь экстремум и в точках, где функция непрерывна, но частные производные не существуют. Функция z = f(x, y) может иметь экстремум и в точках, где функция непрерывна, но частные производные не существуют. Точки, в которых и , называются стационарными точками функции z = f(x, y).

Слайд 66

Описание слайда:

Теорема 2 (достаточные условия экстремума). Пусть M0(x0, y0) является стационарной точкой функции z = f(x, y) и в ее окрестности существуют непрерывные частные производные 2-го порядка. Теорема 2 (достаточные условия экстремума). Пусть M0(x0, y0) является стационарной точкой функции z = f(x, y) и в ее окрестности существуют непрерывные частные производные 2-го порядка.

Слайд 67

Описание слайда:

Обозначим Обозначим и составим определитель Тогда:

Слайд 68

Описание слайда:

1) если Δ < 0, то в точке M0 нет экстремума; 1) если Δ < 0, то в точке M0 нет экстремума; 2) если Δ > 0, то в точке M0 есть экстремум, причем максимум при A < 0 и минимум при A > 0; 3) если Δ = 0, то требуется дополнительное исследование.