🗊Презентация Чисельні методи. Лекція 2. Елементи теорії похибок

Чисельні методи ЛЕКЦІЯ 2 «ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ПОХИБОК»

Елементи теорії похибок Абсолютна та відносна похибки. Значуща цифра, число вірних знаків Основні джерела похибок: 1. Похибки математичної моделі. Будь-яка задача є модель якогось явища. Будь-яка модель - це об'єкт більш простий, ніж реальний. Модель - наближений опис реального об'єкта, тобто містить похибки. 2. Похибки вихідних даних. Дані можуть виявитися неточними. 3. Похибки методу рішення. Чисельні методи замінюють завдання на близьку. Наприклад, замість інтегрування - підсумовування, замість диференціювання - обчислення звичайно різницевого ставлення і т. д. В результаті замість точного розв'язку вихідної задачі отримуємо наближене рішення отриманої задачі. 4. Похибки округлень при виконанні арифметичних операцій. В рамках чисельних методів похибки 1 та 2 вважаються непереборні.

Визначення 1. Абсолютна похибка Величина називається абсолютною похибкою представлення числа X за допомогою числа . Максимально можливе значення , тобто число , яке задовольняє нерівності , називається максимальною, або граничною, абсолютною похибкою.

Визначення 2. Відносна похибка Величина, яка дорівнює називається відносною похибкою представлення числа X числом Якщо , то число называється максимальною граничною відносною похибкою.

Похибки округлення при арифметичних операціях Приклад 1. Абсолютна похибка суми Нехай , . Тоді , де Оскільки , то тобто граничні абсолютні помилки складаються. Те ж саме для різниці. Граничні максимальні абсолютні похибки аналогічно складаються

Похибки округлення при арифметичних операціях Відносні похибки добутку де де

Похибки округлення при арифметичних операціях Вважаємо, що останнє доданок має другий порядок малості порівняно з першими двома, і їм нехтуємо. тоді отримуємо: тобто