🗊Презентация Численное решение нелинейных уравнений

Таким образом, вопросы, на которые необходимо ответить при численном решении уравнения (1.1) могут быть сформулированы следующим образом: Таким образом, вопросы, на которые необходимо ответить при численном решении уравнения (1.1) могут быть сформулированы следующим образом: 1. Имеет ли уравнение (1.1) на отрезке [a, b] хотя бы один вещественный (не мнимый или комплексный) корень? 2. Является ли этот корень единственным? 3. Каково значение этого корня, отличающееся от точного не более чем на некоторую малую величину  (эпсилон), т. е. каково значение x, для которого выполняется условие  x  ? Ответы на первые два вопроса достигаются в ходе отделения корней уравнения, а на последний  при уточнении корня. 1.2. ОТДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЯ Из математического анализа известна следующая теорема: если непрерывная функция f (x) на концах отрезка [a, b] принимает значения разных знаков, т. е. f (a)f (b) <0, то внутри этого отрезка содержится по меньшей мере один корень уравнения f(x) = 0, т. е. найдется хотя бы одно число a, b] (кси), принадлежащее отрезку [a, b] такое, что f () = 0. Эта теорема иллюстрируется рис. 1.1,а.

Процесс установления возможно малого промежутка [a, b], в котором содержится только один корень уравнения, называется отделением корня. При наличии любого (программируемого) средства вычислительной техники (ВТ) наиболее рациональным представляется следующий алгоритм отделения корней уравнения f(x) = 0 на заданном отрезке [a, b]: Процесс установления возможно малого промежутка [a, b], в котором содержится только один корень уравнения, называется отделением корня. При наличии любого (программируемого) средства вычислительной техники (ВТ) наиболее рациональным представляется следующий алгоритм отделения корней уравнения f(x) = 0 на заданном отрезке [a, b]: 1. составление программы табулирования функции f(x) 2. табулирование функции f(x) на отрезке [a, b] с шагом x = (b – a)/n (можно рекомендовать для начала принять n = 10) 3. построение графика функции f(x) и отделение всех корней уравнения f(x) = 0 на отрезке [a, b]. 1.3. УТОЧНЕНИЕ КОРНЯ УРАВНЕНИЯ Для ответа на вопрос, каково значение корня уравнения f(x) = 0 на некотором отрезке [a, b], на котором он (корень) отделен, отличающееся от точного не более чем на некоторую малую величину , необходимо каким-то образом найти это значение корня. Такая операция называется уточнением корня. Существует много численных методов уточнения корня нелинейного уравнения, из которых далее рассматриваются три: метод половинного деления, метод итераций и метод Ньютона.

1.3.1 Метод половинного деления 1.3.1 Метод половинного деления Метод половинного деления заключается в последовательном уменьшении вдвое отрезка, на котором находится отделенный корень, до тех пор, пока величина уменьшенного отрезка не станет меньше допустимой погрешности (иногда говорят заданной точности) . Идея этого метода может быть проиллюстрирована схемой, показанной на рис. 1.2. Словесное описание алгоритма уточнения корня методом половинного деления выглядит так: 1. вычисляется и запоминается значение функции f(x) при x = a, т. е. fa = f (a); 2. отрезок делится пополам, т. е. вычисляется x = (b – a)/2; 3. вычисляется значение функции f(x) при x = (b – a)/2, т. е. fx; 4. проверяется условие fafx > 0, т. е. имеет ли функция f(x) на левом конце отрезка и в его середине одинаковые знаки; 5. если это условие выполняется, то за левую границу нового отрезка принимается середина прежнего, и за значение функции на левом конце отрезка принимается ранее вычисленное значение в середине прежнего (отрезка), т. е. производится переприсваивание: a = x, fa = fx (левый конец отрезка переносится в середину); 6. в противном случае (при невыполнении условия fafx > 0) в середину переносится правый конец отрезка, т. е. b = x;

3. последовательно вычисляют x1 = (x0), x2 = (x1),..., xi = (xi-1) – очередные (последовательные) приближения корня уравнения; 3. последовательно вычисляют x1 = (x0), x2 = (x1),..., xi = (xi-1) – очередные (последовательные) приближения корня уравнения; 4. после вычисления очередного приближения корня производят проверку условия прекращения итераций (как правило, xi – xi-1 < ); 5. если условие прекращения итераций не выполняется, то переходят к вычислению очередного приближения корня – пункту 3) данного алгоритма; 6. если условие прекращения итераций выполняется, то вычисляют невязку уравнения, выводят результаты на экран и прекращают вычисления. Доказано, что если величина xi – xi-1 уменьшается при увеличении i, то при i разность xi –  станет сколь угодно малой по абсолютной величине, т. е. уточнение корня нелинейного уравнения методом итераций с заданной точностью возможно. Напомним, что  – точное значение корня. Достаточным условием сходимости метода итераций является следующее: (x)  q < 1, a < x < b (1.3)

первая производная функции (x) на отрезке [a, b] должна быть меньше единицы (по абсолютной величине). При невыполнении условия (1.3) процесс итерации может не cxодиться, как показано на рис. 1.4. первая производная функции (x) на отрезке [a, b] должна быть меньше единицы (по абсолютной величине). При невыполнении условия (1.3) процесс итерации может не cxодиться, как показано на рис. 1.4.

где  – заданная точность (допустимая погрешность); q – максимальное (по модулю) значение (x) на отрезке [a, b]. где  – заданная точность (допустимая погрешность); q – максимальное (по модулю) значение (x) на отрезке [a, b]. Если q  0.5, то вместо условия (1.4) можно пользоваться условием xi – xi-1 <  . (1.5) При использовании метода итераций уравнение f(x) = 0 необходимо стараться преобразовать к виду x = (x) таким образом, чтобы условие (неравенство) (x) < 1 выполнялось на всем отрезке [a, b]. Например, уравнение x3 + x – 1000 = 0, имеющее корень на отрезке [9, 10], можно преобразовать двумя способами: x = 1000 – x3, т. е. 1(x) = 1000 – x3; x = , т. е. 2(x) = . Совершенно очевидно, что для 1(x) условие (1.3) не выполняется, так как 1(x) = – 3x2 и 1(x) при 9 < x < 10 много больше единицы. В то же время

и при 9 < x <10 2(x) < q << 1 – производная 2(x) по абсолютной величине много меньше единицы, следовательно, можно задавать довольно большую допустимую погрешность , что приведет к уменьшению количества итераций. и при 9 < x <10 2(x) < q << 1 – производная 2(x) по абсолютной величине много меньше единицы, следовательно, можно задавать довольно большую допустимую погрешность , что приведет к уменьшению количества итераций. Уточнение корня данного уравнения методом итераций при x0 = 9.5,  = 0.001 и использовании функции