Численные методы - презентация, доклад, проект скачать

Нажмите для полного просмотра!

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Численные методы. Доклад-сообщение содержит 26 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Численные методы

Слайд 2

Описание слайда:

Математические модели и численные методы Первый этап математического анализа – это создание математической модели (постановка задачи). Для физического процесса модель обычно состоит из уравнений, описывающих процесс. Второй этап – это математическое исследование. В зависимости от сложности модели применяются различные математические методы. Часто применяются численные методы. Третий этап – это осмысление математического решения и сопоставление его с экспериментальными данными. Проверка адекватности математической модели.

Слайд 3

Описание слайда:

МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО (ПРИБЛИЖЕННОГО) ИНТЕГРИРОВАНИЯ Все методы численного интегрирования основаны на геометрической интерпретации интеграла как площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, подынтегральной кривой и прямыми x=a, x=b, где a и b – пределы интегрирования

Слайд 4

Описание слайда:

Формула прямоугольников Даны пределы интегрирования. Зададим число элементарных фигур N, на которое будет разбита вся площадь. Находим шаг интегрирования: h = (b - a) / N Найдем определенный интеграл как сумму площадей элементарных фигур (прямоугольников), на которые разбита площадь под подынтегральной кривой

Слайд 5

Описание слайда:

Формула трапеций Найдем определенный интеграл как сумму площадей элементарных фигур (трапеций), на которые разбита площадь под подынтегральной кривой

Слайд 6

Описание слайда:

Формула Симпсона Найдем определенный интеграл как сумму площадей элементарных фигур (криволинейных трапеций), на которые разбита площадь под подынтегральной кривой. Площадь криволинейной параболы определяется по формуле:

Слайд 7

Описание слайда:

ПРИНЦИПЫ МАШИННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ АППРОКСИМАЦИИ И ИНТЕРПОЛЯЦИИ Одной из важнейших задач в процессе математического моделирования является вычисление значений функций, входящих в математическое описание модели. Для сложных моделей подобные вычисления могут быть трудоемкими даже при использовании ЭВМ. Поставленные проблемы решаются путем приближенной замены функции f(x) более простой функцией (x), которую нетрудно вычислять при любом значении аргумента в заданном интервале его изменения. Приближение функции f(x) более простой функцией (x) называется аппроксимацией.

Слайд 8

Описание слайда:

Аппроксимация методом наименьших квадратов (МНК) Пусть проведено N опытов. В каждом опыте получена пара значений xi, yi (i=1,…, N). Необходимо провести аппроксимирующую кривую, которая не проходит через экспериментальные точки, но в то же время отражает исследуемую зависимость, сглаживает возможные выбросы, возникшие за счет погрешностей эксперимента.

Слайд 9

Описание слайда:

Пусть функция (x) - аппроксимирующая функция для дискретной зависимости f(xi). Пусть функция (x) - аппроксимирующая функция для дискретной зависимости f(xi). В узлах xi функции f(xi) и  (x) будут отличаться на величину i =  (xi) - f(xi). Отклонения могут быть положительными и отрицательными. Чтобы не учитывать знаки, возведем отклонение в квадрат и просуммируем:

Слайд 10

Описание слайда:

Зададимся видом функции (x). Зададимся видом функции (x). Обычно проводят аппроксимацию полиномами n-й степени. Общий вид полинома n-й степени : y = a0 + a1*x + a2*x2 + … + an*xn Нахождение коэффициентов ai рассмотрим на примере аппроксимации прямой (полиномом первой степени). y = a0 + a1*x – математическая модель Запишем критерий МНК:

Слайд 11

Описание слайда:

Ищем коэффициенты a0, a1. Исследуем функцию Q на экстремум, т.е. найдем частные производные и приравняем нулю. Ищем коэффициенты a0, a1. Исследуем функцию Q на экстремум, т.е. найдем частные производные и приравняем нулю.

Слайд 12

Описание слайда:

Слайд 13

Описание слайда:

Интерполяция Задача приближения таблично заданной функции многочленом, когда принимается, что заменяющая функция должна проходить через заданные узлы, называется интерполяцией. Частной задачей интерполяции считают нахождение приближенных значений табличной функции при аргументах x, не совпадающих с узловыми. В более общем плане с помощью интерполяции решают широкий круг задач численного анализа – дифференцирование и интегрирование функций, нахождение нулей и экстремумов функций, решение дифференциальных уравнений и т.д. Возможность решения этих задач обусловлена достаточно простым видом аппроксимирующей функции (x).

Слайд 14

Описание слайда:

Интерполяция полиномом Лагранжа Пусть функция f(x) задана таблицей значений, полученной из эксперимента или путем вычислений. Выбранные значения аргумента x называются узлами таблицы. Считаем, что узлы не являются равноотстоящими.

Слайд 15

Описание слайда:

Интерполяция полиномом Лагранжа Для решения частной задачи интерполяции Лагранж предложил следующую форму интерполяционного полинома:

Слайд 16

Описание слайда:

Интерполяция полиномом Ньютона Для таблиц с равноотстоящими узлами существуют несколько видов полиномов Ньютона Первый полином Ньютона (для интерполяции «вперед»)

Слайд 17

Описание слайда:

Интерполяция полиномом Ньютона Второй полином Ньютона (для интерполяции «назад»)

Слайд 18

Описание слайда:

Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) ОДУ широко используется для мат. моделирования процессов и явлений в различных областях науки и техники: - уравнения движения тел в механике, - кинетика химических реакций, - прогиб упругого стержня. В ДУ n-го порядка в качестве неизвестных величин входят функция f(x) и ее первые n производных по аргументу x: φ(x, y, y’, … ,y(n)) = 0 (1) Уравнение (1) эквивалентно системе n уравнений первого порядка: φk (x, y1, y1’, y2, y’2, … , yn, y’n ) =0, где k = 1…n (2)

Слайд 19

Описание слайда:

Уравнение (1) и эквивалентная ему система (2) имеют бесконечное множество решений. Уравнение (1) и эквивалентная ему система (2) имеют бесконечное множество решений. Единственное решение выделяют с помощью дополнительных условий, которым должны удовлетворять искомые решения. В зависимости от вида этих условий выделяют 3 типа задач: - задачи Коши, - граничные задачи, - задачи на собственные значения.

Слайд 20

Описание слайда:

Задача Коши (задача с начальными условиями) Кроме исходного уравнения (1) в некоторой точке x0 заданы начальные условия, т.е. значения функции y(x) и (n-1) ее производных: y(x0) = y0, y’(x0) = y’0, …, y(n-1)(x0) = yn-10 . Для системы ОДУ (2): y1(x0), y2(x0), …, yn(x0).

Слайд 21

Описание слайда:

Метод Эйлера (метод ломаных) Представим задачу (2) в каноническом виде, в форме Коши

Слайд 22

Описание слайда:

В точке x0+h при малых значениях h можно ограничиться двумя членами ряда В точке x0+h при малых значениях h можно ограничиться двумя членами ряда y(x0+h) = y0 + h*y’(x0) + O(h2), где O(h2) – бесконечно малая величина порядка h2. Заменим производную y’(x0) на f(x0,y0): y(x0+h) ≈ y0 + h* f(x0,y0) (3) Теперь приближенное решение в точке x1 = x0 + h можно вновь рассматривать как начальное условие и по формуле (3) найти значение функции y в следующей точке x2 = x1+h. Получен простейший алгоритм решения задачи Коши, который называется методом Эйлера

Слайд 23

Описание слайда:

Геометрическая интерпретация метода Эйлера

Слайд 24

Описание слайда:

Метод Рунге-Кутта Для уменьшения погрешности метода интегрирования ОДУ, использующего разложение искомого решения в ряд Тейлора, необходимо учитывать большее количество членов ряда. Однако при этом возникает необходимость аппроксимации производных от правых частей ОДУ. Идея методов Рунге-Кутта заключается в том, что производные аппроксимируются через значения функции f(x,y) в точках на интервале [x0, x0+h], которые выбираются из условия наибольшей близости к ряду Тейлора

Слайд 25

Описание слайда:

Метод Рунге-Кутта 4го порядка В зависимости от старшей степени h, с которой учитываются члены ряда, существуют вычислительные схемы Рунге-Кутта разного порядка. yi+1 = yi + y - рекуррентная формула Рунге-Кутта y = (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) / 6 - усредненное значение приращений y, где ki – аналог y.

Слайд 26

Описание слайда:

Метод Рунге-Кутта 4го порядка Производная определяется в 4-х точках: k1 = h* y’(xi, yi) k2 = h* y’(xi + h/2, yi + k1/2) k3 = h* y’(xi + h/2, yi + k2/2) k4 = h*y’(xi + h, yi + k3) Метод Рунге-Кутта является более точным, чем метод Эйлера, т.к. чем выше порядок, тем точнее расчет приращения y.

Теги Численные методы

Похожие презентации