🗊Презентация Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнения, допускающие понижение порядка. Лeкция № 7-9

Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения, однородные и неоднородные

Дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнения вида Дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнения вида или, если его можно разделить относительно старшей производной Решением уравнения n-го порядка является всякая n раз дифференцируемая функция y = y(x), которая обращает это уравнение в тождество. Задача Коши для уравнения n-го порядка состоит в том, чтобы найти такое решение, которое удовлетворяет условиям при , где - заданные числа, которые называются начальными функциями или начальными условиями. Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется функция , зависящая от n произвольных постоянных и такая, что: 1) она удовлетворяет уравнение при любых значениях постоянных 2) при заданных начальных условиях , , …., постоянные можно подобрать так, что функция будет удовлетворять этим условиям.

Простейшими уравнением n-го порядка, допускающие понижение порядка является уравнение вида: Простейшими уравнением n-го порядка, допускающие понижение порядка является уравнение вида: Решение такого уравнения находится n-кратным интегрированием, а именно: Пример. Найти общее решение уравнения : Решение. Интегрируя один раз получим: Далее получим: Окончательно: Это и есть общее решение уравнения.

Уравнение вида Уравнение вида не содержит явным образом искомой функции. Для решения этого уравнения можно понизить порядок. Обозначим тогда Подставим эти выражения в исходное уравнение получим уравнение первого порядка Проинтегрировав это уравнение получим: Затем из формулы получим общий интеграл

Пример. Решить дифференциальное уравнение Пример. Решить дифференциальное уравнение Решение. Подстановка , . Тогда из данного уравнения второго порядка получим уравнение первого порядка с разделяющимися переменными или Откуда тогда Так как , то Интегрируя последнее уравнение , получаем общее решение исходного уравнения:

Уравнение вида: Уравнение вида: не содержит явным образом независимую переменную х. Для его решения снова , но теперь мы будем считать p функцией от у. Тогда В результате получим уравнение первого порядка относительно вспомогательной функции p(y) Решив это уравнение, найденную функцию p(y) подставим в исходную подстановку. В результате получим уравнение Интегрируя это уравнение, получаем общее решение

Пример. Решить дифференциальное уравнение Пример. Решить дифференциальное уравнение Решение. Сделаем замену , Получим или Интегрируя это выражение, получим: или Возвращаясь к переменной y, получим или , Интегрируя, получим

Многие задачи математики, механики, электротехники и других технических наук приводят к линейным дифференциальным уравнениям. Многие задачи математики, механики, электротехники и других технических наук приводят к линейным дифференциальным уравнениям. Уравнение вида , где функции от х или постоянные числа, называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка. называются коэффициентами уравнения , а функция - его свободным членом. Если свободный член равен нулю, т.е. , то уравнение называется линейным однородным уравнением, в противном случае – линейным неоднородным.

Уравнение вида: Уравнение вида: где a, b, c постоянные , называются дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами. Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение вида Это уравнение может быть приведено к виду Две функции и называются линейно независимыми решениями линейного однородного уравнения, если их отношение отлично от нуля, т.е. Теорема. Если и два линейно независимых решения уравнения , то есть его общее решение, где и - постоянные.

Найдем решение уравнения Найдем решение уравнения Частные решения этого уравнения будем искать в виде , где Тогда Подставляя в исходное уравнение, получим Так как , то Это уравнение называется характеристическим уравнением по отношению к линейному однородному уравнению с постоянными коэффициентами. При решении этого уравнения возможны три случая: 1) и действительные и различные числа. Тогда общее решение уравнения будет иметь вид 2) и действительные равные корни. Тогда общее решение имеет вид 3) и комплексные корни: . Тогда общее решение имеет вид:

Пример 1. Решить уравнение . Пример 1. Решить уравнение . Составляем характеристическое уравнение . Его корни равны . Записываем общее решение: Пример 2. Решить уравнение Характеристическое уравнение имеет вид: Корни этого уравнения равны: Тогда общее решение примет вид: Пример 3. Решить уравнение Характеристическое уравнение: Находим корни этого уравнения: Значит общее решение будет иметь вид

Пусть дано неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка Пусть дано неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка Структура общего решения этого уравнения определяется следующей теоремой: Теорема. Общее решение неоднородного уравнения равно сумме решения однородного дифференциального уравнения и какого-нибудь частного решения неоднородного уравнения, т.е. Для нахождения частного решения используют два метода: 1) метод неопределенных коэффициентов; 2) метод вариации произвольной постоянной

1) Пусть правая часть уравнения представляет собой произведение 1) Пусть правая часть уравнения представляет собой произведение показательной функции на многочлен: где -многочлен n-й степени. Тогда возможны следующие случаи: а) Число α не является корнем характеристического уравнения В этом случае частное решение нужно искать в виде б) Число α является однородным корнем характеристического уравнения. В этом случае частное решение нужно искать в виде : в) Число α есть двукратный корень характеристического уравнения. Тогда частное решение следует искать в виде

Пример 1. Решить уравнение Пример 1. Решить уравнение Решение. Найдем общее решение однородного дифференциального уравнения . Составим характеристическое уравнение и найдем его корни Общее решение однородного уравнения имеет вид Так как в правой части , то правую часть можно представить в виде , причем 0 не является корнем характеристического уравнения, поэтому частное решение будем искать в виде , тогда Подставляя эти выражения в исходное уравнение, получим Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях x, получим или Следовательно, частное решение примет вид Общее решение получится в виде

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение Пример 2. Решить дифференциальное уравнение Решение. Найдем решения однородного уравнения . Здесь характеристическое уравнение имеет вид . Его корни . Общее решение однородного уравнения имеет вид является двукратным корнем характеристического уравнения, значит частное решение уравнения имеет вид тогда Подставляя в заданное дифференциальное уравнение, получим Откуда Следовательно, частное решение имеет вид Общее решение уравнения равно

2) Пусть правая часть уравнения имеет вид 2) Пусть правая часть уравнения имеет вид где и многочлены. а) если не является корнем характеристического уравнения, то частное решения уравнения следует искать в виде где и - многочлены, степень которых равна наивысшими степенями многочленов и . б) Если есть корень характеристического уравнения, то частное решение имеет вид

Пример. Решить уравнение Пример. Решить уравнение Решение. Корни характеристического уравнения равны . Поэтому общий интеграл соответствующего однородного уравнения является функция Частное решение ищем в виде Тогда , , где P и Q постоянные числа. Подставляя в данное уравнение, получим и Откуда Частное решение: Окончательно, общее решение примет вид