🗊Презентация Дифференцирование функций комплексного переменного. (Лекция 3)

ПЛАН 1. Дифференцирование функции комплексного переменного. Условие Коши-Римана. 2. Аналитическая функция. Дифференциал. 3. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Понятие о конформном изображении. .

1. Дифференцирование функции комплексного переменного. Пусть однозначная функция определена в некоторой окрестности точки включая и саму точку. Тогда предел если он существует, называется производной функции в точке , а функция называется дифференцируемой в точке . Заметим, что любым образом стремится к нулю, т.е. точка может приближаться к по любому из бесконечного множества различных направлений.

Из дифференцируемости функции в некоторой точке следует ее непрерывность в этой точке (отношение при может стремиться к конечному пределу лишь при условии, что Обратное утверждение не имеет смысла. Из дифференцируемости функции в некоторой точке следует ее непрерывность в этой точке (отношение при может стремиться к конечному пределу лишь при условии, что Обратное утверждение не имеет смысла. При каких условиях функция будет дифференцируемой в данной точке? Теорема. Если функция определена в некоторой окрестности точки , причем в этой точке действительные функции и дифференцируемы, то для дифференцируемости функции в точке необходимо и достаточно, чтобы в этой точке выполнялись равенства Эти равенства называются Условиями Коши-Римана (или Эйлера-Даламбера).

Необходимость Необходимость Пусть функция дифференцируема в точке , тогда существует и не зависит от пути, по которому Можно считать, что точка приближаться к точке по прямой, параллельной действительной оси (оси Ох), т.е. Тогда

Если же точка приближаться к точке по прямой, параллельной мнимой оси (оси Оy), т.е. Тогда Если же точка приближаться к точке по прямой, параллельной мнимой оси (оси Оy), т.е. Тогда Сравнив найденные пределы, получим Отсюда следует: .

Достаточность. Достаточность. Пусть теперь условия Коши-Римана выполняются. Докажем, что функция дифференцируема. Так как функции и дифференцируемы в точке то их приращения можно представить в виде где и - бесконечно малые более высокого порядка. Чем Тогда . Заменяя в числителе , на , получим

, где . , где . Т.е. а - бесконечно малая высшего порядка относительно . Отсюда следует, что существует. При этом ч.т.д. С учетом условий Коши-Римана производную дифференцируемой функции можно находить по формулам:

Правила дифференцирования функций действительного переменного справедливы и для функций комплексного переменного, дифференцируемых в точке . Правила дифференцирования функций действительного переменного справедливы и для функций комплексного переменного, дифференцируемых в точке . 2. Аналитическая функция. Дифференциал. Фундаментальным понятием в ТФКП является понятие аналитической функции. Однозначная функция называется аналитической в точке z, если она дифференцируема (выполнены условия Коши-Римана) в некоторой окрестности этой точки. Функция называется аналитической в области D, если она дифференцируема в каждой точке Точки плоскости в которых однозначная функция аналитична, называются правильными точками Точки, в которых функция не является аналитической, называются особыми точками функции.

Пусть функция аналитична в точке z. Тогда Пусть функция аналитична в точке z. Тогда . Отсюда следует, что где при . Тогда приращение функции можно записать так . Если , то первое слагаемое является при бесконечно малой того же порядка, что и второе слагаемое есть бесконечно малая более высокого порядка, чем . Следовательно, первое слагаемое составляет главную часть приращения функции Дифференциалом d аналитической функции в точке называется главная часть её приращения, т.е. d, или d Замечание. Если функция аналитична в некоторой области D, то функции удовлетворяют дифференциальному уравнению Лапласа Функции u и v являются гармоническими функциями.

Пример. Проверить, является ли функция аналитической. Найти её производную. Пример. Проверить, является ли функция аналитической. Найти её производную. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Понятие о конформном изображении Пусть функция аналитична в точке и Функция отображает точку плоскости в точку плоскости . Пусть произвольная точка из окрестности точки перемещается к точке по некоторой непрерывной кривой l. Тогда в плоскости соответствующая точка будет перемещаться к точке по некоторой кривой L, являющейся отображением кривой l в плоскости . По определению производной . Отсюда следует, что

Величина представляет собой расстояние между точками и , а - расстояние между точками и . Следовательно, есть предел отношения бесконечно малого расстояния между отображенными точками и к бесконечно малому расстоянию между точками и . Этот предел не зависит от выбора кривой l, проходящей через точку . Следовательно, предел в точке постоянен, т.е. одинаков во всех направлениях. Величина представляет собой расстояние между точками и , а - расстояние между точками и . Следовательно, есть предел отношения бесконечно малого расстояния между отображенными точками и к бесконечно малому расстоянию между точками и . Этот предел не зависит от выбора кривой l, проходящей через точку . Следовательно, предел в точке постоянен, т.е. одинаков во всех направлениях. Геометрический смысл модуля производной: величина определяет коэффициент растяжения (подобия) в точке при отображении Величину называют коэффициентом растяжения, если или коэффициентом сжатия, если Пример. Найти коэффициент растяжения (сжатия) для функции в точке .

Для аргумента производной в точке имеем: Для аргумента производной в точке имеем: где и - углы, которые образуют касательные к кривым l и L соответственно в точках и с положительными направлениями действительных осей на плоскостях и . Отсюда Это означает, что - это угол, на который нужно повернуть касательную к кривой l в точке , для того, чтобы получить направление касательной к кривой L в точке . Геометрический смысл аргумента производной: - это угол между отображенным и первоначальным направлениями касательных к кривым l и L в точках и соответственно.

В силу аналитичности функции в точке угол один и тот же для всех кривых, проходящих через точку . Для другой пары кривых и в тех же точках и будем иметь . Таким образом , т.е. если кривые и образуют в точке на плоскости угол , то такой же угол будут образовывать точке кривые и являющиеся отображениями кривых и на плоскости . В силу аналитичности функции в точке угол один и тот же для всех кривых, проходящих через точку . Для другой пары кривых и в тех же точках и будем иметь . Таким образом , т.е. если кривые и образуют в точке на плоскости угол , то такой же угол будут образовывать точке кривые и являющиеся отображениями кривых и на плоскости . Это свойство отображения называют свойством сохранения (консерватизма) углов в точке Отображение , обладающее свойством сохранения углов и постоянством растяжений в точке , называется конформным (т.е. отображением, сохраняющим форму).