🗊Презентация Діофантові рівняння

Виконавець: Виконавець: Учень групи 10-1 Фінансово-економічного ліцею М.Дніпропетровська Іванов Данила

Надгробок Діофанта: Надгробок Діофанта: Прах Діофанта гробниця ховає: вдивися їй і камінь Мудрим мистецтвом розкриє покійного вік: З волі богів шосту частину життя був він дитина, А ще половину шостої – стрів із пушком на щоках. Тільки минула сьома, з коханою він одружився, З нею п'ять років проживши, сина діждався мудрець. Та півжиття свого тішився батько лиш сином: Рано могила дитину у батька забрала. Років двічі по два батько оплакував сина. А по роках цих і сам стрів він кінець свій печальній…

Задача зводиться до рівняння Задача зводиться до рівняння Отже Діофант прожив 84 роки. У книзі “Арифметика” Діофант викладає теорію рівнянь першого степеня, розв'язує квадратні рівняння, але більше уваги приділено так званим невизначеним рівнянням та їх системам

Найпростіше діофантове рівняння Найпростіше діофантове рівняння ax +by=1 де a, b – цілі взаємно прості числа, має нескінченну множину розв’язків ( якщо хо, уо – розв'язок, то числа х=хо+ b·n, у=уо- a·n, nЄ Z також будуть розв’язками.) Розв’язування: Застосувати алгоритм Евкліда до чисел a і b за схемою: 1) a= bq₁+r₁, 0≤ r₁< b; 2) b= r₁q₂+r₂, 0≤ r₂< r₁; 3) r₁= r₂q₃+r₃, 0≤ r₃< r₂; 4) r₂= r₃q₄+r₄, 0≤ r₄< r₃; 5) r₃= r₄q₅+1, r₅=1; 6) r₄= r₅q₆ (оскільки (a, b)=1, то число кроків скінчене)

Знайти частинний цілий розв'язок рівняння 37x+23y=1. Знайти частинний цілий розв'язок рівняння 37x+23y=1. Розв'язання. Підстановкою в рівняння визначаємо, що - частинний розв'язок. Відповідь. - частинний розв'язок.

Знайти частинний і загальний розв'язки Знайти частинний і загальний розв'язки 7x-4y=2 Розв'язання 1) 2) x=0; 1; 2 - частинний розв'язок; 3) або - загальний розв'язок. Відповідь: - частинний розв'язок; або

Приклад 1. Приклад 1. Знайдіть усі цілі числа, які є розв’язками рівняння . Розв’язання. Оскільки , а 7 і 13 – прості числа, то рівність можлива у випадках: Розглянувши ці системи, знаходимо розв’язки рівняння: (5;6), (-6; -5), (-3;4), (-4;3).

Розв’яжіть рівняння на прикладі нату- Розв’яжіть рівняння на прикладі нату- ральних чисел. Розв’язання. Скористаємося тотожністю Позначивши х - у=m, x·y=n, де , дістанемо рівняння , звідки . Оскільки , то m3‹61, а отже, можливим значенням m будуть числа 1, 2, 3. . Перевіривши ці значення, дістанемо єдину пару натуральних чисел, які задовольняють рівняння: m=1; n=30. Отже, маємо: , звідки х=6, у=5. Зробивши перевірку, переконаємося, що ці числа є розв’язками рівняння.

Доведіть, що рівняння має нескінченну множину цілих розв’язків. Доведіть, що рівняння має нескінченну множину цілих розв’язків. Розв’язання. Узявши до уваги рівність переконаємося в тому, що рівняння має нескінченну множину цілих розв’язків вигляду де - довільне ціле число.