🗊Презентация Дисперсионный анализ. Однофакторный дисперсионный анализ

Дисперсионный анализ Однофакторный дисперсионный анализ

Дисперсионный анализ Данный вид анализа применяют в тех случаях, когда необходимо сопоставить не 2, а большее число результатов однотипных экспериментов. Смысл дисперсионного анализа заключается в следующем – из общей суммы квадратов дисперсии вычитают сумму квадратов отклонений по изучаемым факторам (межфакторная дисперсия). В результате чего получают остаточную сумму квадратов дисперсии, которая характеризует влияние различных факторов.

Таблица исходных данных

Расчетные формулы Вычисляют общее среднее и среднее для данного уровня фактора . Вычисляют остаточную дисперсию: Вычисляют межфакторную дисперсию:

Дисперсионный анализ Двухфакторный анализ

Исходные данные Для двух факторного анализа необходимо задать m, как число измерений величины у. Пусть второй фактор k – принимает значения от 1 до р, а первый фактор – от 1 до n. Запишем у с тремя индексами k, i, j, где j – число повторений измерения ( ykij ).

Проверяются три гипотезы: Влияние первого фактора – статистически значимое. Влияние второго фактора – статистически значимое. Взаимодействие между факторами – статистически значимое.

Вычисления ведут по следующей схеме: Определяют общее и частное среднее. Дисперсия генеральной совокупности Межфакторные S1 и S2:

Дисперсия взаимодействия: Дисперсия взаимодействия: Остаточная дисперсия: Проверка статистической значимости:

Пример необходимо проанализировать зависимость пластичности полуфабриката от размера субзерна ( 1 фактор ) и объемной доли избыточных фаз ( 2 фактор ). В каждой точке испытывали по три образца

Расчеты 1,41; 0,081 ; 632,9 ; 0,231 ; 0,095. Поделив друг на друга, сравниваем с табличными значениями: Для 1-го фактора: F0.05(3/40)=2,84 Для 2-го фактора: F0,05(4/40)=2,61 Для взаимодействия: F0,05(12/40)=2,00 После расчета выясняем, что размер субзерна не влияет на пластичность полуфабриката, на него влияет лишь доля избыточных фаз.

Дисперсионный анализ Латинские квадраты

Латинский квадрат – это квадратная таблица размером n х n элементов, расположенных на поле квадрата таким образом, что каждый из них встречается в каждом столбце и в каждой строке только по одному разу. Если строкам, столбцам и элементам выписной таблицы поставить в соответствие уровни каких – либо факторов ( A, B, C ), то латинский квадрат можно рассматривать как план из эксперимента, позволяющий провести дисперсионный анализ с тремя факторами.

Оценка статистической значимости

Латинский квадрат 4х4

Ортогональные планы Латинские квадраты называются взаимно ортогональными, если при размещении их элементов на поле общей таблицы каждая пара элементов двух квадратов встречается только по одному разу.

Матрица плана эксперимента На базе латинского квадрата 3х3

Методика расчета Вычисление сумм результатов по строкам, столбцам и одноименным буквам: ∑ A,B,C,D ( по отдельности). Вычисление вспомогательных расчетных сумм: где р – текущий индекс ячейки квадратов

Дисперсионный анализ результатов экспериментов (без повторных опытов)

Дисперсионный анализ результатов экспериментов (с повторными опытами)

Пример Исследовали малоцикловую усталость (МЦУ) стали ВНЛ-3 в зависимости от чистоты обработки поверхности. Предварительные исследования показали, что, хотя с повышением чистоты поверхности средние значения долговечности образцов несколько увеличиваются, для возрастающих классов чистоты поверхности значения МЦУ , как правило, попадают в пределы доверительных интервалов оценки средних значений для более низких классов чистоты. Было отмечено также, что результаты испытания образцов из металла разных плавок, образцов, испытанных в разное время и на разных испытательных машинах, ложатся на кривые малоцикловой усталости с большим разбросом. Так, при max= 800МПа разброс значений долговечности отдельных образцов составлял (суммарно по всем имевшимся результатам испытаний): Для МЦУ на базе тысячи циклов (19-59) циклов для точения, 4; (21-55) циклов для точения,  5; (40-60) циклов для точения, 6; (29-65) циклов для шлифования,  7.

Матрица плана эксперимента

Химический состав ВНЛ-3

Средние значения результатов экспериментов, тыс. циклов

Предварительные расчеты

Предварительные расчеты дисперсионного анализа

Вспомогательные расчеты

Дисперсионный анализ результатов

Выводы Эффект от испытательных машин статистически не значим. Шероховатость поверхности может быть использована 4 или 5, т.к. эта сталь имеет невысокую чувствительность к чистоте поверхности. Уровень нагрузки статистически значим. Эффект от различия в плавках может перекрывать эффект от влияния чистоты поверхности.