🗊Презентация Экстремум функции нескольких переменных. (Лекция 4)

Математика 2 семестр. Лекция 4. Экстремум функции нескольких переменных. Наибольшее и наименьшее значения в замкнутой области.

Экстремум функции нескольких переменных. Пусть функция z = f (x;y) определена в некоторой области D и точка М0(x0,y0)  D. Точка М0 называется точкой максимума функции z = f (x;y), если для любой точки М(x,y), принадлежащей  - окрестности точки М0 и такой, что ММ0 выполняется неравенство f(М) < f(М0). Точка М0 называется точкой минимума функции z = f (x;y), если для любой точки М(x,y), принадлежащей  - окрестности точки М0 и такой, что ММ0 выполняется неравенство f(М) > f(М0). Следовательно, в точке максимума функция z = f(x;y) принимает значение наибольшее, а в точке минимума – наименьшее по сравнению с ее значениями во всех достаточно близких точках. Максимум и минимум функции называются ее экстремумами и обозначают max f(x,y) и min f(x,y).

Теорема(необходимые условия существования экстремума). Если дифференцируемая функция z = f(x;y) имеет в точке М0(x0;y0) экстремум, то обе первые частные производные в этой точке равны нулю. Доказательство. Пусть в точке М0(x0;y0) функция z = f(x;y) имеет экстремум. Положим у = у0 и рассмотрим функцию одного переменного х: f(x,y0) = φ(x). Очевидно, что точка х = х0 является точкой экстремума для функции φ(x) и поэтому производная от нее в точке х0 (если производная существует) должна обращаться в нуль: φ′(x0) = f′x(x0,y0)=0. Аналогично, положив х=х0, и рассматривая функцию одного переменного у: f(x0,y) = ψ(y), получим, что в точке экстремума ψ′(y0) = f′y(x0,y0)=0 (согласно необходимому условию функции одной переменной).

Критические точки функции двух переменных. Точки, в которых выполняются необходимые условия экстремума называются критическими или стационарными. В критических точках (также как и для функции одной переменной) функция двух переменных z = f (x;y) может иметь экстремум, а может и не иметь. Для нахождения экстремума функции необходимо каждую критическую точку дополнительно исследовать с помощью достаточного признака.

Теорема (достаточные условия существования экстремума) Пусть в стационарной точке М0(x0;y0) и некоторой ее окрестности функция z = f (x,y) имеет непрерывные частные производные первого и второго порядков и обозначим А= (x0,y0); В= (x0,y0); С= (x0,y0); =АС-В2. Тогда в точке М0 функция z = f (x,y): имеет минимум, если >0 и А > 0; имеет максимум, если > 0 и А < 0; не имеет экстремума, если <0. вопрос о наличии экстремума остается открытым, если =0. Необходимы дополнительные исследования; Без доказательства.

Точка М называется внутренней точкой множества G, если существует δ - окрестность точки М, целиком принадлежащая множеству G. Точка М0 называется граничной точкой множества G, если в любой δ - окрестности точки М0 содержатся точки, как принадлежащие множеству G, так и не принадлежащие ему. Совокупность всех граничных точек множества G называется его границей Г. Множество G называется открытой областью или областью, если все его точки – внутренние и любые две точки множества G (точки M и N рис.4) можно соединить непрерывной кривой, также лежащей внутри G. Открытая область с присоединенной границей Г называется замкнутой областью.

Область называется ограниченной, если она целиком содержится внутри круга (или шара) достаточно большого радиуса. Область называется ограниченной, если она целиком содержится внутри круга (или шара) достаточно большого радиуса. Функция z = f(x;y) = f(М) называется непрерывной в открытой или замкнутой области, если она непрерывна в каждой точке этой области. Если функция z = f(М) непрерывна в ограниченной замкнутой области, то она в этой области: - имеет наибольшее и наименьшее значения; - ограничена:│f(M)│≤ К (К - положительное число); - принимает в этой области все значения, заключенные между наименьшими и наибольшими ее значениями.

Наибольшее и наименьшее значения в замкнутой области. Отметим, что кроме экстремальных значений функции z = f(x;y) (так называемых локальных экстремумов) можно отыскивать наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области (глобальный экстремум). При этом, например, наибольшее значение может не совпадать ни с одним из максимумов и достигаться на границе области. Пусть z = f(x;y) определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области D, тогда среди значений функции заведомо имеется наибольшее и наименьшее. Правило нахождения этих значений: Найти все стационарные точки функции внутри области D и на ее границе и вычислить значения функции в них. Сравнить все найденные значения функции и выбрать из них наибольшее M и наименьшее m.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Литература. Боронина Е.Б. Математический анализ [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Боронина Е.Б.— Электрон. Текстовые данные.— Саратов: Научная книга, 2012.— 159 c.— Режим доступа: http://www. iprbooksho p.ru/6298. — ЭБС «IPRbooks» Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике. Полный курс [Текст] : [учебное пособие] / Д. Т. Письменный. - 9-е изд. - Москва : Айрис-пресс, 2010. - 603 с. : ил., табл. - (Высшее образование). - ISBN 978-5-8112-4073-9 Шипачев, В. С. Курс высшей математики [Текст] : учебник для вузов / В. С. Шипачев ; под ред. А. Н. Тихонова ; - 4-е изд., испр. - Москва : Оникс, 2009. - 600 с. : ил. - ISBN 978-5-488-02067-2